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Distribuciones en espacios de formas diferenciales

En matemáticas , más particularmente en análisis funcional , topología diferencial y teoría de la medida geométrica , una k -corriente en el sentido de Georges de Rham es una funcional en el espacio de k -formas diferenciales soportadas de forma compacta , en una variedad suave M. Las corrientes se comportan formalmente como distribuciones de Schwartz en un espacio de formas diferenciales, pero en un entorno geométrico, pueden representar la integración sobre una subvariedad, generalizando la función delta de Dirac , o más generalmente incluso derivadas direccionales de funciones delta ( multipolos ) distribuidas a lo largo de subconjuntos de M.

Definición

Sea el espacio de m - formas suaves con soporte compacto sobre una variedad suave Una corriente es una funcional lineal sobre la cual es continua en el sentido de distribuciones . Por lo tanto, una funcional lineal es una corriente m -dimensional si es continua en el siguiente sentido: Si una sucesión de formas suaves, todas soportadas en el mismo conjunto compacto, es tal que todas las derivadas de todos sus coeficientes tienden uniformemente a 0 cuando tiende a infinito, entonces tiende a 0. ${\displaystyle \Omega _{c}^{m}(M)}$ ${\displaystyle M.}$ ${\displaystyle \Omega _{c}^{m}(M)}$ $${\displaystyle T:\Omega _{c}^{m}(M)\to \mathbb {R} }$$ ${\displaystyle \omega _{k}}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle T(\omega _{k})}$

El espacio de corrientes m -dimensionales en es un espacio vectorial real con operaciones definidas por ${\displaystyle {\mathcal {D}}_{m}(M)}$ ${\displaystyle M}$ $${\displaystyle (T+S)(\omega ):=T(\omega )+S(\omega ),\qquad (\lambda T)(\omega ):=\lambda T(\omega ).}$$

Gran parte de la teoría de distribuciones se aplica a las corrientes con ajustes mínimos. Por ejemplo, se puede definir el soporte de una corriente como el complemento del conjunto abierto más grande tal que siempre que ${\displaystyle T\in {\mathcal {D}}_{m}(M)}$ ${\displaystyle U\subset M}$ $${\displaystyle T(\omega )=0}$$ ${\displaystyle \omega \in \Omega _{c}^{m}(U)}$

El subespacio lineal de que consiste en corrientes con apoyo (en el sentido anterior) que es un subconjunto compacto de se denota ${\displaystyle {\mathcal {D}}_{m}(M)}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle {\mathcal {E}}_{m}(M).}$

Teoría homológica

La integración sobre una subvariedad orientada rectificable compacta M ( con borde ) de dimensión m define una m -corriente, denotada por : ${\displaystyle [[M]]}$ $${\displaystyle [[M]](\omega )=\int _{M}\omega .}$$

Si el límite ∂ M de M es rectificable, entonces también define una corriente por integración, y en virtud del teorema de Stokes se tiene: $${\displaystyle [[\partial M]](\omega )=\int _{\partial M}\omega =\int _{M}d\omega =[[M]](d\omega ).}$$

Esto relaciona la derivada exterior d con el operador de frontera ∂ en la homología de M.

En vista de esta fórmula podemos definir un operador de frontera sobre corrientes arbitrarias vía dualidad con la derivada exterior por para todas las m -formas soportadas de forma compacta $${\displaystyle \partial :{\mathcal {D}}_{m+1}\to {\mathcal {D}}_{m}}$$ $${\displaystyle (\partial T)(\omega ):=T(d\omega )}$$ ${\displaystyle \omega .}$

Ciertas subclases de corrientes que están cerradas bajo pueden usarse en lugar de todas las corrientes para crear una teoría de homología, que puede satisfacer los axiomas de Eilenberg-Steenrod en ciertos casos. Un ejemplo clásico es la subclase de corrientes integrales en retractos de vecindad de Lipschitz. ${\displaystyle \partial }$

Topología y normas

El espacio de corrientes está naturalmente dotado de la topología débil-* , que en adelante se denominará simplemente convergencia débil . Una secuencia de corrientes converge a una corriente si ${\displaystyle T_{k}}$ ${\displaystyle T}$ $${\displaystyle T_{k}(\omega )\to T(\omega ),\qquad \forall \omega .}$$

Es posible definir varias normas sobre subespacios del espacio de todas las corrientes. Una de esas normas es la norma de masa . Si es una forma m , entonces defina su coma por ${\displaystyle \omega }$ $${\displaystyle \|\omega \|:=\sup\{\left|\langle \omega ,\xi \rangle \right|:\xi {\mbox{ is a unit, simple, }}m{\mbox{-vector}}\}.}$$

Por lo tanto, si es una forma m simple , entonces su norma de masa es la norma L ^∞ habitual de su coeficiente. La masa de una corriente se define entonces como ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle T}$ $${\displaystyle \mathbf {M} (T):=\sup\{T(\omega ):\sup _{x}|\vert \omega (x)|\vert \leq 1\}.}$$

La masa de una corriente representa el área ponderada de la superficie generalizada. Una corriente tal que M ( T ) < ∞ es representable por integración de una medida de Borel regular mediante una versión del teorema de representación de Riesz . Este es el punto de partida de la integración homológica .

Una norma intermedia es la norma plana de Whitney , definida por $${\displaystyle \mathbf {F} (T):=\inf\{\mathbf {M} (T-\partial A)+\mathbf {M} (A):A\in {\mathcal {E}}_{m+1}\}.}$$

Dos corrientes están próximas en la norma de masa si coinciden a partir de una pequeña parte. Por otro lado, están próximas en la norma plana si coinciden hasta una pequeña deformación.

Ejemplos

Recordemos que lo siguiente define una corriente 0: $${\displaystyle \Omega _{c}^{0}(\mathbb {R} ^{n})\equiv C_{c}^{\infty }(\mathbb {R} ^{n})}$$ $${\displaystyle T(f)=f(0).}$$

En particular, cada medida regular con signo es una corriente 0: ${\displaystyle \mu }$ $${\displaystyle T(f)=\int f(x)\,d\mu (x).}$$

Sean ( x , y , z ) las coordenadas en Entonces lo siguiente define una 2-corriente (una de muchas): ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}.}$ $${\displaystyle T(a\,dx\wedge dy+b\,dy\wedge dz+c\,dx\wedge dz):=\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}b(x,y,0)\,dx\,dy.}$$

Véase también

• Georges de Rham
• Herbert Federer
• Geometría diferencial
• Plegado variable

Notas

Referencias

• de Rham, Georges (1984). Colectores diferenciables. Formas, corrientes, formas armónicas . Grundlehren der mathematischen Wissenschaften. vol. 266. Traducido por Smith, FR Con una introducción de SS Chern . (Traducción de la edición original francesa de 1955). Berlín: Springer-Verlag . doi :10.1007/978-3-642-61752-2. ISBN 3-540-13463-8. Sr.  0760450. Zbl  0534.58003.
• Federer, Herbert (1969). Teoría de la medida geométrica . Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften. vol. 153. Berlín – Heidelberg – Nueva York: Springer-Verlag . doi :10.1007/978-3-642-62010-2. ISBN 978-3-540-60656-7. Sr.  0257325. Zbl  0176.00801.
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• Simon, Leon (1983). Lecciones sobre teoría de la medida geométrica. Actas del Centro de Análisis Matemático. Vol. 3. Canberra: Centro de Análisis Matemático de la Universidad Nacional de Australia . ISBN 0-86784-429-9. Sr.  0756417. Zbl  0546.49019.
• Whitney, Hassler (1957). Teoría de la integración geométrica . Princeton Mathematical Series. Vol. 21. Princeton, NJ y Londres: Princeton University Press y Oxford University Press . doi :10.1515/9781400877577. ISBN . 9780691652900.Sr .  0087148. Zbl  0083.28204..
• Lin, Fanghua; Yang, Xiaoping (2003), Teoría de la medida geométrica: una introducción , Advanced Mathematics (Beijing/Boston), vol. 1, Beijing/Boston: Science Press/International Press, págs. x+237, ISBN 978-1-57146-125-4, MR  2030862, Zbl  1074.49011

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