Los anillos ordenados son familiares por la aritmética . Los ejemplos incluyen los números enteros , los racionales y los números reales . [2] (Los racionales y reales de hecho forman campos ordenados .) Los números complejos , por el contrario, no forman un anillo o campo ordenado, porque no existe una relación de orden inherente entre los elementos 1 e i .
Elementos positivos
En analogía con los números reales, llamamos a un elemento c de un anillo ordenado R positivo si 0 < c y negativo si c < 0. 0 no se considera ni positivo ni negativo.
El conjunto de elementos positivos de un anillo ordenado R suele denotarse por R + . Una notación alternativa, preferida en algunas disciplinas, es utilizar R + para el conjunto de elementos no negativos y R ++ para el conjunto de elementos positivos.
Valor absoluto
Si es un elemento de un anillo ordenado R , entonces el valor absoluto de , denotado , se define así:
Un anillo ordenado discreto o anillo ordenado discreto es un anillo ordenado en el que no hay ningún elemento entre 0 y 1. Los números enteros son un anillo ordenado discreto, pero los números racionales no.
Propiedades básicas
Para todo a , b y c en R :
Si a ≤ b y 0 ≤ c , entonces ac ≤ bc . [3] Esta propiedad se utiliza a veces para definir anillos ordenados en lugar de la segunda propiedad en la definición anterior.
| ab | = | un | | segundo |. [4]
Un anillo ordenado que no es trivial es infinito. [5]
Exactamente una de las siguientes es cierta: a es positiva, − a es positiva o a = 0. [6] Esta propiedad se deriva del hecho de que los anillos ordenados son grupos abelianos , linealmente ordenados con respecto a la suma.
En un anillo ordenado, ningún elemento negativo es un cuadrado: [7] En primer lugar, 0 es un cuadrado. Ahora si a ≠ 0 y a = b 2 entonces b ≠ 0 y a = (− b ) 2 ; como b o − b es positivo, a debe ser no negativo.
Ver también
Campo ordenado : objeto algebraico con una estructura ordenada
Grupo ordenado – Grupo con un pedido parcial compatiblePáginas que muestran descripciones breves de los objetivos de redireccionamiento
^ * Lam, TY (2001), Un primer curso sobre anillos no conmutativos , Textos de Graduado en Matemáticas, vol. 131 (2ª ed.), Nueva York: Springer-Verlag, págs. xx+385, ISBN 0-387-95183-0, SEÑOR 1838439, Zbl 0980.16001
^ OrdRing_ZF_1_L9
^ OrdRing_ZF_2_L5
^ ord_ring_infinito
^ OrdRing_ZF_3_L2, consulte también OrdGroup_decomp