Elemento cero

Generalizaciones del 0 en estructuras algebraicas

En matemáticas , un elemento cero es una de las diversas generalizaciones del número cero a otras estructuras algebraicas . Estos significados alternativos pueden o no reducirse a lo mismo, según el contexto.

Identidades aditivas

Una identidad aditiva es el elemento de identidad en un grupo aditivo o monoide . Corresponde al elemento 0 tal que para todo x en el grupo, 0 + x = x + 0 = x . Algunos ejemplos de identidad aditiva incluyen:

• El vector cero bajo la suma de vectores : el vector cuyos componentes son todos 0; en un espacio vectorial normado su norma (longitud) también es 0. A menudo se denota como o . ^[1] ${\displaystyle \mathbf {0} }$ ${\displaystyle {\vec {0}}}$
• La función cero o mapa cero definido por z ( x ) = 0 , bajo la suma puntual ( f + g )( x ) = f ( x ) + g ( x )
• El conjunto vacío bajo la unión de conjuntos
• Una suma vacía o un coproducto vacío
• Un objeto inicial en una categoría (un coproducto vacío y, por lo tanto, una identidad bajo coproductos )

Elementos absorbentes

Un elemento absorbente en un semigrupo o semianillo multiplicativo generaliza la propiedad 0 ⋅ x = 0 . Algunos ejemplos incluyen:

• El conjunto vacío , que es un elemento absorbente bajo el producto cartesiano de conjuntos, ya que { } × S = { }
• La función cero o mapa cero definido por z ( x ) = 0 bajo la multiplicación puntual ( f ⋅ g )( x ) = f ( x ) ⋅ g ( x )

Muchos elementos absorbentes son también identidades aditivas, entre ellos el conjunto vacío y la función cero. Otro ejemplo importante es el elemento distinguido 0 en un cuerpo o anillo , que es a la vez la identidad aditiva y el elemento absorbente multiplicativo, y cuyo ideal principal es el ideal más pequeño.

Cero objetos

Un objeto cero en una categoría es tanto un objeto inicial como un objeto terminal (y, por lo tanto, una identidad tanto bajo coproductos como productos ). Por ejemplo, la estructura trivial (que contiene solo la identidad) es un objeto cero en categorías donde los morfismos deben mapear identidades a identidades. Algunos ejemplos específicos incluyen:

• El grupo trivial , que contiene sólo la identidad (un objeto cero en la categoría de grupos )
• El módulo cero , que contiene solo la identidad (un objeto cero en la categoría de módulos sobre un anillo)

Cero morfismos

Un morfismo cero en una categoría es un elemento absorbente generalizado bajo composición de funciones : cualquier morfismo compuesto con un morfismo cero da un morfismo cero. Específicamente, si 0 _XY  : X → Y es el morfismo cero entre los morfismos de X a Y , y f  : A → X y g  : Y → B son morfismos arbitrarios, entonces g ∘ 0 _XY = 0 _XB y 0 _XY ∘ f = 0 _AY .

Si una categoría tiene un objeto cero 0 , entonces existen morfismos canónicos X → 0 y 0 → Y , y al componerlos se obtiene un morfismo cero 0 _XY  : X → Y . En la categoría de grupos , por ejemplo, los morfismos cero son morfismos que siempre devuelven identidades de grupo, generalizando así la función z ( x ) = 0.

Elementos mínimos

A un elemento mínimo de un conjunto o red parcialmente ordenado a veces se le puede llamar elemento cero y escribir como 0 o ⊥.

Módulo cero

En matemáticas , el módulo cero es el módulo que consiste únicamente en la identidad aditiva de la función de adición del módulo . En los números enteros , esta identidad es cero , lo que da el nombre de módulo cero . Es fácil demostrar que el módulo cero es, de hecho, un módulo; es un módulo cerrado a la adición y la multiplicación de manera trivial.

Cero ideal

En matemáticas , el ideal cero en un anillo es el ideal que consiste únicamente en la identidad aditiva (o elemento cero ). El hecho de que se trate de un ideal se desprende directamente de la definición. ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle \{0\}}$

Matriz cero

En matemáticas , particularmente en álgebra lineal , una matriz cero es una matriz con todas sus entradas siendo cero . Se denota alternativamente con el símbolo . ^[2] Algunos ejemplos de matrices cero son ${\displaystyle O}$

${\displaystyle 0_{1,1}={\begin{bmatrix}0\end{bmatrix}},\ 0_{2,2}={\begin{bmatrix}0&0\\0&0\end{bmatrix}},\ 0_{2,3}={\begin{bmatrix}0&0&0\\0&0&0\end{bmatrix}},\ }$

El conjunto de matrices m  ×  n con entradas en un anillo K forma un módulo . La matriz cero en es la matriz con todas las entradas iguales a , donde es la identidad aditiva en K . ${\displaystyle K_{m,n}}$ ${\displaystyle 0_{K_{m,n}}}$ ${\displaystyle K_{m,n}}$ ${\displaystyle 0_{K}}$ ${\displaystyle 0_{K}}$

${\displaystyle 0_{K_{m,n}}={\begin{bmatrix}0_{K}&0_{K}&\cdots &0_{K}\\0_{K}&0_{K}&\cdots &0_{K}\\\vdots &\vdots &&\vdots \\0_{K}&0_{K}&\cdots &0_{K}\end{bmatrix}}}$

La matriz cero es la identidad aditiva en . Es decir, para todo : ${\displaystyle K_{m,n}}$ ${\displaystyle A\in K_{m,n}}$

${\displaystyle 0_{K_{m,n}}+A=A+0_{K_{m,n}}=A}$

Existe exactamente una matriz cero de cualquier tamaño dado m  ×  n (con entradas de un anillo dado), por lo que, cuando el contexto es claro, a menudo se hace referencia a la matriz cero. En un anillo de matrices , la matriz cero cumple la función tanto de identidad aditiva como de elemento absorbente. En general, el elemento cero de un anillo es único y, por lo general, se denota como 0 sin ningún subíndice que indique el anillo padre. Por lo tanto, los ejemplos anteriores representan matrices cero sobre cualquier anillo.

La matriz cero también representa la transformación lineal que envía todos los vectores al vector cero.

Tensor cero

En matemáticas , el tensor cero es un tensor , de cualquier orden, cuyos componentes son todos cero . El tensor cero de orden 1 a veces se conoce como vector cero.

Al tomar un producto tensorial de cualquier tensor con cualquier tensor cero se obtiene otro tensor cero. Entre los tensores de un tipo determinado, el tensor cero de ese tipo sirve como identidad aditiva entre esos tensores.

Véase también

• Semigrupo nulo
• Divisor de cero
• Objeto cero
• Cero de una función
• Cero — usos no matemáticos

Referencias

1. Nair, M. Thamban; Singh, Arindama (2018). Álgebra lineal. Springer. pág. 3. doi :10.1007/978-981-13-0926-7. ISBN 978-981-13-0925-0.
2. Lang, Serge (1987). Álgebra lineal. Textos de pregrado en matemáticas . Springer. pág. 25. ISBN. 9780387964126Tenemos una matriz cero en la que para todo . ... La escribiremos . ${\displaystyle a_{ij}=0}$ ${\displaystyle i,j}$ ${\displaystyle O}$