Función integrable al cuadrado

Función cuyo valor absoluto al cuadrado tiene integral finita

En matemáticas , una función integrable al cuadrado , también llamada función integrable cuadráticamente o función o función sumable al cuadrado , ^[1] es una función medible de valor real o complejo para la cual la integral del cuadrado del valor absoluto es finita. Por lo tanto, la integrabilidad al cuadrado en la línea real se define de la siguiente manera. ${\displaystyle L^{2}}$ ${\displaystyle (-\infty ,+\infty )}$

${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {C} {\text{ square integrable}}\quad \iff \quad \int _{-\infty }^{\infty }|f(x)|^{2}\,\mathrm {d} x<\infty }$

También se puede hablar de integrabilidad cuadrática sobre intervalos acotados como para . [ ^2] ${\displaystyle [a,b]}$ ${\displaystyle a\leq b}$

${\displaystyle f:[a,b]\to \mathbb {C} {\text{ square integrable on }}[a,b]\quad \iff \quad \int _{a}^{b}|f(x)|^{2}\,\mathrm {d} x<\infty }$

Una definición equivalente es decir que el cuadrado de la función misma (en lugar de su valor absoluto) es integrable según el método de Lebesgue . Para que esto sea cierto, las integrales de las partes positiva y negativa de la parte real deben ser finitas, así como las de la parte imaginaria.

El espacio vectorial de (clases de equivalencia de) funciones integrables al cuadrado (con respecto a la medida de Lebesgue) forma el espacio con Entre los espacios, la clase de funciones integrables al cuadrado es única por ser compatible con un producto interno , que permite definir nociones como ángulo y ortogonalidad. Junto con este producto interno, las funciones integrables al cuadrado forman un espacio de Hilbert , ya que todos los espacios son completos bajo sus respectivas -normas . ${\displaystyle L^{p}}$ ${\displaystyle p=2.}$ ${\displaystyle L^{p}}$ ${\displaystyle L^{p}}$ ${\displaystyle p}$

A menudo el término se utiliza no para referirse a una función específica, sino a clases de equivalencia de funciones que son iguales casi en todas partes .

Propiedades

Las funciones integrables cuadradas (en el sentido mencionado en el que una "función" significa en realidad una clase de equivalencia de funciones que son iguales casi en todas partes) forman un espacio de producto interno con producto interno dado por donde $${\displaystyle \langle f,g\rangle =\int _{A}{\overline {f(x)}}g(x)\,\mathrm {d} x}$$

• ${\displaystyle f}$y son funciones integrables al cuadrado, ${\displaystyle g}$
• ${\displaystyle {\overline {f(x)}}}$es el complejo conjugado de ${\displaystyle f(x),}$
• ${\displaystyle A}$es el conjunto sobre el cual se integra: en la primera definición (dada en la introducción anterior), es , en la segunda, es . ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle (-\infty ,+\infty )}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle [a,b]}$

Dado que la integrabilidad cuadrada es lo mismo que decir ${\displaystyle |a|^{2}=a\cdot {\overline {a}}}$ $${\displaystyle \langle f,f\rangle <\infty .\,}$$

Se puede demostrar que las funciones integrables cuadradas forman un espacio métrico completo bajo la métrica inducida por el producto interno definido anteriormente. Un espacio métrico completo también se llama espacio de Cauchy , porque las sucesiones en tales espacios métricos convergen si y solo si son de Cauchy . Un espacio que es completo bajo la métrica inducida por una norma es un espacio de Banach . Por lo tanto, el espacio de funciones integrables cuadradas es un espacio de Banach, bajo la métrica inducida por la norma, que a su vez es inducida por el producto interno. Como tenemos la propiedad adicional del producto interno, este es específicamente un espacio de Hilbert , porque el espacio es completo bajo la métrica inducida por el producto interno.

Este espacio de producto interno se denota convencionalmente y muchas veces se abrevia como Nótese que denota el conjunto de funciones integrables cuadradas, pero no se especifica ninguna selección de métrica, norma o producto interno mediante esta notación. El conjunto, junto con el producto interno específico, especifica el espacio de producto interno. ${\displaystyle \left(L_{2},\langle \cdot ,\cdot \rangle _{2}\right)}$ ${\displaystyle L_{2}.}$ ${\displaystyle L_{2}}$ ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle _{2}}$

El espacio de funciones integrables cuadradas es el espacio en el que ${\displaystyle L^{p}}$ ${\displaystyle p=2.}$

Ejemplos

La función definida en está en para pero no para ^[1] La función definida en es integrable al cuadrado. ^[3] ${\displaystyle {\tfrac {1}{x^{n}}},}$ ${\displaystyle (0,1),}$ ${\displaystyle L^{2}}$ ${\displaystyle n<{\tfrac {1}{2}}}$ ${\displaystyle n={\tfrac {1}{2}}.}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{x}},}$ ${\displaystyle [1,\infty ),}$

Las funciones acotadas, definidas en, son integrables al cuadrado. Estas funciones también lo son para cualquier valor de ^[3] ${\displaystyle [0,1],}$ ${\displaystyle L^{p},}$ ${\displaystyle p.}$

No-ejemplos

La función definida en donde el valor en es arbitrario. Además, esta función no está en para ningún valor de en ^[3] ${\displaystyle {\tfrac {1}{x}},}$ ${\displaystyle [0,1],}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle L^{p}}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle [1,\infty ).}$

Véase también

• Espacio interior del producto
• ${\displaystyle L^{p}}$espacio  – Espacios funcionales que generalizan espacios normativos p de dimensión finita

Referencias

1. Todd, Rowland. "Función L^2". MathWorld--Un recurso web de Wolfram .
2. Giovanni Sansone (1991). Funciones ortogonales . Dover Publications. págs. 1–2. ISBN. 978-0-486-66730-0.
3. "Funciones Lp" (PDF) . Archivado desde el original (PDF) el 24 de octubre de 2020 . Consultado el 16 de enero de 2020 .