Norma uniforme

Función en análisis matemático.

El perímetro del cuadrado es el conjunto de puntos en ℝ ² donde la norma sup es igual a una constante positiva fija. Por ejemplo, los puntos (2, 0) , (2, 1) y (2, 2) se encuentran a lo largo del perímetro de un cuadrado y pertenecen al conjunto de vectores cuya norma sup es 2.

En el análisis matemático , la norma uniforme (onorma sup ) asigna afunciones acotadasde valorrealocomplejodefinidas en unconjuntoel número no negativo ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle S}$

${\displaystyle \|f\|_{\infty }=\|f\|_{\infty ,S}=\sup \left\{\,|f(s)|:s\in S\,\right\}.}$

Esta norma también se llamanorma suprema ,lanorma Chebyshev ,lanorma infinita ,o, cuando elsupremoes de hecho el máximo, lanorma máxima . El nombre "norma uniforme" deriva del hecho de que una secuencia de funcionesconvergebajo lamétricaderivada de la norma uniformesi y sólo siconvergeuniformemente.^[1] ${\displaystyle \left\{f_{n}\right\}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f_{n}}$ ${\displaystyle f}$

Si es una función continua en un intervalo cerrado y acotado , o más generalmente un conjunto compacto , entonces está acotado y el supremo en la definición anterior se alcanza mediante el teorema del valor extremo de Weierstrass , por lo que podemos reemplazar el supremo por el máximo. En este caso, la norma también se llama ${\displaystyle f}$norma máxima . En particular, sies algún vector tal queenun espacio de coordenadasde dimensiónfinita, toma la forma: ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x=\left(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}\right)}$

${\displaystyle \|x\|_{\infty }:=\max \left(\left|x_{1}\right|,\ldots ,\left|x_{n}\right|\right).}$

Esto se llama norma . ${\displaystyle \ell ^{\infty }}$

Métrica y topología

La métrica generada por esta norma se llamaMétrica de Chebyshev , en honora Pafnuty Chebyshev, quien fue el primero en estudiarla sistemáticamente.

Si permitimos funciones ilimitadas, esta fórmula no produce una norma o métrica en sentido estricto, aunque la llamada métrica extendida obtenida aún permite definir una topología en el espacio funcional en cuestión.

La función binaria

$${\displaystyle d(f,g)=\|f-g\|_{\infty }}$$

converge uniformemente ${\displaystyle \left\{f_{n}:n=1,2,3,\ldots \right\}}$ ${\displaystyle f}$

$${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }\left\|f_{n}-f\right\|_{\infty }=0.\,}$$

Podemos definir conjuntos cerrados y cierres de conjuntos con respecto a esta topología métrica; Los conjuntos cerrados en la norma uniforme a veces se denominan cierres uniformemente cerrados y cierres uniformes . La clausura uniforme de un conjunto de funciones A es el espacio de todas las funciones que pueden aproximarse mediante una secuencia de funciones uniformemente convergentes en. Por ejemplo, una reformulación del teorema de Stone-Weierstrass es que el conjunto de todas las funciones continuas en es el cierre uniforme del conjunto de polinomios en ${\displaystyle A.}$ ${\displaystyle [a,b]}$ ${\displaystyle [a,b].}$

Para funciones continuas complejas en un espacio compacto, esto lo convierte en un álgebra C* .

Propiedades

El conjunto de vectores cuya norma infinita es una constante dada, forma la superficie de un hipercubo con longitud de arista  ${\displaystyle c,}$ ${\displaystyle 2c.}$

La razón del subíndice " " es que siempre que sea continuo y para algunos , entonces ${\displaystyle \infty }$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \Vert f\Vert _{p}<\infty }$ ${\displaystyle p\in (0,\infty )}$

$${\displaystyle \lim _{p\to \infty }\|f\|_{p}=\|f\|_{\infty },}$$

$${\displaystyle \|f\|_{p}=\left(\int _{D}|f|^{p}\,d\mu \right)^{1/p}}$$

conjunto discretop -norm ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle D}$

Ver también

• L-infinito  - Espacio de secuencias acotadas
• Continuidad uniforme  : restricción uniforme del cambio de funciones.
• Espacio uniforme  : espacio topológico con noción de propiedades uniformes.
• Distancia de Chebyshev  - Métrica matemática

Referencias

1. Rudin, Walter (1964). Principios del análisis matemático . Nueva York: McGraw-Hill. págs.151. ISBN 0-07-054235-X.