Tensor (definición intrínseca)

En matemáticas , el enfoque moderno sin componentes de la teoría de un tensor considera al tensor como un objeto abstracto que expresa algún tipo definido de concepto multilineal . Sus propiedades pueden derivarse de sus definiciones, como aplicaciones lineales o de manera más general; y las reglas para la manipulación de tensores surgen como una extensión del álgebra lineal al álgebra multilineal .

En geometría diferencial , un enunciado geométrico intrínseco ^{[ se necesita una definición ]} puede describirse mediante un campo tensorial en una variedad , y entonces no necesita hacer referencia a coordenadas en absoluto. Lo mismo es cierto en la relatividad general , de los campos tensoriales que describen una propiedad física . El enfoque sin componentes también se usa ampliamente en álgebra abstracta y álgebra homológica , donde los tensores surgen naturalmente.

Definición mediante productos tensoriales de espacios vectoriales

Dado un conjunto finito ${V 1, ..., V n}$ de espacios vectoriales sobre un cuerpo común $F$ , se puede formar su producto tensorial $V 1 \otimes ... \otimes V n$ , un elemento del cual se denomina tensor .

Un tensor en el espacio vectorial $V$ se define entonces como un elemento de (es decir, un vector en) un espacio vectorial de la forma: donde $V$ $*$ es el espacio dual de $V$ . $V\otimes \cdots \otimes V\otimes V^{*}\otimes \cdots \otimes V^{*}$

Si en nuestro producto hay $m$ copias de $V$ y $n$ copias de $V *$ , se dice que el tensor es de tipo ( $m$ , $n$ ) y contravariante de orden $m$ y covariante de orden $n y de$ orden total $m + n$ . Los tensores de orden cero son simplemente los escalares (elementos del cuerpo $F$ ), los de orden contravariante 1 son los vectores en $V$ , y los de orden covariante 1 son las uno-formas en $V *$ (por esta razón, los elementos de los dos últimos espacios se denominan a menudo vectores contravariantes y covariantes). El espacio de todos los tensores de tipo $(m, n)$ se denota $T_{n}^{m}(V)=\underbrace {V\otimes \dots \otimes V} _{m}\otimes \underbrace {V^{*}\otimes \dots \otimes V^{*}} _{n}.$

Ejemplo 1. El espacio de tensores tipo $(1, 1)$ , es isomorfo de forma natural al espacio de transformaciones lineales de $V$ a $V$ . $T_{1}^{1}(V)=V\otimes V^{*},$

Ejemplo 2. Una forma bilineal en un espacio vectorial real $V$ , corresponde de manera natural a un tensor de tipo $(0, 2)$ en Un ejemplo de dicha forma bilineal puede definirse, ^[^{aclaración necesaria}^{] denominado}tensor métrico asociado , y usualmente se denota $g$ . $V\veces V\a F,$ $T_{2}^{0}(V)=V^{*}\otimes V^{*}.$

Rango del tensor

Un tensor simple (también llamado tensor de rango uno, tensor elemental o tensor descomponible ^[1] ) es un tensor que puede escribirse como un producto de tensores de la forma donde $a$ $,$ $b$ $, ...,$ $d$ son distintos de cero y en $V$ o $V$ $*$ – es decir, si el tensor es distinto de cero y completamente factorizable . Todo tensor puede expresarse como una suma de tensores simples. El rango de un tensor $T$ es el número mínimo de tensores simples que suman $T$ . ^[2] $T=a\o veces b\o veces \cdots \o veces d$

El tensor cero tiene rango cero. Un tensor de orden 0 o 1 distinto de cero siempre tiene rango 1. El rango de un tensor de orden 2 o superior distinto de cero es menor o igual que el producto de las dimensiones de todos los vectores, excepto los de mayor dimensión (una suma de productos de) en los que se puede expresar el tensor, que es $d n -1$ cuando cada producto es de $n$ vectores de un espacio vectorial de dimensión finita de dimensión $d$ .

El término rango de un tensor extiende la noción de rango de una matriz en álgebra lineal, aunque el término también se usa a menudo para significar el orden (o grado) de un tensor. El rango de una matriz es el número mínimo de vectores columna necesarios para abarcar el rango de la matriz . Por lo tanto, una matriz tiene rango uno si se puede escribir como un producto externo de dos vectores distintos de cero: $A=vw^{\mathrm {T} }.$

El rango de una matriz $A$ es el número más pequeño de dichos productos externos que se pueden sumar para producirla: $A=v_{1}w_{1}^{\mathrm {T}}+\cdots +v_{k}w_{k}^{\mathrm {T}}.$

En índices, un tensor de rango 1 es un tensor de la forma $T_{ij}^{k}=a_{i}b_{j}c^{k}d^{\ell}.$

El rango de un tensor de orden 2 concuerda con el rango cuando el tensor se considera una matriz ^[3] y se puede determinar a partir de la eliminación gaussiana , por ejemplo. Sin embargo, el rango de un tensor de orden 3 o superior suele ser muy difícil de determinar, y las descomposiciones de tensores de bajo rango a veces son de gran interés práctico ^[4] . De hecho, el problema de encontrar el rango de un tensor de orden 3 sobre cualquier cuerpo finito es NP-Completo y, sobre los racionales, es NP-Difícil ^[5] . Las tareas computacionales como la multiplicación eficiente de matrices y la evaluación eficiente de polinomios se pueden reformular como el problema de evaluar simultáneamente un conjunto de formas bilineales para entradas dadas $x$ $i$ e $y$ $j$ . Si se conoce una descomposición de bajo rango del tensor $T$ , entonces se conoce una estrategia de evaluación eficiente ^{[6] .} $z_{k}=\sum _{ij}T_{ijk}x_{i}y_{j}$

Propiedad universal

El espacio puede ser caracterizado por una propiedad universal en términos de aplicaciones multilineales . Entre las ventajas de este enfoque se encuentra que proporciona una manera de mostrar que muchas aplicaciones lineales son "naturales" o "geométricas" (en otras palabras, son independientes de cualquier elección de base). La información computacional explícita puede entonces escribirse utilizando bases, y este orden de prioridades puede ser más conveniente que demostrar que una fórmula da lugar a una aplicación natural. Otro aspecto es que los productos tensoriales no se utilizan solo para módulos libres , y el enfoque "universal" se traslada más fácilmente a situaciones más generales. $Estilo de visualización T_{n}^{m}(V)}$

Una función escalar en un producto cartesiano (o suma directa ) de espacios vectoriales es multilineal si es lineal en cada argumento. El espacio de todas las aplicaciones multilineales de $V$ $1$ $\times ... \times$ $V$ $N$ a $W$ se denota $L$ $N$ $($ $V$ $1$ $, ...,$ $V$ $N$ $;$ $W$ $)$ . Cuando $N$ $= 1$ , una aplicación multilineal es simplemente una aplicación lineal ordinaria, y el espacio de todas las aplicaciones lineales de $V$ a $W$ se denota $L$ $($ $V$ $;$ $W$ $)$ . $f:V_{1}\times \cdots \times V_{N}\to F$

La caracterización universal del producto tensorial implica que, para cada función multilineal (donde $W$ puede representar el campo de escalares, un espacio vectorial o un espacio tensorial) existe una función lineal única tal que para todo $v$ $i$ en $V$ y $α$ $i$ en $V$ $*$ . $f\in L^{m+n}(\underbrace {V^{*},\ldots ,V^{*}} _{m},\underbrace {V,\ldots ,V} _{n};W)$ $T_{f}\in L(\underbrace {V^{*}\otimes \cdots \otimes V^{*}} _{m}\otimes \underbrace {V\otimes \cdots \otimes V} _{n};W)$ $f(\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{m},v_{1},\ldots ,v_{n})=T_{f}(\alpha _{1}\otimes \cdots \otimes \alpha _{m}\otimes v_{1}\otimes \cdots \otimes v_{n})$

Utilizando la propiedad universal, se deduce, cuando $V$ es de dimensión finita , que el espacio de $(m, n)$ -tensores admite un isomorfismo natural $T_{n}^{m}(V)\cong L(\underbrace {V^{*}\otimes \cdots \otimes V^{*}} _{m}\otimes \underbrace {V\otimes \cdots \otimes V} _{n};F)\cong L^{m+n}(\underbrace {V^{*},\ldots ,V^{*}} _{m},\underbrace {V,\ldots ,V} _{n};F).$

Cada $V$ en la definición del tensor corresponde a un $V *$ dentro del argumento de las aplicaciones lineales, y viceversa. (Obsérvese que en el primer caso, hay $m$ copias de $V$ y $n$ copias de $V *$ , y en el segundo caso viceversa). En particular, se tiene ${\begin{aligned}T_{0}^{1}(V)&\cong L(V^{*};F)\cong V,\\T_{1}^{0}(V)&\cong L(V;F)=V^{*},\\T_{1}^{1}(V)&\cong L(V;V).\end{aligned}}$

Campos tensoriales

La geometría diferencial , la física y la ingeniería a menudo deben tratar con campos tensoriales en variedades uniformes . El término tensor se utiliza a veces como abreviatura de campo tensorial . Un campo tensorial expresa el concepto de un tensor que varía de un punto a otro en la variedad.

Referencias

^ Hackbusch (2012), págs. 4.
^ Bourbaki (1989), II, §7, núm. 8.
^ Halmos (1974), §51.
^ de Groote (1987).
^ Håstad (1989).
^ Knuth (1998), págs. 506–508.

Abraham, Ralph ; Marsden, Jerrold E. (1985), Fundamentos de mecánica (2.ª ed.), Reading, Massachusetts: Addison-Wesley, ISBN 0-201-40840-6.
Bourbaki, Nicolas (1989), Elementos de matemáticas, Álgebra I , Springer-Verlag, ISBN 3-540-64243-9.
de Groote, HF (1987), Lecciones sobre la complejidad de problemas bilineales , Lecture Notes in Computer Science, vol. 245, Springer, ISBN 3-540-17205-X.
Halmos, Paul (1974), Espacios vectoriales de dimensión finita , Springer, ISBN 0-387-90093-4.
Håstad, Johan (15 de noviembre de 1989), "El rango tensorial es NP completo", Journal of Algorithms , 11 : 644–654.
Jeevanjee, Nadir (2011), "Introducción a los tensores y la teoría de grupos para físicos", Physics Today , 65 (4): 64, Bibcode :2012PhT....65d..64P, doi :10.1063/PT.3.1523, ISBN 978-0-8176-4714-8.
Knuth, Donald E. (1998) [1969], El arte de la programación informática , vol. 2 (3.ª ed.), págs. 145-146, ISBN 978-0-201-89684-8.
Hackbusch, Wolfgang (2012), Espacios tensoriales y cálculo tensorial numérico , Springer, pág. 4, ISBN 978-3-642-28027-6.