Espacio tangente aproximado

Generalización teórica de la medida del concepto de espacio tangente

En la teoría de la medida geométrica, un espacio tangente aproximado es una generalización teórica de la medida del concepto de espacio tangente para una variedad diferenciable .

Definición

En geometría diferencial, la característica definitoria de un espacio tangente es que se aproxima a la variedad suave hasta el primer orden cerca del punto de tangencia. De manera equivalente, si nos acercamos cada vez más al punto de tangencia, la variedad parece volverse cada vez más recta, tendiendo asintóticamente a aproximarse al espacio tangente. Este resulta ser el punto de vista correcto en la teoría de la medida geométrica.

Definición de conjuntos

Definición . Sea un conjunto medible con respecto a una medida de Hausdorff m -dimensional y tal que la medida de restricción es una medida de Radon . Decimos que un subespacio m -dimensional es el espacio tangente aproximado a en un cierto punto , denotado , si ${\displaystyle M\subset \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}^{m}}$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}^{m}\llcorner M}$ ${\displaystyle P\subset \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle T_{x}M=P}$

${\displaystyle \left({\mathcal {H}}^{m}\llcorner M\right)_{x,\lambda }\rightharpoonup {\mathcal {H}}^{m}\llcorner P}$como ${\displaystyle \lambda \downarrow 0}$

En el sentido de las medidas de Radon . Aquí, para cualquier medida, denotamos por la medida reescalada y traducida: ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \mu _{x,\lambda }}$

${\displaystyle \mu _{x,\lambda }(A):=\lambda ^{-n}\mu (x+\lambda A),\qquad A\subset \mathbb {R} ^{n}}$

Ciertamente, cualquier espacio tangente clásico a una subvariedad suave es un espacio tangente aproximado, pero lo inverso no es necesariamente cierto.

Multiplicidades

La parábola

${\displaystyle M_{1}:=\{(x,x^{2}):x\in \mathbb {R} \}\subset \mathbb {R} ^{2}}$

es una subvariedad unidimensional lisa. Su espacio tangente en el origen es la línea horizontal . Por otra parte, si incorporamos la reflexión a lo largo del eje x : ${\displaystyle (0,0)\in M_{1}}$ ${\displaystyle T_{(0,0)}M_{1}=\mathbb {R} \times \{0\}}$

${\displaystyle M_{2}:=\{(x,x^{2}):x\in \mathbb {R} \}\cup \{(x,-x^{2}):x\in \mathbb {R} \}\subset \mathbb {R} ^{2}}$

Entonces ya no es una subvariedad unidimensional lisa y no hay espacio tangente clásico en el origen. Por otra parte, al hacer zoom en el origen, el conjunto es aproximadamente igual a dos líneas rectas que se superponen en el límite. Sería razonable decir que tiene un espacio tangente aproximado con multiplicidad dos. ${\displaystyle M_{2}}$ ${\displaystyle M_{2}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} \times \{0\}}$

Definición de medidas

Se puede generalizar la definición anterior y proceder a definir espacios tangentes aproximados para ciertas medidas de Radon , permitiendo multiplicidades como las explicadas en la sección anterior.

Definición . Sea una medida de Radon en . Decimos que un subespacio m -dimensional es el espacio tangente aproximado a en un punto con multiplicidad , denotado con multiplicidad , si ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle P\subset \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \theta (x)\in (0,\infty )}$ ${\displaystyle T_{x}\mu =P}$ ${\displaystyle \theta (x)}$

${\displaystyle \mu _{x,\lambda }\rightharpoonup \theta (x)\;{\mathcal {H}}^{m}\llcorner P}$como ${\displaystyle \lambda \downarrow 0}$

en el sentido de las medidas de Radon. El lado derecho es un múltiplo constante de la medida de Hausdorff m -dimensional restringida a . ${\displaystyle P}$

Esta definición generaliza la de los conjuntos, como se puede ver al tomar para cualquier como en esa sección. También tiene en cuenta el ejemplo del paraboloide reflejado anterior, ya que para tenemos con multiplicidad dos. ${\displaystyle \mu :={\mathcal {H}}^{n}\llcorner M}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \mu :={\mathcal {H}}^{1}\llcorner M_{2}}$ ${\displaystyle T_{(0,0)}\mu =\mathbb {R} \times \{0\}}$

Relación con los conjuntos rectificables

La noción de espacios tangentes aproximados está muy relacionada con la de conjuntos rectificables . En términos generales, los conjuntos rectificables son precisamente aquellos para los que existen espacios tangentes aproximados casi en todas partes. El siguiente lema resume esta relación:

Lema . Sea medible con respecto a la medida de Hausdorff m -dimensional . Entonces es m- rectificable si y solo si existe una función localmente integrable positiva tal que la medida de Radon ${\displaystyle M\subset \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}^{m}}$ ${\displaystyle \theta :M\to (0,\infty )}$

${\displaystyle \mu (A)=\int _{A}\theta (x)\,d{\mathcal {H}}^{m}(x)}$

tiene espacios tangentes aproximados para -casi cada . ${\displaystyle T_{x}\mu }$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}^{m}}$ ${\displaystyle x\in M}$

Referencias

• Simon, Leon (1983), Lecciones sobre teoría de la medida geométrica , Actas del Centro de Análisis Matemático, vol. 3, Universidad Nacional de Australia, particularmente el Capítulo 3, Sección 11 "Nociones básicas, Propiedades tangentes " .