Valor absoluto

Distancia del cero a un número

La gráfica de la función de valor absoluto para números reales.

El valor absoluto de un número puede considerarse como su distancia del cero.

En matemáticas , el valor absoluto o módulo de un número real , denotado , es el valor no negativo de sin tener en cuenta su signo . Es decir, si es un número positivo , y si es negativo (en cuyo caso negar hace positivo), y . Por ejemplo, el valor absoluto de 3 es 3 y el valor absoluto de −3 también es 3. El valor absoluto de un número puede considerarse como su distancia a cero. ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle |x|}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle |x|=x}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle |x|=-x}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle -x}$ ${\displaystyle |0|=0}$

Las generalizaciones del valor absoluto de los números reales ocurren en una amplia variedad de entornos matemáticos. Por ejemplo, también se define un valor absoluto para los números complejos , los cuaterniones , los anillos ordenados , los campos y los espacios vectoriales . El valor absoluto está estrechamente relacionado con las nociones de magnitud , distancia y norma en diversos contextos matemáticos y físicos.

Terminología y notación

En 1806, Jean-Robert Argand introdujo el término módulo , que significa unidad de medida en francés, específicamente para el valor absoluto complejo , ^{[1] [2]} y fue tomado prestado al inglés en 1866 como el equivalente latino módulo . ^[1] El término valor absoluto se utiliza en este sentido desde al menos 1806 en francés ^[3] y 1857 en inglés. ^[4] La notación | x | , con una barra vertical a cada lado, fue introducido por Karl Weierstrass en 1841. ^[5] Otros nombres para valor absoluto incluyen valor numérico ^[1] y magnitud . ^[1] En lenguajes de programación y paquetes de software computacional, el valor absoluto de generalmente se representa mediante o una expresión similar. ${\textstyle x}$abs(x)

La notación de barra vertical también aparece en otros contextos matemáticos: por ejemplo, cuando se aplica a un conjunto, denota su cardinalidad ; cuando se aplica a una matriz , denota su determinante . Las barras verticales denotan el valor absoluto sólo para objetos algebraicos para los cuales se define la noción de valor absoluto, en particular un elemento de un álgebra de división normada , por ejemplo un número real, un número complejo o un cuaternión. Una notación estrechamente relacionada pero distinta es el uso de barras verticales para la norma euclidiana ^[6] o la norma sup ^[7] de un vector en , ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ aunque las barras verticales dobles con subíndices ( ${\displaystyle \|\cdot \|_{2}}$ y , ${\displaystyle \|\cdot \|_{\infty }}$ respectivamente) son una notación más común y menos ambigua. .

Definición y propiedades

Numeros reales

Para cualquier número real , ${\displaystyle x}$ el valor absoluto o módulo de ${\displaystyle x}$ se denota por ${\displaystyle |x|}$ , con una barra vertical a cada lado de la cantidad, y se define como ^[8]

$${\displaystyle |x|={\begin{cases}x,&{\text{if }}x\geq 0\\-x,&{\text{if }}x<0.\end{cases}}}$$

Por tanto, el valor absoluto de ${\displaystyle x}$ es siempre un número positivo o cero , pero nunca negativo . Cuando él mismo es negativo ( ), entonces su valor absoluto es necesariamente positivo ( ). ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x<0}$ ${\displaystyle |x|=-x>0}$

Desde el punto de vista de la geometría analítica , el valor absoluto de un número real es la distancia de ese número al cero a lo largo de la recta numérica real y, de manera más general, el valor absoluto de la diferencia de dos números reales (su diferencia absoluta ) es la distancia entre ellos. . ^[9] La noción de una función de distancia abstracta en matemáticas puede verse como una generalización del valor absoluto de la diferencia (ver "Distancia" más abajo).

Dado que el símbolo de la raíz cuadrada representa la única raíz cuadrada positiva , cuando se aplica a un número positivo, se deduce que

| x | =x2. {\displaystyle |x|={\sqrt {x^{2}}}.}

^[10]

El valor absoluto tiene las siguientes cuatro propiedades fundamentales ( , son números reales), que se utilizan para la generalización de esta noción a otros dominios: ${\textstyle a}$ ${\textstyle b}$

La no negatividad, la precisión positiva y la multiplicatividad se desprenden fácilmente de la definición. Para ver que la subaditividad se cumple, primero observe que donde , con su signo elegido para que el resultado sea positivo. Ahora bien, dado que y , se deduce que cualquiera que sea el valor de , se tiene para todo real . En consecuencia, como se desea. ${\displaystyle |a+b|=s(a+b)}$ ${\displaystyle s=\pm 1}$ ${\displaystyle -1\cdot x\leq |x|}$ ${\displaystyle +1\cdot x\leq |x|}$ ${\displaystyle \pm 1}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle s\cdot x\leq |x|}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle |a+b|=s\cdot (a+b)=s\cdot a+s\cdot b\leq |a|+|b|}$

Algunas propiedades útiles adicionales se dan a continuación. Éstas son consecuencias inmediatas de la definición o están implícitas en las cuatro propiedades fundamentales anteriores.

Otras dos propiedades útiles relativas a las desigualdades son:

Estas relaciones se pueden utilizar para resolver desigualdades que involucran valores absolutos. Por ejemplo:

El valor absoluto, como "distancia desde cero", se utiliza para definir la diferencia absoluta entre números reales arbitrarios, la métrica estándar de los números reales.

Números complejos

El valor absoluto de un número complejo ${\displaystyle z}$ es la distancia ${\displaystyle r}$ desde ${\displaystyle z}$ el origen. También se ve en la imagen que y su conjugado complejo tienen el mismo valor absoluto. ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle {\bar {z}}}$

Dado que los números complejos no están ordenados , la definición dada en la parte superior para el valor absoluto real no se puede aplicar directamente a los números complejos. Sin embargo, la interpretación geométrica del valor absoluto de un número real como su distancia del 0 puede generalizarse. El valor absoluto de un número complejo está definido por la distancia euclidiana de su punto correspondiente en el plano complejo desde el origen . Esto se puede calcular usando el teorema de Pitágoras : para cualquier número complejo

$${\displaystyle z=x+iy,}$$

valor absolutomódulo dedenota^[11] ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle |z|}$

$${\displaystyle |z|={\sqrt {\operatorname {Re} (z)^{2}+\operatorname {Im} (z)^{2}}}={\sqrt {x^{2}+y^{2}}},}$$

adición pitagóricade ,parte imaginarianúmero real . ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle \operatorname {Re} (z)=x}$ ${\displaystyle \operatorname {Im} (z)=y}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle x}$

Cuando un número complejo se expresa en su forma polar como su valor absoluto es ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle z=re^{i\theta },}$ ${\displaystyle |z|=r.}$

Dado que el producto de cualquier número complejo y su conjugado complejo , con el mismo valor absoluto, es siempre el número real no negativo , el valor absoluto de un número complejo es cuya raíz cuadrada se llama por tanto cuadrado absoluto o módulo cuadrático de : ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle {\bar {z}}=x-iy}$ ${\displaystyle \left(x^{2}+y^{2}\right)}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle z\cdot {\overline {z}},}$ ${\displaystyle z}$

$${\displaystyle |z|={\sqrt {z\cdot {\overline {z}}}}.}$$

. ${\textstyle |x|={\sqrt {x\cdot x}}}$

El valor absoluto complejo comparte las cuatro propiedades fundamentales dadas anteriormente para el valor absoluto real. La identidad es un caso especial de multiplicatividad que muchas veces resulta útil por sí sola. ${\displaystyle |z|^{2}=|z^{2}|}$

Función de valor absoluto

La gráfica de la función de valor absoluto para números reales.

Composición del valor absoluto con una función cúbica en diferentes órdenes.

La función de valor absoluto real es continua en todas partes. Es diferenciable en todas partes excepto en x = 0 . Es monótonamente decreciente en el intervalo (−∞, 0] y monótonamente creciente en el intervalo [0, +∞) . Dado que un número real y su opuesto tienen el mismo valor absoluto, es una función par y, por tanto, no es invertible . La función de valor absoluto real es una función convexa lineal por partes .

Tanto para números reales como complejos, la función de valor absoluto es idempotente (lo que significa que el valor absoluto de cualquier valor absoluto es él mismo).

Relación con la función de signo.

La función de valor absoluto de un número real devuelve su valor independientemente de su signo, mientras que la función signo (o signum) devuelve el signo de un número independientemente de su valor. Las siguientes ecuaciones muestran la relación entre estas dos funciones:

${\displaystyle |x|=x\operatorname {sgn}(x),}$

o

${\displaystyle |x|\operatorname {sgn}(x)=x,}$

y para x ≠ 0 ,

${\displaystyle \operatorname {sgn}(x)={\frac {|x|}{x}}={\frac {x}{|x|}}.}$

Relación con las funciones max y min

Vamos entonces ${\displaystyle s,t\in \mathbb {R} }$

${\displaystyle |t-s|=-2\min(s,t)+s+t}$

y

${\displaystyle |t-s|=2\max(s,t)-s-t.}$

Derivado

La función de valor absoluto real tiene una derivada para cada x ≠ 0 , pero no es diferenciable en x = 0 . Su derivada para x ≠ 0 viene dada por la función escalonada : ^{[12] [13]}

${\displaystyle {\frac {d\left|x\right|}{dx}}={\frac {x}{|x|}}={\begin{cases}-1&x<0\\1&x>0.\end{cases}}}$

La función de valor absoluto real es un ejemplo de función continua que alcanza un mínimo global donde la derivada no existe.

El subdiferencial de  | x | en  x = 0 es el intervalo  [−1, 1] . ^[14]

La función de valor absoluto complejo es continua en todas partes pero compleja diferenciable en ninguna porque viola las ecuaciones de Cauchy-Riemann . ^[12]

La segunda derivada de  | x | con respecto a  x es cero en todas partes excepto cero, donde no existe. Como función generalizada , la segunda derivada puede tomarse como dos veces la función delta de Dirac .

Antiderivada

La primitiva (integral indefinida) de la función de valor absoluto real es

${\displaystyle \int \left|x\right|dx={\frac {x\left|x\right|}{2}}+C,}$

donde C es una constante arbitraria de integración . Esta no es una antiderivada compleja porque las antiderivadas complejas solo pueden existir para funciones complejas diferenciables ( holomórficas ), mientras que la función de valor absoluto complejo no lo es.

Derivados de composiciones.

Las dos fórmulas siguientes son casos especiales de la regla de la cadena :

${\displaystyle {d \over dx}f(|x|)={x \over |x|}(f'(|x|))}$

si el valor absoluto está dentro de una función, y

${\displaystyle {d \over dx}|f(x)|={f(x) \over |f(x)|}f'(x)}$

si otra función está dentro del valor absoluto. En el primer caso, la derivada siempre es discontinua en en el primer caso y en el segundo caso. ${\textstyle x=0}$ ${\textstyle f(x)=0}$

Distancia

El valor absoluto está estrechamente relacionado con la idea de distancia. Como se señaló anteriormente, el valor absoluto de un número real o complejo es la distancia desde ese número hasta el origen, a lo largo de la recta numérica real, para números reales, o en el plano complejo, para números complejos y, de manera más general, el valor absoluto. de la diferencia de dos números reales o complejos es la distancia entre ellos.

La distancia euclidiana estándar entre dos puntos.

${\displaystyle a=(a_{1},a_{2},\dots ,a_{n})}$

y

${\displaystyle b=(b_{1},b_{2},\dots ,b_{n})}$

en euclidiano el espacio n se define como:

${\displaystyle {\sqrt {\textstyle \sum _{i=1}^{n}(a_{i}-b_{i})^{2}}}.}$

Esto puede verse como una generalización, ya que para y real, es decir, en un espacio 1, según la definición alternativa del valor absoluto, ${\displaystyle a_{1}}$ ${\displaystyle b_{1}}$

${\displaystyle |a_{1}-b_{1}|={\sqrt {(a_{1}-b_{1})^{2}}}={\sqrt {\textstyle \sum _{i=1}^{1}(a_{i}-b_{i})^{2}}},}$

y para números complejos, es decir, en un espacio de 2, ${\displaystyle a=a_{1}+ia_{2}}$ ${\displaystyle b=b_{1}+ib_{2}}$

Lo anterior muestra que la distancia de "valor absoluto", para números reales y complejos, concuerda con la distancia euclidiana estándar, que heredan como resultado de considerarlos como espacios euclidianos unidimensionales y bidimensionales, respectivamente.

Se puede considerar que las propiedades del valor absoluto de la diferencia de dos números reales o complejos: no negatividad, identidad de indiscernibles, simetría y desigualdad triangular dadas anteriormente, motivan la noción más general de función de distancia de la siguiente manera:

Una función de valor real d en un conjunto X  ×  X se llama métrica (o función de distancia ) en  X , si satisface los siguientes cuatro axiomas: ^[15]

Generalizaciones

Anillos ordenados

La definición de valor absoluto dada anteriormente para los números reales se puede extender a cualquier anillo ordenado . Es decir, si  a es un elemento de un anillo ordenado  R , entonces el valor absoluto de  a , denotado por | un | , se define como: ^[16]

${\displaystyle |a|=\left\{{\begin{array}{rl}a,&{\text{if }}a\geq 0\\-a,&{\text{if }}a<0.\end{array}}\right.}$

donde − a es el inverso aditivo de  a , 0 es la identidad aditiva y < y ≥ tienen el significado habitual con respecto al orden en el anillo.

Campos

Las cuatro propiedades fundamentales del valor absoluto de los números reales se pueden utilizar para generalizar la noción de valor absoluto a un campo arbitrario, de la siguiente manera.

Una función de valor real  v en un campo  F se llama valor absoluto (también módulo , magnitud , valor o valoración ) ^[17] si satisface los siguientes cuatro axiomas:

Donde 0 denota la identidad aditiva de  F. De la definición positiva y la multiplicatividad se deduce que v ( 1 ) = 1 , donde 1 denota la identidad multiplicativa de  F . Los valores absolutos reales y complejos definidos anteriormente son ejemplos de valores absolutos para un campo arbitrario.

Si v es un valor absoluto en  F , entonces la función  d en F  ×  F , definida por d ( a ,  b ) = v ( a − b ) , es una métrica y las siguientes son equivalentes:

• d satisface la desigualdad ultramétrica para todos x , y , z en  F . ${\displaystyle d(x,y)\leq \max(d(x,z),d(y,z))}$
• ${\textstyle \left\{v\left(\sum _{k=1}^{n}\mathbf {1} \right):n\in \mathbb {N} \right\}}$está acotado en  R .
• ${\displaystyle v\left({\textstyle \sum _{k=1}^{n}}\mathbf {1} \right)\leq 1\ }$para cada . ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$
• ${\displaystyle v(a)\leq 1\Rightarrow v(1+a)\leq 1\ }$para todos . ${\displaystyle a\in F}$
• ${\displaystyle v(a+b)\leq \max\{v(a),v(b)\}\ }$para todos . ${\displaystyle a,b\in F}$

Un valor absoluto que satisface cualquiera (por lo tanto todas) de las condiciones anteriores se dice que no es de Arquímedes ; de lo contrario, se dice que es de Arquímedes . ^[18]

Espacios vectoriales

Nuevamente se pueden utilizar las propiedades fundamentales del valor absoluto de los números reales, con una ligera modificación, para generalizar la noción a un espacio vectorial arbitrario.

Una función de valor real en un espacio vectorial  V sobre un campo  F , representada como ‖ · ‖ , se llama valor absoluto , pero más generalmente norma , si satisface los siguientes axiomas:

Para todo  a en  F y v , u en  V ,

La norma de un vector también se llama longitud o magnitud .

En el caso del espacio euclidiano , la función definida por ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

${\displaystyle \|(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})\|={\sqrt {\textstyle \sum _{i=1}^{n}x_{i}^{2}}}}$

Es una norma llamada norma euclidiana . Cuando los números reales se consideran como el espacio vectorial unidimensional , el valor absoluto es una norma , y ​​es la norma p (ver L espacio p ) para cualquier  p . De hecho, el valor absoluto es la "única" norma en , en el sentido de que, para cada norma ‖ · ‖ en , ‖ x ‖ = ‖ 1 ‖ ⋅ | x | . ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{1}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{1}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{1}}$

El valor absoluto complejo es un caso especial de la norma en un espacio producto interno , que es idéntica a la norma euclidiana cuando el plano complejo se identifica como plano euclidiano  . ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$

Álgebras de composición

Cada álgebra de composición A tiene una involución x → x * llamada conjugación . El producto en A de un elemento x y su conjugado x * se escribe N ( x ) = xx * y se llama norma de x .

Los números reales , los números complejos y los cuaterniones son todos álgebras de composición con normas dadas por formas cuadráticas definidas . El valor absoluto en estas álgebras de división viene dado por la raíz cuadrada de la norma del álgebra de composición. ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mathbb {H} }$

En general, la norma de un álgebra de composición puede ser una forma cuadrática que no es definida y tiene vectores nulos . Sin embargo, como en el caso de las álgebras de división, cuando un elemento x tiene una norma distinta de cero, entonces x tiene un inverso multiplicativo dado por x */ N ( x ).

Ver también

• Valores mínimos absolutos

Notas

1. Oxford English Dictionary , borrador de revisión, junio de 2008
2. Nahin, O'Connor y Robertson, y funciones.Wolfram.com.; para el sentido francés, véase Littré , 1877
3. Lazare Nicolas M. Carnot , Mémoire sur la relacion qui existe entre les distancias respectivas de cinq point quelconques pris dans l'espace , p. 105 en libros de Google
4. James Mill Peirce, Un libro de texto de geometría analítica en Internet Archive. La cita más antigua en la segunda edición del Oxford English Dictionary es de 1907. El término valor absoluto también se utiliza en contraste con valor relativo .
5. Nicholas J. Higham, Manual de escritura para las ciencias matemáticas , SIAM. ISBN  0-89871-420-6 , pág. 25
6. Spivak, Michael (1965). Cálculo de variedades . Boulder, Colorado: Westview. pag. 1.ISBN _ 0805390219.
7. Munkres, James (1991). Análisis de colectores . Boulder, Colorado: Westview. pag. 4.ISBN _ 0201510359.
8. Mendelson, pág. 2.
9. Smith, Karl (2013). Precálculo: un enfoque funcional para la representación gráfica y la resolución de problemas. Editores Jones y Bartlett. pag. 8.ISBN _ 978-0-7637-5177-7.
10. Stewart, James B. (2001). Cálculo: conceptos y contextos . Australia: Brooks/Cole. pag. A5. ISBN 0-534-37718-1.
11. González, Mario O. (1992). Análisis complejo clásico. Prensa CRC. pag. 19.ISBN _ 9780824784157.
12. "Weisstein, Eric W. Valor absoluto. De MathWorld: un recurso web de Wolfram".
13. Bartle y Sherbert, pag. 163
14. Peter Wriggers, Panagiotis Panatiotopoulos, eds., Nuevos desarrollos en problemas de contacto , 1999, ISBN 3-211-83154-1 , p. 31–32 
15. Estos axiomas no son mínimos; por ejemplo, la no negatividad se puede derivar de los otros tres: 0 = d ( a ,  a ) ≤ d ( a ,  b ) + d ( b ,  a ) = 2 d ( a ,  b ) .
16. Mac Lane, pag. 264.
17. Shechter, pág. 260. Este significado de valoración es raro. Normalmente, una valoración es el logaritmo de la inversa de un valor absoluto.
18. Shechter, págs. 260-261.

Referencias

• Bartle; Sherbert; Introducción al análisis real (4ª ed.), John Wiley & Sons, 2011 ISBN 978-0-471-43331-6 . 
• Nahin, Paul J.; Un cuento imaginario ; Prensa de la Universidad de Princeton; (tapa dura, 1998). ISBN 0-691-02795-1 . 
• Mac Lane, Saunders, Garrett Birkhoff, Álgebra , Sociedad Matemática Estadounidense, 1999. ISBN 978-0-8218-1646-2 . 
• Mendelson, Elliott, Esquema de cálculo inicial de Schaum , McGraw-Hill Professional, 2008. ISBN 978-0-07-148754-2 . 
• O'Connor, JJ y Robertson, EF; "Jean Robert Argand".
• Schechter, Eric; Manual de análisis y sus fundamentos , págs. 259–263, "Valores absolutos", Academic Press (1997) ISBN 0-12-622760-8 . 

enlaces externos

• "Valor absoluto". Enciclopedia de Matemáticas . Prensa EMS . 2001 [1994].
• valor absoluto en PlanetMath .
• Weisstein, Eric W. "Valor absoluto". MundoMatemático .