Un vector normal de longitud uno se llama vector normal unitario . Un vector de curvatura es un vector normal cuya longitud es la curvatura del objeto. Multiplicar un vector normal por -1 da como resultado el vector opuesto , que puede usarse para indicar lados (por ejemplo, interior o exterior).
En el espacio tridimensional , una superficie normal , o simplemente normal , a una superficie en el punto P es un vector perpendicular al plano tangente de la superficie en P. La palabra normal también se utiliza como adjetivo: una recta normal a un plano , la componente normal de una fuerza , el vector normal , etc. El concepto de normalidad se generaliza a la ortogonalidad ( ángulos rectos ).
El concepto se ha generalizado a variedades diferenciables de dimensión arbitraria incrustadas en un espacio euclidiano . El espacio vectorial normal o espacio normal de una variedad en un punto es el conjunto de vectores que son ortogonales al espacio tangente en
un punto. Los vectores normales son de especial interés en el caso de curvas suaves y superficies lisas .
El pie de una normal en un punto de interés Q (análogo al pie de una perpendicular ) se puede definir en el punto P de la superficie donde el vector normal contiene a Q. La distancia normal de un punto Q a una curva o a una superficie es la distancia euclidiana entre Q y su pie P.
Normal a superficies en el espacio 3D.
Calcular una superficie normal
Para un polígono convexo (como un triángulo ), una superficie normal se puede calcular como el producto vectorial vectorial de dos aristas (no paralelas) del polígono.
Para un plano dado por la ecuación, el vector es normal.
Para un plano cuya ecuación está dada en forma paramétrica
Si una superficie (posiblemente no plana) en el espacio 3D está parametrizada por un sistema de coordenadas curvilíneas con variables reales , entonces una normal a S es, por definición , una normal a un plano tangente, dada por el producto cruzado de las derivadas parciales.
Si una superficie se da implícitamente como el conjunto de puntos que satisfacen , entonces una normal en un punto de la superficie viene dada por el gradiente
Para una superficie dada como gráfica de una función, se puede encontrar una normal que apunta hacia arriba a partir de la parametrización que proporciona
La normal a una (hiper)superficie generalmente se escala para tener una unidad de longitud , pero no tiene una dirección única, ya que su opuesto también es una unidad normal. Para una superficie que es el límite topológico de un conjunto en tres dimensiones, se puede distinguir entre dos orientaciones normales , la normal que apunta hacia adentro y la normal que apunta hacia afuera . Para una superficie orientada , la normal suele estar determinada por la regla de la mano derecha o su análoga en dimensiones superiores.
Si la normal se construye como el producto cruzado de vectores tangentes (como se describe en el texto anterior), es un pseudovector .
Transformando lo normal
Al aplicar una transformación a una superficie, suele ser útil derivar normales para la superficie resultante a partir de las normales originales.
Específicamente, dada una matriz de transformación de 3×3 podemos determinar la matriz que transforma un vector perpendicular al plano tangente en un vector perpendicular al plano tangente transformado mediante la siguiente lógica:
Escribe n′ como debemos encontrar
Elegir tal que o satisfaga la ecuación anterior, dando una perpendicular a o una perpendicular a según sea necesario.
Por lo tanto, se debe utilizar la transpuesta inversa de la transformación lineal al transformar normales de superficie. La transpuesta inversa es igual a la matriz original si la matriz es ortonormal, es decir, puramente rotacional sin escalamiento ni corte.
La definición de normal a una superficie en un espacio tridimensional se puede extender a hipersuperficies tridimensionales en Una hipersuperficie se puede definir localmente implícitamente como el conjunto de puntos que satisfacen una ecuación donde hay una función escalar dada . Si es continuamente diferenciable , entonces la hipersuperficie es una variedad diferenciable en la vecindad de los puntos donde el gradiente no es cero. En estos puntos un vector normal viene dado por el gradiente:
La recta normal es el subespacio unidimensional con base
Variedades definidas por ecuaciones implícitas en un espacio n -dimensional
Una variedad diferencial definida por ecuaciones implícitas en el espacio -dimensional es el conjunto de ceros comunes de un conjunto finito de funciones diferenciables en variables.
En otras palabras, una variedad se define como la intersección de hipersuperficies, y el espacio vectorial normal en un punto es el espacio vectorial generado por los vectores normales de las hipersuperficies en el punto.
El espacio normal (afín) en un punto de la variedad es el subespacio afín que atraviesa y genera el espacio vectorial normal en
Estas definiciones pueden extenderse palabra por palabra a los puntos en los que la variedad no es múltiple.
Ejemplo
Sea V la variedad definida en el espacio tridimensional por las ecuaciones
En un punto donde las filas de la matriz jacobiana son y Por tanto, el espacio afín normal es el plano de ecuación De manera similar, si el plano normal en es el plano de ecuación
En el punto las filas de la matriz jacobiana son y Por tanto, el espacio vectorial normal y el espacio afín normal tienen dimensión 1 y el espacio afín normal es el eje -.
Paquete normal – paquete vectorial, complementario al paquete tangente, asociado a una incrustaciónPages displaying wikidata descriptions as a fallback
Pseudovector : cantidad física que cambia de signo con una rotación inadecuada.
Normal de vértice : vector direccional asociado con un vértice, pensado como reemplazo de la verdadera normal geométrica de la superficie.Pages displaying wikidata descriptions as a fallback