Conjunto de Caccioppoli

Región con límite de medida finita

En matemáticas , un conjunto de Caccioppoli es un subconjunto de $\R^n$ cuyo límite es (en un sentido adecuado) medible y tiene (al menos localmente ) una medida finita . Un sinónimo es conjunto de perímetro (localmente) finito . Básicamente, un conjunto es un conjunto de Caccioppoli si su función característica es una función de variación acotada , y su perímetro es la variación total de la función característica.

Historia

El concepto básico de un conjunto de Caccioppoli fue introducido por primera vez por el matemático italiano Renato Caccioppoli en el artículo (Caccioppoli 1927): considerando un conjunto plano o una superficie definida en un conjunto abierto en el plano , definió su medida o área como la variación total en el sentido de Tonelli de sus funciones definitorias , es decir, de sus ecuaciones paramétricas , siempre que esta cantidad estuviera acotada . La medida del límite de un conjunto se definió como un funcional , precisamente una función de conjunto , por primera vez: además, al estar definida en conjuntos abiertos , puede definirse en todos los conjuntos de Borel y su valor puede aproximarse por los valores que toma en una red creciente de subconjuntos . Otra propiedad claramente establecida (y demostrada) de este funcional fue su semicontinuidad inferior .

En el artículo (Caccioppoli 1928), precisó utilizando una malla triangular como una red creciente que se aproxima al dominio abierto, definiendo variaciones positivas y negativas cuya suma es la variación total, es decir, el funcional del área . Su punto de vista inspirador, como admitió explícitamente, fue el de Giuseppe Peano , expresado por la Medida de Peano-Jordan : asociar a cada porción de una superficie un área plana orientada de manera similar a como una cuerda de aproximación se asocia a una curva . Además, otro tema encontrado en esta teoría fue la extensión de un funcional de un subespacio a todo el espacio circundante : el uso de teoremas que generalizan el teorema de Hahn-Banach se encuentra con frecuencia en la investigación de Caccioppoli. Sin embargo, el significado restringido de variación total en el sentido de Tonelli agregó mucha complicación al desarrollo formal de la teoría, y el uso de una descripción paramétrica de los conjuntos restringió su alcance.

Lamberto Cesari introdujo la generalización "correcta" de las funciones de variación acotada al caso de varias variables recién en 1936: ^[1] tal vez, esta fue una de las razones que indujo a Caccioppoli a presentar una versión mejorada de su teoría recién casi 24 años después, en la charla (Caccioppoli 1953) en el IV Congreso de la UMI en octubre de 1951, seguida por cinco notas publicadas en los Rendiconti de la Accademia Nazionale dei Lincei . Estas notas fueron duramente criticadas por Laurence Chisholm Young en Mathematical Reviews . ^[2]

En 1952 Ennio De Giorgi presentó sus primeros resultados, desarrollando las ideas de Caccioppoli, sobre la definición de la medida de los límites de los conjuntos en el Congreso de Salzburgo de la Sociedad Matemática Austriaca: obtuvo estos resultados utilizando un operador de suavizado, análogo a un suavizador , construido a partir de la función gaussiana , demostrando independientemente algunos resultados de Caccioppoli. Probablemente fue llevado a estudiar esta teoría por su maestro y amigo Mauro Picone , quien también había sido maestro de Caccioppoli y también era su amigo. De Giorgi conoció a Caccioppoli en 1953 por primera vez: durante su encuentro, Caccioppoli expresó un profundo aprecio por su trabajo, iniciando una amistad de por vida. ^[3] El mismo año publicó su primer artículo sobre el tema ie (De Giorgi 1953): sin embargo, este artículo y el inmediatamente posterior no atrajeron mucho interés de la comunidad matemática. Fue solo con el artículo (De Giorgi 1954), revisado nuevamente por Laurence Chisholm Young en Mathematical Reviews, ^[4] que su enfoque de los conjuntos de perímetro finito se hizo ampliamente conocido y apreciado: además, en la revisión, Young revisó su crítica previa sobre el trabajo de Caccioppoli.

El último artículo de De Giorgi sobre la teoría de perímetros fue publicado en 1958: en 1959, después de la muerte de Caccioppoli, comenzó a llamar conjuntos de perímetro finito "conjuntos de Caccioppoli". Dos años más tarde Herbert Federer y Wendell Fleming publicaron su artículo (Federer & Fleming 1960), cambiando el enfoque de la teoría. Básicamente introdujeron dos nuevos tipos de corrientes , respectivamente corrientes normales y corrientes integrales : en una serie posterior de artículos y en su famoso tratado ^[5] , Federer demostró que los conjuntos de Caccioppoli son corrientes normales de dimensión en espacios euclidianos de dimensión 1-2 . Sin embargo, incluso si la teoría de los conjuntos de Caccioppoli puede estudiarse en el marco de la teoría de corrientes , es habitual estudiarla a través del enfoque "tradicional" utilizando funciones de variación acotada , como lo atestiguan las diversas secciones que se encuentran en muchas monografías importantes en matemáticas y física matemática . ^[6] ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$

Definición formal

A continuación se utilizará la definición y propiedades de funciones de variación acotada en el entorno dimensional. ${\displaystyle n}$

Definición de Caccioppoli

Definición 1. Sea un subconjunto abierto de y sea un conjunto de Borel . El perímetro de en se define de la siguiente manera ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle \Omega }$

${\displaystyle P(E,\Omega )=V\left(\chi _{E},\Omega \right):=\sup \left\{\int _{\Omega }\chi _{E}(x)\mathrm {div} {\boldsymbol {\phi }}(x)\,\mathrm {d} x:{\boldsymbol {\phi }}\in C_{c}^{1}(\Omega ,\mathbb {R} ^{n}),\ \|{\boldsymbol {\phi }}\|_{L^{\infty }(\Omega )}\leq 1\right\}}$

donde es la función característica de . Es decir, el perímetro de en un conjunto abierto se define como la variación total de su función característica en ese conjunto abierto. Si , entonces escribimos para el perímetro (global). ${\displaystyle \chi _{E}}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle \Omega =\mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle P(E)=P(E,\mathbb {R} ^{n})}$

Definición 2. El conjunto de Borel es un conjunto de Caccioppoli si y sólo si tiene perímetro finito en cada subconjunto abierto acotado de , es decir ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

${\displaystyle P(E,\Omega )<+\infty }$siempre que esté abierto y limitado. ${\displaystyle \Omega \subset \mathbb {R} ^{n}}$

Por lo tanto, un conjunto de Caccioppoli tiene una función característica cuya variación total está localmente acotada. De la teoría de funciones de variación acotada se sabe que esto implica la existencia de una medida de Radon de valor vectorial tal que ${\displaystyle D\chi _{E}}$

${\displaystyle \int _{\Omega }\chi _{E}(x)\mathrm {div} {\boldsymbol {\phi }}(x)\mathrm {d} x=\int _{E}\mathrm {div} {\boldsymbol {\phi }}(x)\,\mathrm {d} x=-\int _{\Omega }\langle {\boldsymbol {\phi }},D\chi _{E}(x)\rangle \qquad \forall {\boldsymbol {\phi }}\in C_{c}^{1}(\Omega ,\mathbb {R} ^{n})}$

Como se señaló para el caso de funciones generales de variación acotada , esta medida vectorial es el gradiente distribucional o débil de . La medida de variación total asociada con se denota por , es decir, para cada conjunto abierto escribimos para . ${\displaystyle D\chi _{E}}$ ${\displaystyle \chi _{E}}$ ${\displaystyle D\chi _{E}}$ ${\displaystyle |D\chi _{E}|}$ ${\displaystyle \Omega \subset \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle |D\chi _{E}|(\Omega )}$ ${\displaystyle P(E,\Omega )=V(\chi _{E},\Omega )}$

Definición de De Giorgi

En sus artículos (De Giorgi 1953) y (De Giorgi 1954), Ennio De Giorgi introduce el siguiente operador de suavizado , análogo a la transformada de Weierstrass en el caso unidimensional

${\displaystyle W_{\lambda }\chi _{E}(x)=\int _{\mathbb {R} ^{n}}g_{\lambda }(x-y)\chi _{E}(y)\mathrm {d} y=(\pi \lambda )^{-{\frac {n}{2}}}\int _{E}e^{-{\frac {(x-y)^{2}}{\lambda }}}\mathrm {d} y}$

Como se puede demostrar fácilmente, es una función suave para todo , tal que ${\displaystyle W_{\lambda }\chi (x)}$ ${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{n}}$

${\displaystyle \lim _{\lambda \to 0}W_{\lambda }\chi _{E}(x)=\chi _{E}(x)}$

Además, su gradiente está bien definido en todas partes, y también lo está su valor absoluto.

${\displaystyle \nabla W_{\lambda }\chi _{E}(x)=\mathrm {grad} W_{\lambda }\chi _{E}(x)=DW_{\lambda }\chi _{E}(x)={\begin{pmatrix}{\frac {\partial W_{\lambda }\chi _{E}(x)}{\partial x_{1}}}\\\vdots \\{\frac {\partial W_{\lambda }\chi _{E}(x)}{\partial x_{n}}}\\\end{pmatrix}}\Longleftrightarrow \left|DW_{\lambda }\chi _{E}(x)\right|={\sqrt {\sum _{k=1}^{n}\left|{\frac {\partial W_{\lambda }\chi _{E}(x)}{\partial x_{k}}}\right|^{2}}}}$

Habiendo definido esta función, De Giorgi da la siguiente definición de perímetro :

Definición 3. Sea un subconjunto abierto de y sea un conjunto de Borel . El perímetro de en es el valor ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle \Omega }$

${\displaystyle P(E,\Omega )=\lim _{\lambda \to 0}\int _{\Omega }|DW_{\lambda }\chi _{E}(x)|\mathrm {d} x}$

En realidad, De Giorgi consideró el caso ; sin embargo, la extensión al caso general no es difícil. Se puede demostrar que las dos definiciones son exactamente equivalentes: para una prueba, véanse los artículos de De Giorgi ya citados o el libro (Giusti 1984). Ahora bien, habiendo definido qué es un perímetro, De Giorgi da la misma definición 2 de qué es un conjunto de perímetros (localmente) finitos . ${\displaystyle \Omega =\mathbb {R} ^{n}}$

Propiedades básicas

Las siguientes propiedades son las propiedades ordinarias que se supone que tiene la noción general de perímetro :

• Si entonces , con igualdad mantenida si y sólo si el cierre de es un subconjunto compacto de . ${\displaystyle \Omega \subseteq \Omega _{1}}$ ${\displaystyle P(E,\Omega )\leq P(E,\Omega _{1})}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle \Omega }$
• Para cualesquiera dos conjuntos de Cacciopoli y , la relación se cumple, siendo la igualdad cierta si y sólo si , donde es la distancia entre conjuntos en el espacio euclidiano . ${\displaystyle E_{1}}$ ${\displaystyle E_{2}}$ ${\displaystyle P(E_{1}\cup E_{2},\Omega )\leq P(E_{1},\Omega )+P(E_{2},\Omega _{1})}$ ${\displaystyle d(E_{1},E_{2})>0}$ ${\displaystyle d}$
• Si la medida de Lebesgue de es , entonces : esto implica que si la diferencia simétrica de dos conjuntos tiene medida de Lebesgue cero, los dos conjuntos tienen el mismo perímetro, es decir . ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle P(E)=0}$ ${\displaystyle E_{1}\triangle E_{2}}$ ${\displaystyle P(E_{1})=P(E_{2})}$

Nociones de límite

Para cualquier conjunto de Caccioppoli existen dos cantidades analíticas naturalmente asociadas: la medida de Radon con valor vectorial y su medida de variación total . Dado que ${\displaystyle E\subset \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle D\chi _{E}}$ ${\displaystyle |D\chi _{E}|}$

${\displaystyle P(E,\Omega )=\int _{\Omega }|D\chi _{E}|}$

es el perímetro dentro de cualquier conjunto abierto , se debería esperar que solo eso de alguna manera explique el perímetro de . ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle D\chi _{E}}$ ${\displaystyle E}$

El límite topológico

Es natural intentar comprender la relación entre los objetos , , y el límite topológico . Existe un lema elemental que garantiza que el soporte (en el sentido de distribuciones ) de , y por lo tanto también , está siempre contenido en : ${\displaystyle D\chi _{E}}$ ${\displaystyle |D\chi _{E}|}$ ${\displaystyle \partial E}$ ${\displaystyle D\chi _{E}}$ ${\displaystyle |D\chi _{E}|}$ ${\displaystyle \partial E}$

Lema . El soporte de la medida de Radon con valor vectorial es un subconjunto del límite topológico de . ${\displaystyle D\chi _{E}}$ ${\displaystyle \partial E}$ ${\displaystyle E}$

Demostración . Para ver esto, elijamos : entonces pertenece al conjunto abierto y esto implica que pertenece a un entorno abierto contenido en el interior de o en el interior de . Sea . Si donde es la clausura de , entonces para y ${\displaystyle x_{0}\notin \partial E}$ ${\displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}\setminus \partial E}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}\setminus E}$ ${\displaystyle \phi \in C_{c}^{1}(A;\mathbb {R} ^{n})}$ ${\displaystyle A\subseteq (\mathbb {R} ^{n}\setminus E)^{\circ }=\mathbb {R} ^{n}\setminus E^{-}}$ ${\displaystyle E^{-}}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle \chi _{E}(x)=0}$ ${\displaystyle x\in A}$

${\displaystyle \int _{\Omega }\langle {\boldsymbol {\phi }},D\chi _{E}(x)\rangle =-\int _{A}\chi _{E}(x)\,\operatorname {div} {\boldsymbol {\phi }}(x)\,\mathrm {d} x=0}$

De la misma manera, si entonces por así decirlo ${\displaystyle A\subseteq E^{\circ }}$ ${\displaystyle \chi _{E}(x)=1}$ ${\displaystyle x\in A}$

${\displaystyle \int _{\Omega }\langle {\boldsymbol {\phi }},D\chi _{E}(x)\rangle =-\int _{A}\operatorname {div} {\boldsymbol {\phi }}(x)\,\mathrm {d} x=0}$

Con arbitrario se sigue que está fuera del soporte de . ${\displaystyle \phi \in C_{c}^{1}(A,\mathbb {R} ^{n})}$ ${\displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle D\chi _{E}}$

El límite reducido

El límite topológico resulta demasiado rudimentario para los conjuntos de Caccioppoli porque su medida de Hausdorff sobrecompensa el perímetro definido anteriormente. De hecho, el conjunto de Caccioppoli ${\displaystyle \partial E}$ ${\displaystyle P(E)}$

${\displaystyle E=\{(x,y):0\leq x,y\leq 1\}\cup \{(x,0):-1\leq x\leq 1\}\subset \mathbb {R} ^{2}}$

que representa un cuadrado junto con un segmento de línea que sobresale a la izquierda tiene perímetro , es decir, se ignora el segmento de línea extraño, mientras que su límite topológico ${\displaystyle P(E)=4}$

${\displaystyle \partial E=\{(x,0):-1\leq x\leq 1\}\cup \{(x,1):0\leq x\leq 1\}\cup \{(x,y):x\in \{0,1\},0\leq y\leq 1\}}$

tiene medida de Hausdorff unidimensional . ${\displaystyle {\mathcal {H}}^{1}(\partial E)=5}$

Por lo tanto, el límite "correcto" debería ser un subconjunto de . Definimos: ${\displaystyle \partial E}$

Definición 4. El límite reducido de un conjunto de Caccioppoli se denota por y se define como igual a la colección de puntos en los que el límite: ${\displaystyle E\subset \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \partial ^{*}E}$ ${\displaystyle x}$

${\displaystyle \nu _{E}(x):=\lim _{\rho \downarrow 0}{\frac {D\chi _{E}(B_{\rho }(x))}{|D\chi _{E}|(B_{\rho }(x))}}\in \mathbb {R} ^{n}}$

existe y tiene una longitud igual a uno, es decir . ${\displaystyle |\nu _{E}(x)|=1}$

Se puede observar que, según el teorema de Radon-Nikodym, el límite reducido está necesariamente contenido en el soporte de , que a su vez está contenido en el límite topológico, como se explicó en la sección anterior. Es decir: ${\displaystyle \partial ^{*}E}$ ${\displaystyle D\chi _{E}}$ ${\displaystyle \partial E}$

${\displaystyle \partial ^{*}E\subseteq \operatorname {support} D\chi _{E}\subseteq \partial E}$

Las inclusiones anteriores no son necesariamente igualdades como lo muestra el ejemplo anterior. En ese ejemplo, es el cuadrado con el segmento que sobresale, es el cuadrado y es el cuadrado sin sus cuatro esquinas. ${\displaystyle \partial E}$ ${\displaystyle \operatorname {support} D\chi _{E}}$ ${\displaystyle \partial ^{*}E}$

Teorema de De Giorgi

Por conveniencia, en esta sección tratamos sólo el caso en el que , es decir, el conjunto tiene un perímetro (globalmente) finito. El teorema de De Giorgi proporciona una intuición geométrica para la noción de límites reducidos y confirma que es la definición más natural para los conjuntos de Caccioppoli al mostrar ${\displaystyle \Omega =\mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle E}$

${\displaystyle P(E)\left(=\int |D\chi _{E}|\right)={\mathcal {H}}^{n-1}(\partial ^{*}E)}$

es decir que su medida de Hausdorff es igual al perímetro del conjunto. El enunciado del teorema es bastante largo porque interrelaciona varias nociones geométricas de una sola vez.

Teorema . Supóngase que es un conjunto de Caccioppoli. Entonces en cada punto del límite reducido existe una multiplicidad de un espacio tangente aproximado de , es decir, un subespacio de codimensión 1 de tal que ${\displaystyle E\subset \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \partial ^{*}E}$ ${\displaystyle T_{x}}$ ${\displaystyle |D\chi _{E}|}$ ${\displaystyle T_{x}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

${\displaystyle \lim _{\lambda \downarrow 0}\int _{\mathbb {R} ^{n}}f(\lambda ^{-1}(z-x))|D\chi _{E}|(z)=\int _{T_{x}}f(y)\,d{\mathcal {H}}^{n-1}(y)}$

Para cada continuo, con soporte compacto . De hecho, el subespacio es el complemento ortogonal del vector unitario. ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle T_{x}}$

${\displaystyle \nu _{E}(x)=\lim _{\rho \downarrow 0}{\frac {D\chi _{E}(B_{\rho }(x))}{|D\chi _{E}|(B_{\rho }(x))}}\in \mathbb {R} ^{n}}$

definido previamente. Este vector unitario también satisface

${\displaystyle \lim _{\lambda \downarrow 0}\left\{\lambda ^{-1}(z-x):z\in E\right\}\to \left\{y\in \mathbb {R} ^{n}:y\cdot \nu _{E}(x)>0\right\}}$

localmente en , por lo que se interpreta como un vector unitario normal aproximado que apunta hacia adentro al límite reducido . Finalmente, es (n-1) -rectificable y la restricción de la medida de Hausdorff (n-1)-dimensional a es , es decir ${\displaystyle L^{1}}$ ${\displaystyle \partial ^{*}E}$ ${\displaystyle \partial ^{*}E}$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}^{n-1}}$ ${\displaystyle \partial ^{*}E}$ ${\displaystyle |D\chi _{E}|}$

${\displaystyle |D\chi _{E}|(A)={\mathcal {H}}^{n-1}(A\cap \partial ^{*}E)}$para todos los conjuntos de Borel . ${\displaystyle A\subset \mathbb {R} ^{n}}$

En otras palabras, hasta la medida cero el límite reducido es el conjunto más pequeño en el que se apoya. ${\displaystyle {\mathcal {H}}^{n-1}}$ ${\displaystyle \partial ^{*}E}$ ${\displaystyle D\chi _{E}}$

Aplicaciones

Una fórmula de Gauss-Green

De la definición del vector de medida Radon y de las propiedades del perímetro, se cumple la siguiente fórmula: ${\displaystyle D\chi _{E}}$

${\displaystyle \int _{E}\operatorname {div} {\boldsymbol {\phi }}(x)\,\mathrm {d} x=-\int _{\partial E}\langle {\boldsymbol {\phi }},D\chi _{E}(x)\rangle \qquad {\boldsymbol {\phi }}\in C_{c}^{1}(\Omega ,\mathbb {R} ^{n})}$

Esta es una versión del teorema de divergencia para dominios con un límite no uniforme . El teorema de De Giorgi se puede utilizar para formular la misma identidad en términos del límite reducido y el vector normal unitario aproximado que apunta hacia adentro . Precisamente, se cumple la siguiente igualdad ${\displaystyle \partial ^{*}E}$ ${\displaystyle \nu _{E}}$

${\displaystyle \int _{E}\operatorname {div} {\boldsymbol {\phi }}(x)\,\mathrm {d} x=-\int _{\partial ^{*}E}{\boldsymbol {\phi }}(x)\cdot \nu _{E}(x)\,\mathrm {d} {\mathcal {H}}^{n-1}(x)\qquad {\boldsymbol {\phi }}\in C_{c}^{1}(\Omega ,\mathbb {R} ^{n})}$

Véase también

• Teoría de la medida geométrica
• Teorema de divergencia
• Integral de Pfeffer

Notas

1. En el artículo (Cesari 1936). Para más detalles, véanse las entradas " Variación limitada " y " Variación total ".
2. Véase MR 56067.
3. Duró hasta la trágica muerte de Caccioppoli en 1959.
4. Véase MR 0062214.
5. Véase (Federer 1996).
6. Ver la sección "Referencias".

Referencias

Referencias históricas

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• Caccioppoli, Renato (1928), "Sulle coppie di funzioni a variazione limitata" [Sobre pares de funciones de variación acotada], Rendiconti dell'Accademia di Scienze Fisiche e Matematiche di Napoli , 3 (en italiano), 34 : 83–88, JFM  54.0290.04. El trabajo donde Caccioppoli hizo rigurosos y desarrolló los conceptos introducidos en el trabajo anterior (Caccioppoli 1927).
• Caccioppoli, Renato (1953), "Elementi di una teoria generale dell'integrazione k -dimensionale in uno spazio n -dimensionale", Atti IV Congresso UMI, Taormina, octubre de 1951 [ Elementos de una teoría general de la integración k -dimensional en una n -espacio dimensional ] (en italiano), vol. 2, Roma : Edizioni Cremonese (distribuido por Unione Matematica Italiana ), págs. 41–49, MR  0056067, Zbl  0051.29402.El primer artículo que detalla la teoría del perímetro finito establecido en un entorno bastante completo.
• Caccioppoli, Renato (1963), Opere scelte [ Artículos seleccionados ], Roma : Edizioni Cremonese (distribuido por Unione Matematica Italiana ), págs. XXX+434 (vol. 1), 350 (vol. 2), ISBN 88-7083-505-7, Zbl0112.28201 ​. Una selección de las obras científicas de Caccioppoli con una biografía y un comentario de Mauro Picone .
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• De Giorgi, Ennio (1953), "Definizione ed espressione analitica del perimetro di un insieme" [Definición y expresión analítica del perímetro de un conjunto], Atti della Accademia Nazionale dei Lincei. Rendiconti. Classe di Scienze Fisiche, Matematiche e Naturali , VIII (en italiano), 14 : 390–393, MR  0056066, Zbl  0051.29403La primera nota publicada por De Giorgi describiendo su aproximación a los conjuntos de Caccioppoli.
• De Giorgi, Ennio (1954), "Su una teoria generale della misura ( r -1 ) -dimensionale in uno spazio ad r dimensioni " [Sobre una teoría general de la medida ( r -1) -dimensional en el espacio r -dimensional], Annali di Matematica Pura ed Applicata , Serie IV (en italiano), 36 (1): 191–213, doi :10.1007/BF02412838, hdl : 10338.dmlcz/126043 , MR  0062214, S2CID  122418733, Zbl  0055.28504. La primera exposición completa de De Giorgi de la teoría de los conjuntos de Caccioppoli.
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Referencias científicas

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Enlaces externos

• O'Neil, Toby Christopher (2001) [1994], "Teoría de la medida geométrica", Enciclopedia de matemáticas , EMS Press
• Zagaller, Victor Abramovich (2001) [1994], "Perímetro", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
• Función de variación acotada en Enciclopedia de Matemáticas