Plegado variable

En matemáticas , un varifold es, en términos generales, una generalización teórica de la medida del concepto de variedad diferenciable , que reemplaza los requisitos de diferenciabilidad por los que proporcionan los conjuntos rectificables , manteniendo al mismo tiempo la estructura algebraica general que se suele observar en la geometría diferencial . Los varifolds generalizan la idea de una corriente rectificable y se estudian en la teoría de la medida geométrica .

Nota histórica

Los varifolds fueron introducidos por primera vez por Laurence Chisholm Young en (Young 1951), bajo el nombre de " superficies generalizadas ". ^{[1] [2]} Frederick J. Almgren Jr. modificó ligeramente la definición en sus notas mimeografiadas (Almgren 1965) y acuñó el nombre varifold : quería enfatizar que estos objetos son sustitutos de las variedades ordinarias en problemas de cálculo de variaciones . ^[3] El enfoque moderno de la teoría se basó en las notas de Almgren ^[4] y fue establecido por William K. Allard, en el artículo (Allard 1972).

Definición

Dado un subconjunto abierto del espacio euclidiano , una variable m -dimensional en se define como una medida de Radon en el conjunto ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \Omega }$

${\displaystyle \Omega \times G(n,m)}$

donde es el Grassmanniano de todos los subespacios lineales de dimensión m de un espacio vectorial de dimensión n . El Grassmanniano se utiliza para permitir la construcción de análogos a formas diferenciales como duales a campos vectoriales en el espacio tangente aproximado del conjunto . ${\displaystyle G(n,m)}$ ${\displaystyle \Omega }$

El caso particular de una varifold rectificable son los datos de un conjunto m -rectificable M (que es medible con respecto a la medida de Hausdorff m -dimensional), y una función de densidad definida en M , que es una función positiva θ medible y localmente integrable con respecto a la medida de Hausdorff m -dimensional. Define una medida de Radon V en el fibrado de Grassmann de ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

${\displaystyle V(A):=\int _{\Gamma _{M,A}}\!\!\!\!\!\!\!\theta (x)\mathrm {d} {\mathcal {H}}^{m}(x)}$

dónde

• ${\displaystyle \Gamma _{M,A}=M\cap \{x:(x,\mathrm {Tan} ^{m}(x,M))\in A\}}$
• ${\displaystyle {\mathcal {H}}^{m}(x)}$es la medida de Hausdorff −dimensional ${\displaystyle m}$

Las varifolds rectificables son objetos más débiles que las corrientes rectificables localmente: no tienen ninguna orientación . Reemplazando M por conjuntos más regulares, se ve fácilmente que las subvariedades diferenciables son casos particulares de variedades rectificables .

Debido a la falta de orientación , no hay ningún operador de límite definido en el espacio de varifolds.

Véase también

• Actual
• Teoría de la medida geométrica
• Grassmaniano
• El problema de Plateau
• Medición del radón

Notas

1. En sus artículos conmemorativos que describen la investigación de Frederick Almgren , Brian White  (1997, p. 1452, nota al pie 1, 1998, p. 682, nota al pie 1) escribe que se trata " esencialmente de la misma clase de superficies ".
2. Véase también el ensayo inédito de 2015 de Wendell Fleming .
3. Almgren (1993, p. 46) escribe exactamente: " Llamé a los objetos "varifolds" teniendo en mente que eran un sustituto teórico de las variedades creadas para el cálculo variacional ". De hecho, el nombre es un acrónimo de vari ational man ifold .
4. La primera exposición de las ideas de Almgren que tuvo amplia difusión es el libro (Almgren 1966); sin embargo, la primera exposición sistemática de la teoría está contenida en las notas mimeografiadas (Almgren 1965), que tuvieron una circulación mucho menor, aunque se cita en el texto clásico de Herbert Federer sobre la teoría de la medida geométrica . Véase también el breve y claro estudio de Ennio De Giorgi  (1968).

Referencias

• Almgren, Frederick J. Jr. (1993), "Preguntas y respuestas sobre superficies que minimizan el área y teoría de la medida geométrica", en Greene, Robert E. ; Yau, Shing-Tung (eds.), Differential Geometry. Part 1: Partial Differential Equations on Variedades. Actas de un instituto de investigación de verano, celebrado en la Universidad de California, Los Ángeles, CA, EE. UU., del 8 al 28 de julio de 1990 , Actas de simposios sobre matemáticas puras, vol. 54, Providence, RI: American Mathematical Society , págs. 29–53, ISBN 978-0-8218-1494-9, MR  1216574, Zbl  0812.49032Este artículo también se reproduce en (Almgren 1999, pp. 497–521).
• Almgren, Frederick J. Jr. (1999), Obras seleccionadas de Frederick J. Almgren, Jr., Obras completas, vol. 13, Providence, RI: American Mathematical Society , ISBN 978-0-8218-1067-5, MR  1747253, Zbl  0966.01031.
• De Giorgi, Ennio (1968), "Hipersuperficies de medida mínima en espacios euclidianos pluridimensionales" (PDF) , en Petrovsky, Ivan G. (ed.), Trudy Mezhdunarodnogo kongressa matematikov. Actas del Congreso Internacional de Matemáticos (Moscú−1966), Actas del ICM , Moscú : Mir Publishers , pp. 395−401, MR  0234329, Zbl  0188.17503.
• Allard, William K. (mayo de 1972), "Sobre la primera variación de una variable", Annals of Mathematics , Segunda serie, 95 (3): 417–491, doi :10.2307/1970868, JSTOR  1970868, MR  0307015, Zbl  0252.49028.
• Allard, William K. (mayo de 1975), "Sobre la primera variación de un varifold: comportamiento en el límite", Annals of Mathematics , Segunda serie, 101 (3): 418–446, doi :10.2307/1970934, JSTOR  1970934, MR  0397520, Zbl  0319.49026.
• Almgren, Frederick J. Jr. (1965), La teoría de los varifolds: Un cálculo variacional en el gran integrando de área k {\displaystyle k} -dimensional, Princeton : Princeton University Library , p. 178. Un conjunto de notas mimeografiadas donde Frederick J. Almgren Jr. introduce los varifolds por primera vez: el escaneo vinculado está disponible en Albert - El Repositorio Digital del IAS.
• Almgren, Frederick J. Jr. (1966), El problema de Plateau: una invitación a la geometría variable , Mathematics Monographs Series (1.ª ed.), Nueva York–Ámsterdam: WA Benjamin, Inc., págs. XII+74, MR  0190856, Zbl  0165.13201El primer libro de amplia circulación que describe el concepto de varifold. En el capítulo 4 hay una sección titulada " Una solución a la parte de existencia del problema de Plateau ", pero los varifolds estacionarios utilizados en esta sección solo pueden resolver una versión muy simplificada del problema. Por ejemplo, los únicos varifolds estacionarios que contienen el círculo unitario tienen soporte para el disco unitario. En 1968, Almgren utilizó una combinación de varifolds, corrientes integrales, cadenas planas y los métodos de Reifenberg en un intento de extender el célebre artículo de Reifenberg de 1960 a los integrandos elípticos. Sin embargo, hay graves errores en su prueba. Recientemente, Harrison y Pugh (HarrisonPugh 2016) han proporcionado un enfoque diferente al problema de Reifenberg para integrandos elípticos sin utilizar varifolds.
• Harrison, Jenny; Pugh, Harrison (2016), Métodos generales de minimización elíptica , pág. 22, arXiv : 1603.04492 , Bibcode :2016arXiv160304492H.
• Almgren, Frederick J. Jr. (2001) [1966], El problema de Plateau: una invitación a la geometría variable, Student Mathematical Library, vol. 13 (2.ª ed.), Providence, RI : American Mathematical Society , pp. xvi+78, ISBN 978-0-8218-2747-5, MR  1853442, Zbl  0995.49001. La segunda edición del libro (Almgren 1966).
• Đào, Trọng Thi; Fomenko, AT (1991), Superficies mínimas, multivariables estratificadas y el problema de la meseta, Traducciones de monografías matemáticas, vol. 84, Providence, RI: American Mathematical Society , págs. ix+404, ISBN 978-0-8218-4536-3, MR  1093903, Zbl  0716.53003.
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• Simon, Leon (1984), Lectures on Geometric Measure Theory, Actas del Centro de Análisis Matemático, vol. 3, Canberra : Centro de Matemáticas y sus Aplicaciones (CMA), Universidad Nacional Australiana , págs. VII+272 (erratas sueltas), ISBN 978-0-86784-429-0, MR  0756417, Zbl  0546.49019.
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