Derivada direccional

Tasa instantánea de cambio de la función

Una derivada direccional es un concepto en el cálculo multivariable que mide la velocidad a la que una función cambia en una dirección particular en un punto dado. ^{[ cita requerida ]}

La derivada direccional de una función diferenciable multivariable (escalar) a lo largo de un vector dado v en un punto dado x representa intuitivamente la tasa instantánea de cambio de la función, moviéndose a través de x con una velocidad especificada por v .

La derivada direccional de una función escalar f con respecto a un vector v en un punto (por ejemplo, posición) x puede denotarse mediante cualquiera de las siguientes expresiones: $${\displaystyle \nabla _{\mathbf {v} }{f}(\mathbf {x} )=f'_{\mathbf {v} }(\mathbf {x} )=D_{\mathbf {v} }f(\mathbf {x} )=Df(\mathbf {x} )(\mathbf {v} )=\partial _{\mathbf {v} }f(\mathbf {x} )=\mathbf {v} \cdot {\nabla f(\mathbf {x} )}=\mathbf {v} \cdot {\frac {\partial f(\mathbf {x} )}{\partial \mathbf {x} }}.}$$

Por lo tanto, se generaliza la noción de derivada parcial , en la que la tasa de cambio se toma a lo largo de una de las curvas de coordenadas curvilíneas , siendo todas las demás coordenadas constantes. La derivada direccional es un caso especial de la derivada de Gateaux .

Definición

Un gráfico de contorno de , que muestra el vector de gradiente en negro y el vector unitario escalado por la derivada direccional en la dirección de en naranja. El vector de gradiente es más largo porque el gradiente apunta en la dirección de la mayor tasa de aumento de una función. ${\displaystyle f(x,y)=x^{2}+y^{2}}$ ${\displaystyle \mathbf {u} }$ ${\displaystyle \mathbf {u} }$

La derivada direccional de una función escalar a lo largo de un vector es la función definida por el límite ^[1] $${\displaystyle f(\mathbf {x} )=f(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})}$$ $${\displaystyle \mathbf {v} =(v_{1},\ldots ,v_{n})}$$ ${\displaystyle \nabla _{\mathbf {v} }{f}}$ $${\displaystyle \nabla _{\mathbf {v} }{f}(\mathbf {x} )=\lim _{h\to 0}{\frac {f(\mathbf {x} +h\mathbf {v} )-f(\mathbf {x} )}{h}}.}$$

Esta definición es válida en una amplia gama de contextos, por ejemplo, cuando la norma de un vector (y, por lo tanto, de un vector unitario) no está definida. ^[2]

Para funciones diferenciables

Si la función f es diferenciable en x , entonces la derivada direccional existe a lo largo de cualquier vector unitario v en x, y se tiene

$${\displaystyle \nabla _{\mathbf {v} }{f}(\mathbf {x} )=\nabla f(\mathbf {x} )\cdot \mathbf {v} }$$

donde a la derecha denota el gradiente , es el producto escalar y v es un vector unitario. ^[3] Esto se deduce de la definición de una ruta y del uso de la definición de la derivada como límite que se puede calcular a lo largo de esta ruta para obtener: ${\displaystyle \nabla }$ ${\displaystyle \cdot }$ ${\displaystyle h(t)=x+tv}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}0&=\lim _{t\to 0}{\frac {f(x+tv)-f(x)-tDf(x)(v)}{t}}\\&=\lim _{t\to 0}{\frac {f(x+tv)-f(x)}{t}}-Df(x)(v)\\&=\nabla _{v}f(x)-Df(x)(v).\end{aligned}}}$$

Intuitivamente, la derivada direccional de f en un punto x representa la tasa de cambio de f , en la dirección de v con respecto al tiempo, cuando se mueve más allá de x .

Usando solo la dirección del vector

El ángulo α entre la tangente A y la horizontal será máximo si el plano de corte contiene la dirección del gradiente A.

En un espacio euclidiano , algunos autores ^[4] definen la derivada direccional como con respecto a un vector arbitrario distinto de cero v después de la normalización , siendo por tanto independiente de su magnitud y dependiendo únicamente de su dirección. ^[5]

Esta definición da la tasa de aumento de f por unidad de distancia recorrida en la dirección dada por v . En este caso, se tiene o en caso de que f sea diferenciable en x , $${\displaystyle \nabla _{\mathbf {v} }{f}(\mathbf {x} )=\lim _{h\to 0}{\frac {f(\mathbf {x} +h\mathbf {v} )-f(\mathbf {x} )}{h|\mathbf {v} |}},}$$ $${\displaystyle \nabla _{\mathbf {v} }{f}(\mathbf {x} )=\nabla f(\mathbf {x} )\cdot {\frac {\mathbf {v} }{|\mathbf {v} |}}.}$$

Restricción a un vector unitario

En el contexto de una función en un espacio euclidiano , algunos textos limitan el vector v a ser un vector unitario . Con esta restricción, ambas definiciones anteriores son equivalentes. ^[6]

Propiedades

Muchas de las propiedades conocidas de la derivada ordinaria se cumplen para la derivada direccional. Entre ellas, para cualquier función f y g definida en un entorno de p y diferenciable en p :

1. regla de suma : $${\displaystyle \nabla _{\mathbf {v} }(f+g)=\nabla _{\mathbf {v} }f+\nabla _{\mathbf {v} }g.}$$
2. Regla del factor constante : Para cualquier constante c , $${\displaystyle \nabla _{\mathbf {v} }(cf)=c\nabla _{\mathbf {v} }f.}$$
3. Regla del producto (o regla de Leibniz ): $${\displaystyle \nabla _{\mathbf {v} }(fg)=g\nabla _{\mathbf {v} }f+f\nabla _{\mathbf {v} }g.}$$
4. Regla de la cadena : si g es diferenciable en p y h es diferenciable en g ( p ), entonces $${\displaystyle \nabla _{\mathbf {v} }(h\circ g)(\mathbf {p} )=h'(g(\mathbf {p} ))\nabla _{\mathbf {v} }g(\mathbf {p} ).}$$

En geometría diferencial

Sea M una variedad diferenciable y p un punto de M . Supóngase que f es una función definida en un entorno de p , y diferenciable en p . Si v es un vector tangente a M en p , entonces la derivada direccional de f a lo largo de v , denotada de diversas formas como df ( v ) (véase Derivada exterior ), (véase Derivada covariante ), (véase Derivada de Lie ), o (véase Espacio tangente § Definición mediante derivaciones ), puede definirse de la siguiente manera. Sea γ  : [−1, 1] → M una curva diferenciable con γ (0) = p y γ ′(0) = v . Entonces la derivada direccional está definida por Esta definición puede demostrarse independientemente de la elección de γ , siempre que γ se seleccione de la manera prescrita de modo que γ (0) = p y γ ′(0) = v . ${\displaystyle \nabla _{\mathbf {v} }f(\mathbf {p} )}$ ${\displaystyle L_{\mathbf {v} }f(\mathbf {p} )}$ ${\displaystyle {\mathbf {v} }_{\mathbf {p} }(f)}$ $${\displaystyle \nabla _{\mathbf {v} }f(\mathbf {p} )=\left.{\frac {d}{d\tau }}f\circ \gamma (\tau )\right|_{\tau =0}.}$$

El derivado de Lie

La derivada de Lie de un campo vectorial a lo largo de un campo vectorial se da por la diferencia de dos derivadas direccionales (con torsión que desaparece): En particular, para un campo escalar , la derivada de Lie se reduce a la derivada direccional estándar: ${\displaystyle W^{\mu }(x)}$ ${\displaystyle V^{\mu }(x)}$ $${\displaystyle {\mathcal {L}}_{V}W^{\mu }=(V\cdot \nabla )W^{\mu }-(W\cdot \nabla )V^{\mu }.}$$ ${\displaystyle \phi (x)}$ $${\displaystyle {\mathcal {L}}_{V}\phi =(V\cdot \nabla )\phi .}$$

El tensor de Riemann

Las derivadas direccionales se utilizan a menudo en las derivaciones introductorias del tensor de curvatura de Riemann . Considere un rectángulo curvo con un vector infinitesimal a lo largo de un borde y a lo largo del otro. Traducimos un covector a lo largo de entonces y luego restamos la traducción a lo largo de y luego . En lugar de construir la derivada direccional utilizando derivadas parciales, utilizamos la derivada covariante . El operador de traducción para es por lo tanto y para , La diferencia entre los dos caminos es entonces Se puede argumentar ^[7] que la no conmutatividad de las derivadas covariantes mide la curvatura de la variedad: donde es el tensor de curvatura de Riemann y el signo depende de la convención de signos del autor. ${\displaystyle \delta }$ ${\displaystyle \delta '}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \delta }$ ${\displaystyle \delta '}$ ${\displaystyle \delta '}$ ${\displaystyle \delta }$ ${\displaystyle \delta }$ $${\displaystyle 1+\sum _{\nu }\delta ^{\nu }D_{\nu }=1+\delta \cdot D,}$$ ${\displaystyle \delta '}$ $${\displaystyle 1+\sum _{\mu }\delta '^{\mu }D_{\mu }=1+\delta '\cdot D.}$$ $${\displaystyle (1+\delta '\cdot D)(1+\delta \cdot D)S^{\rho }-(1+\delta \cdot D)(1+\delta '\cdot D)S^{\rho }=\sum _{\mu ,\nu }\delta '^{\mu }\delta ^{\nu }[D_{\mu },D_{\nu }]S_{\rho }.}$$ $${\displaystyle [D_{\mu },D_{\nu }]S_{\rho }=\pm \sum _{\sigma }R^{\sigma }{}_{\rho \mu \nu }S_{\sigma },}$$ ${\displaystyle R}$

En teoría de grupos

Traducciones

En el álgebra de Poincaré , podemos definir un operador de traslación infinitesimal P como (la i asegura que P es un operador autoadjunto ) Para un desplazamiento finito λ , la representación del espacio de Hilbert unitario para traslaciones es ^[8] Al usar la definición anterior del operador de traslación infinitesimal, vemos que el operador de traslación finito es una derivada direccional exponenciada: Este es un operador de traslación en el sentido de que actúa sobre funciones multivariables f ( x ) como $${\displaystyle \mathbf {P} =i\nabla .}$$ $${\displaystyle U({\boldsymbol {\lambda }})=\exp \left(-i{\boldsymbol {\lambda }}\cdot \mathbf {P} \right).}$$ $${\displaystyle U({\boldsymbol {\lambda }})=\exp \left({\boldsymbol {\lambda }}\cdot \nabla \right).}$$ $${\displaystyle U({\boldsymbol {\lambda }})f(\mathbf {x} )=\exp \left({\boldsymbol {\lambda }}\cdot \nabla \right)f(\mathbf {x} )=f(\mathbf {x} +{\boldsymbol {\lambda }}).}$$

Prueba de la última ecuación

En el cálculo estándar de una variable, la derivada de una función suave f ( x ) se define por (para ε pequeño ) Esto se puede reorganizar para encontrar f ( x + ε ): Se deduce que es un operador de traslación. Esto se generaliza instantáneamente ^[9] a funciones multivariables f ( x ) Aquí está la derivada direccional a lo largo del desplazamiento infinitesimal ε . Hemos encontrado la versión infinitesimal del operador de traslación: Es evidente que la ley de multiplicación de grupos ^[10] U ( g ) U ( f )= U ( gf ) toma la forma Así que supongamos que tomamos el desplazamiento finito λ y lo dividimos en N partes ( N →∞ está implícito en todas partes), de modo que λ / N = ε . En otras palabras, luego al aplicar U ( ε ) N veces, podemos construir U ( λ ): Ahora podemos reemplazar nuestra expresión anterior por U( ε ): Usando la identidad ^[11] tenemos Y como U ( ε ) f ( x ) = f ( x + ε ) tenemos QED $${\displaystyle {\frac {df}{dx}}={\frac {f(x+\varepsilon )-f(x)}{\varepsilon }}.}$$ $${\displaystyle f(x+\varepsilon )=f(x)+\varepsilon \,{\frac {df}{dx}}=\left(1+\varepsilon \,{\frac {d}{dx}}\right)f(x).}$$ ${\displaystyle [1+\varepsilon \,(d/dx)]}$ $${\displaystyle f(\mathbf {x} +{\boldsymbol {\varepsilon }})=\left(1+{\boldsymbol {\varepsilon }}\cdot \nabla \right)f(\mathbf {x} ).}$$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\varepsilon }}\cdot \nabla }$ $${\displaystyle U({\boldsymbol {\varepsilon }})=1+{\boldsymbol {\varepsilon }}\cdot \nabla .}$$ $${\displaystyle U(\mathbf {a} )U(\mathbf {b} )=U(\mathbf {a+b} ).}$$ $${\displaystyle {\boldsymbol {\lambda }}=N{\boldsymbol {\varepsilon }}.}$$ $${\displaystyle [U({\boldsymbol {\varepsilon }})]^{N}=U(N{\boldsymbol {\varepsilon }})=U({\boldsymbol {\lambda }}).}$$ $${\displaystyle [U({\boldsymbol {\varepsilon }})]^{N}=\left[1+{\boldsymbol {\varepsilon }}\cdot \nabla \right]^{N}=\left[1+{\frac {{\boldsymbol {\lambda }}\cdot \nabla }{N}}\right]^{N}.}$$ $${\displaystyle \exp(x)=\left[1+{\frac {x}{N}}\right]^{N},}$$ $${\displaystyle U({\boldsymbol {\lambda }})=\exp \left({\boldsymbol {\lambda }}\cdot \nabla \right).}$$ $${\displaystyle [U({\boldsymbol {\varepsilon }})]^{N}f(\mathbf {x} )=f(\mathbf {x} +N{\boldsymbol {\varepsilon }})=f(\mathbf {x} +{\boldsymbol {\lambda }})=U({\boldsymbol {\lambda }})f(\mathbf {x} )=\exp \left({\boldsymbol {\lambda }}\cdot \nabla \right)f(\mathbf {x} ),}$$

Como nota técnica, este procedimiento solo es posible porque el grupo de traducción forma un subgrupo abeliano ( subálgebra de Cartan ) en el álgebra de Poincaré. En particular, la ley de multiplicación de grupos U ( a ) U ( b ) = U ( a + b ) no debe darse por sentada. También notamos que Poincaré es un grupo de Lie conexo . Es un grupo de transformaciones T ( ξ ) que se describen por un conjunto continuo de parámetros reales . La ley de multiplicación de grupos toma la forma Tomando como coordenadas de la identidad, debemos tener Los operadores reales en el espacio de Hilbert están representados por operadores unitarios U ( T ( ξ )). En la notación anterior suprimimos el T ; ahora escribimos U ( λ ) como U ( P ( λ )). Para un vecindario pequeño alrededor de la identidad, la representación de la serie de potencias es bastante buena. Supongamos que U(T(ξ)) forma una representación no proyectiva, es decir, La expansión de f a la segunda potencia es Después de expandir la ecuación de multiplicación de representación e igualar los coeficientes, tenemos la condición no trivial Dado que es por definición simétrica en sus índices, tenemos el conmutador estándar del álgebra de Lie : con C la constante de estructura . Los generadores de las traslaciones son operadores de derivadas parciales, que conmutan: Esto implica que las constantes de estructura se desvanecen y, por lo tanto, los coeficientes cuadráticos en la expansión de f también se desvanecen. Esto significa que f es simplemente aditiva: y, por lo tanto, para los grupos abelianos, QED ${\displaystyle \xi ^{a}}$ $${\displaystyle T({\bar {\xi }})T(\xi )=T(f({\bar {\xi }},\xi )).}$$ ${\displaystyle \xi ^{a}=0}$ $${\displaystyle f^{a}(\xi ,0)=f^{a}(0,\xi )=\xi ^{a}.}$$ $${\displaystyle U(T(\xi ))=1+i\sum _{a}\xi ^{a}t_{a}+{\frac {1}{2}}\sum _{b,c}\xi ^{b}\xi ^{c}t_{bc}+\cdots }$$ $${\displaystyle U(T({\bar {\xi }}))U(T(\xi ))=U(T(f({\bar {\xi }},\xi ))).}$$ $${\displaystyle f^{a}({\bar {\xi }},\xi )=\xi ^{a}+{\bar {\xi }}^{a}+\sum _{b,c}f^{abc}{\bar {\xi }}^{b}\xi ^{c}.}$$ $${\displaystyle t_{bc}=-t_{b}t_{c}-i\sum _{a}f^{abc}t_{a}.}$$ ${\displaystyle t_{ab}}$ $${\displaystyle [t_{b},t_{c}]=i\sum _{a}(-f^{abc}+f^{acb})t_{a}=i\sum _{a}C^{abc}t_{a},}$$ $${\displaystyle \left[{\frac {\partial }{\partial x^{b}}},{\frac {\partial }{\partial x^{c}}}\right]=0.}$$ $${\displaystyle f_{\text{abelian}}^{a}({\bar {\xi }},\xi )=\xi ^{a}+{\bar {\xi }}^{a},}$$ $${\displaystyle U(T({\bar {\xi }}))U(T(\xi ))=U(T({\bar {\xi }}+\xi )).}$$

Rotaciones

El operador de rotación también contiene una derivada direccional. El operador de rotación para un ángulo θ , es decir, por una cantidad θ = | θ | alrededor de un eje paralelo a es Aquí L es el operador vectorial que genera SO(3) : Se puede demostrar geométricamente que una rotación infinitesimal a la derecha cambia el vector de posición x por Por lo que esperaríamos bajo una rotación infinitesimal: Se deduce que Siguiendo el mismo procedimiento de exponenciación que antes, llegamos al operador de rotación en la base de posición, que es una derivada direccional exponencial: ^[12] ${\displaystyle {\hat {\theta }}={\boldsymbol {\theta }}/\theta }$ $${\displaystyle U(R(\mathbf {\theta } ))=\exp(-i\mathbf {\theta } \cdot \mathbf {L} ).}$$ $${\displaystyle \mathbf {L} ={\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&1\\0&-1&0\end{pmatrix}}\mathbf {i} +{\begin{pmatrix}0&0&-1\\0&0&0\\1&0&0\end{pmatrix}}\mathbf {j} +{\begin{pmatrix}0&1&0\\-1&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}}\mathbf {k} .}$$ $${\displaystyle \mathbf {x} \rightarrow \mathbf {x} -\delta {\boldsymbol {\theta }}\times \mathbf {x} .}$$ $${\displaystyle U(R(\delta {\boldsymbol {\theta }}))f(\mathbf {x} )=f(\mathbf {x} -\delta {\boldsymbol {\theta }}\times \mathbf {x} )=f(\mathbf {x} )-(\delta {\boldsymbol {\theta }}\times \mathbf {x} )\cdot \nabla f.}$$ $${\displaystyle U(R(\delta \mathbf {\theta } ))=1-(\delta \mathbf {\theta } \times \mathbf {x} )\cdot \nabla .}$$ $${\displaystyle U(R(\mathbf {\theta } ))=\exp(-(\mathbf {\theta } \times \mathbf {x} )\cdot \nabla ).}$$

Derivada normal

Una derivada normal es una derivada direccional tomada en la dirección normal (es decir, ortogonal ) a alguna superficie en el espacio, o más generalmente a lo largo de un campo vectorial normal ortogonal a alguna hipersuperficie . Véase por ejemplo la condición de contorno de Neumann . Si la dirección normal se denota por , entonces la derivada normal de una función f a veces se denota como . En otras notaciones, ${\displaystyle \mathbf {n} }$ ${\textstyle {\frac {\partial f}{\partial \mathbf {n} }}}$ $${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial \mathbf {n} }}=\nabla f(\mathbf {x} )\cdot \mathbf {n} =\nabla _{\mathbf {n} }{f}(\mathbf {x} )={\frac {\partial f}{\partial \mathbf {x} }}\cdot \mathbf {n} =Df(\mathbf {x} )[\mathbf {n} ].}$$

En la mecánica del continuo de sólidos

Varios resultados importantes en mecánica de medios continuos requieren las derivadas de vectores con respecto a vectores y de tensores con respecto a vectores y tensores. ^[13] La directiva direccional proporciona una forma sistemática de encontrar estas derivadas.

A continuación se ofrecen las definiciones de derivadas direccionales para diversas situaciones. Se supone que las funciones son lo suficientemente suaves como para que se puedan obtener derivadas.

Derivadas de funciones escalares de vectores

Sea f (v) una función de valor real del vector v. Entonces la derivada de f (v) con respecto a v (o en v) es el vector definido a través de su producto escalar con cualquier vector u siendo

$${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial \mathbf {v} }}\cdot \mathbf {u} =Df(\mathbf {v} )[\mathbf {u} ]=\left[{\frac {d}{d\alpha }}~f(\mathbf {v} +\alpha ~\mathbf {u} )\right]_{\alpha =0}}$$

para todos los vectores u. El producto escalar anterior produce un escalar, y si u es un vector unitario da la derivada direccional de f en v, en la dirección u.

Propiedades:

1. Si entonces ${\displaystyle f(\mathbf {v} )=f_{1}(\mathbf {v} )+f_{2}(\mathbf {v} )}$ ${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial \mathbf {v} }}\cdot \mathbf {u} =\left({\frac {\partial f_{1}}{\partial \mathbf {v} }}+{\frac {\partial f_{2}}{\partial \mathbf {v} }}\right)\cdot \mathbf {u} }$
2. Si entonces ${\displaystyle f(\mathbf {v} )=f_{1}(\mathbf {v} )~f_{2}(\mathbf {v} )}$ ${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial \mathbf {v} }}\cdot \mathbf {u} =\left({\frac {\partial f_{1}}{\partial \mathbf {v} }}\cdot \mathbf {u} \right)~f_{2}(\mathbf {v} )+f_{1}(\mathbf {v} )~\left({\frac {\partial f_{2}}{\partial \mathbf {v} }}\cdot \mathbf {u} \right)}$
3. Si entonces ${\displaystyle f(\mathbf {v} )=f_{1}(f_{2}(\mathbf {v} ))}$ ${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial \mathbf {v} }}\cdot \mathbf {u} ={\frac {\partial f_{1}}{\partial f_{2}}}~{\frac {\partial f_{2}}{\partial \mathbf {v} }}\cdot \mathbf {u} }$

Derivadas de funciones vectoriales con valores vectoriales

Sea f(v) una función vectorial del vector v. Entonces la derivada de f(v) con respecto a v (o en v) es el tensor de segundo orden definido a través de su producto escalar con cualquier vector u siendo

$${\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {f} }{\partial \mathbf {v} }}\cdot \mathbf {u} =D\mathbf {f} (\mathbf {v} )[\mathbf {u} ]=\left[{\frac {d}{d\alpha }}~\mathbf {f} (\mathbf {v} +\alpha ~\mathbf {u} )\right]_{\alpha =0}}$$

para todos los vectores u. El producto escalar anterior produce un vector, y si u es un vector unitario da la derivada direccional de f en v, en la dirección u.

Propiedades:

1. Si entonces ${\displaystyle \mathbf {f} (\mathbf {v} )=\mathbf {f} _{1}(\mathbf {v} )+\mathbf {f} _{2}(\mathbf {v} )}$ ${\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {f} }{\partial \mathbf {v} }}\cdot \mathbf {u} =\left({\frac {\partial \mathbf {f} _{1}}{\partial \mathbf {v} }}+{\frac {\partial \mathbf {f} _{2}}{\partial \mathbf {v} }}\right)\cdot \mathbf {u} }$
2. Si entonces ${\displaystyle \mathbf {f} (\mathbf {v} )=\mathbf {f} _{1}(\mathbf {v} )\times \mathbf {f} _{2}(\mathbf {v} )}$ ${\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {f} }{\partial \mathbf {v} }}\cdot \mathbf {u} =\left({\frac {\partial \mathbf {f} _{1}}{\partial \mathbf {v} }}\cdot \mathbf {u} \right)\times \mathbf {f} _{2}(\mathbf {v} )+\mathbf {f} _{1}(\mathbf {v} )\times \left({\frac {\partial \mathbf {f} _{2}}{\partial \mathbf {v} }}\cdot \mathbf {u} \right)}$
3. Si entonces ${\displaystyle \mathbf {f} (\mathbf {v} )=\mathbf {f} _{1}(\mathbf {f} _{2}(\mathbf {v} ))}$ ${\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {f} }{\partial \mathbf {v} }}\cdot \mathbf {u} ={\frac {\partial \mathbf {f} _{1}}{\partial \mathbf {f} _{2}}}\cdot \left({\frac {\partial \mathbf {f} _{2}}{\partial \mathbf {v} }}\cdot \mathbf {u} \right)}$

Derivadas de funciones escalares de tensores de segundo orden

Sea una función de valor real del tensor de segundo orden . Entonces la derivada de con respecto a (o en ) en la dirección es el tensor de segundo orden definido como para todos los tensores de segundo orden . ${\displaystyle f({\boldsymbol {S}})}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {S}}}$ ${\displaystyle f({\boldsymbol {S}})}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {S}}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {S}}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {T}}}$ $${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial {\boldsymbol {S}}}}:{\boldsymbol {T}}=Df({\boldsymbol {S}})[{\boldsymbol {T}}]=\left[{\frac {d}{d\alpha }}~f({\boldsymbol {S}}+\alpha ~{\boldsymbol {T}})\right]_{\alpha =0}}$$ ${\displaystyle {\boldsymbol {T}}}$

Propiedades:

1. Si entonces ${\displaystyle f({\boldsymbol {S}})=f_{1}({\boldsymbol {S}})+f_{2}({\boldsymbol {S}})}$ ${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial {\boldsymbol {S}}}}:{\boldsymbol {T}}=\left({\frac {\partial f_{1}}{\partial {\boldsymbol {S}}}}+{\frac {\partial f_{2}}{\partial {\boldsymbol {S}}}}\right):{\boldsymbol {T}}}$
2. Si entonces ${\displaystyle f({\boldsymbol {S}})=f_{1}({\boldsymbol {S}})~f_{2}({\boldsymbol {S}})}$ ${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial {\boldsymbol {S}}}}:{\boldsymbol {T}}=\left({\frac {\partial f_{1}}{\partial {\boldsymbol {S}}}}:{\boldsymbol {T}}\right)~f_{2}({\boldsymbol {S}})+f_{1}({\boldsymbol {S}})~\left({\frac {\partial f_{2}}{\partial {\boldsymbol {S}}}}:{\boldsymbol {T}}\right)}$
3. Si entonces ${\displaystyle f({\boldsymbol {S}})=f_{1}(f_{2}({\boldsymbol {S}}))}$ ${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial {\boldsymbol {S}}}}:{\boldsymbol {T}}={\frac {\partial f_{1}}{\partial f_{2}}}~\left({\frac {\partial f_{2}}{\partial {\boldsymbol {S}}}}:{\boldsymbol {T}}\right)}$

Derivadas de funciones tensoriales de tensores de segundo orden

Sea una función tensorial de segundo orden del tensor de segundo orden . Entonces la derivada de con respecto a (o en ) en la dirección es el tensor de cuarto orden definido como para todos los tensores de segundo orden . ${\displaystyle {\boldsymbol {F}}({\boldsymbol {S}})}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {S}}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {F}}({\boldsymbol {S}})}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {S}}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {S}}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {T}}}$ $${\displaystyle {\frac {\partial {\boldsymbol {F}}}{\partial {\boldsymbol {S}}}}:{\boldsymbol {T}}=D{\boldsymbol {F}}({\boldsymbol {S}})[{\boldsymbol {T}}]=\left[{\frac {d}{d\alpha }}~{\boldsymbol {F}}({\boldsymbol {S}}+\alpha ~{\boldsymbol {T}})\right]_{\alpha =0}}$$ ${\displaystyle {\boldsymbol {T}}}$

Propiedades:

1. Si entonces ${\displaystyle {\boldsymbol {F}}({\boldsymbol {S}})={\boldsymbol {F}}_{1}({\boldsymbol {S}})+{\boldsymbol {F}}_{2}({\boldsymbol {S}})}$ ${\displaystyle {\frac {\partial {\boldsymbol {F}}}{\partial {\boldsymbol {S}}}}:{\boldsymbol {T}}=\left({\frac {\partial {\boldsymbol {F}}_{1}}{\partial {\boldsymbol {S}}}}+{\frac {\partial {\boldsymbol {F}}_{2}}{\partial {\boldsymbol {S}}}}\right):{\boldsymbol {T}}}$
2. Si entonces ${\displaystyle {\boldsymbol {F}}({\boldsymbol {S}})={\boldsymbol {F}}_{1}({\boldsymbol {S}})\cdot {\boldsymbol {F}}_{2}({\boldsymbol {S}})}$ ${\displaystyle {\frac {\partial {\boldsymbol {F}}}{\partial {\boldsymbol {S}}}}:{\boldsymbol {T}}=\left({\frac {\partial {\boldsymbol {F}}_{1}}{\partial {\boldsymbol {S}}}}:{\boldsymbol {T}}\right)\cdot {\boldsymbol {F}}_{2}({\boldsymbol {S}})+{\boldsymbol {F}}_{1}({\boldsymbol {S}})\cdot \left({\frac {\partial {\boldsymbol {F}}_{2}}{\partial {\boldsymbol {S}}}}:{\boldsymbol {T}}\right)}$
3. Si entonces ${\displaystyle {\boldsymbol {F}}({\boldsymbol {S}})={\boldsymbol {F}}_{1}({\boldsymbol {F}}_{2}({\boldsymbol {S}}))}$ ${\displaystyle {\frac {\partial {\boldsymbol {F}}}{\partial {\boldsymbol {S}}}}:{\boldsymbol {T}}={\frac {\partial {\boldsymbol {F}}_{1}}{\partial {\boldsymbol {F}}_{2}}}:\left({\frac {\partial {\boldsymbol {F}}_{2}}{\partial {\boldsymbol {S}}}}:{\boldsymbol {T}}\right)}$
4. Si entonces ${\displaystyle f({\boldsymbol {S}})=f_{1}({\boldsymbol {F}}_{2}({\boldsymbol {S}}))}$ ${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial {\boldsymbol {S}}}}:{\boldsymbol {T}}={\frac {\partial f_{1}}{\partial {\boldsymbol {F}}_{2}}}:\left({\frac {\partial {\boldsymbol {F}}_{2}}{\partial {\boldsymbol {S}}}}:{\boldsymbol {T}}\right)}$

Véase también

• Del en coordenadas cilíndricas y esféricas  – Operador de gradiente matemático en ciertos sistemas de coordenadas
• Forma diferencial  : Expresión que puede integrarse sobre una región.
• Conexión de Ehresmann  : construcción de geometría diferencial en haces de fibras
• Derivada de Fréchet  – Derivada definida en espacios normados
• Derivada de Gateaux  – Generalización del concepto de derivada direccional
• Generalizaciones de la derivada  – Construcción fundamental del cálculo diferencial
• Semidiferenciabilidad
• Derivado de Hadamard
• Derivada de Lie  : una derivada en geometría diferencial
• Derivada material  : Tasa de cambio con respecto al tiempo de alguna cantidad física de un elemento material en un campo de velocidad.
• Tensor de estructura  – Tensor relacionado con gradientes
• Derivada tensorial (mecánica del medio continuo)
• Derivada total  – Tipo de derivada en matemáticas

Notas

1. R. Wrede; MR Spiegel (2010). Cálculo avanzado (3.ª ed.). Serie de esquemas de Schaum. ISBN 978-0-07-162366-7.
2. La aplicabilidad se extiende a funciones sobre espacios sin métrica y a variedades diferenciables , como en la relatividad general .
3. Si el producto escalar no está definido, el gradiente también lo está; sin embargo, para f diferenciable , la derivada direccional todavía está definida y existe una relación similar con la derivada exterior.
4. Thomas, George B. Jr.; y Finney, Ross L. (1979) Cálculo y geometría analítica , Addison-Wesley Publ. Co., quinta edición, pág. 593.
5. Esto normalmente supone un espacio euclidiano ; por ejemplo, una función de varias variables normalmente no tiene definición de la magnitud de un vector y, por lo tanto, de un vector unitario.
6. Hughes Hallett, Deborah ; McCallum, William G .; Gleason, Andrew M. (1 de enero de 2012). Cálculo: de una y varias variables . John Wiley. Pág. 780. ISBN 9780470888612.OCLC 828768012  .
7. Zee, A. (2013). La gravedad de Einstein en pocas palabras . Princeton: Princeton University Press. pág. 341. ISBN 9780691145587.
8. Weinberg, Steven (1999). La teoría cuántica de campos (Reimpreso (con correcciones). ed.). Cambridge [ua]: Cambridge Univ. Press. ISBN 9780521550017.
9. Zee, A. (2013). La gravedad de Einstein en pocas palabras . Princeton: Princeton University Press. ISBN 9780691145587.
10. Cahill, Kevin Cahill (2013). Matemáticas físicas (edición revisada). Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 978-1107005211.
11. Larson, Ron; Edwards, Bruce H. (2010). Cálculo de una sola variable (novena edición). Belmont: Brooks/Cole. ISBN 9780547209982.
12. Shankar, R. (1994). Principios de la mecánica cuántica (2.ª ed.). Nueva York: Kluwer Academic / Plenum. pág. 318. ISBN 9780306447907.
13. JE Marsden y TJR Hughes, 2000, Fundamentos matemáticos de la elasticidad , Dover.

Referencias

• Hildebrand, FB (1976). Cálculo avanzado para aplicaciones . Prentice Hall. ISBN 0-13-011189-9.
• KF Riley; MP Hobson; SJ Bence (2010). Métodos matemáticos para la física y la ingeniería . Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-86153-3.
• Shapiro, A. (1990). "Sobre conceptos de diferenciabilidad direccional". Revista de teoría y aplicaciones de optimización . 66 (3): 477–487. doi :10.1007/BF00940933. S2CID  120253580.

Enlaces externos

Medios relacionados con Derivada direccional en Wikimedia Commons

• Derivadas direccionales en MathWorld .
• Derivada direccional en PlanetMath .