Condición de frontera de Cauchy

Problema de valores en la frontera en ecuaciones diferenciales

En matemáticas , una condición de frontera de Cauchy ( francés: [koʃi] ) aumenta una ecuación diferencial ordinaria o una ecuación diferencial parcial con condiciones que la solución debe satisfacer en la frontera; idealmente para garantizar que exista una solución única. Una condición de frontera de Cauchy especifica tanto el valor de la función como la derivada normal en la frontera del dominio . Esto corresponde a imponer una condición de frontera tanto de Dirichlet como de Neumann . Lleva el nombre del prolífico analista matemático francés del siglo XIX Augustin-Louis Cauchy .

Ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden

Las condiciones de frontera de Cauchy son simples y comunes en ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden .

${\displaystyle y''(s)=f{\big (}y(s),y'(s),s{\big )},}$

donde, para garantizar que exista una solución única, se puede especificar el valor de la función y el valor de la derivada en un punto dado , es decir, ${\displaystyle y(s)}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle y'}$ ${\displaystyle s=a}$

${\displaystyle y(a)=\alpha ,}$

y

${\displaystyle y'(a)=\beta ,}$

donde es un límite o punto inicial. Dado que el parámetro suele ser el tiempo, las condiciones de Cauchy también pueden denominarse condiciones de valor inicial o datos de valor inicial o simplemente datos de Cauchy . Un ejemplo de tal situación son las leyes del movimiento de Newton, donde la aceleración depende de la posición , la velocidad y el tiempo ; aquí, los datos de Cauchy corresponden a conocer la posición inicial y la velocidad. ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle y''}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle y'}$ ${\displaystyle s}$

Ecuaciones diferenciales parciales

Para ecuaciones diferenciales parciales, las condiciones de frontera de Cauchy especifican tanto la función como la derivada normal en la frontera. Para simplificar y concretar las cosas, considere una ecuación diferencial de segundo orden en el plano

${\displaystyle A(x,y)\psi _{xx}+B(x,y)\psi _{xy}+C(x,y)\psi _{yy}=F(x,y,\psi ,\psi _{x},\psi _{y}),}$

donde está la solución desconocida, denota la derivada de con respecto a , etc. Las funciones especifican el problema. ${\displaystyle \psi (x,y)}$ ${\displaystyle \psi _{x}}$ ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle A,B,C,F}$

Ahora buscamos a que satisfaga la ecuación diferencial parcial en un dominio , que es un subconjunto del plano, y tal que las condiciones de frontera de Cauchy ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle xy}$

${\displaystyle \psi (x,y)=\alpha (x,y),\quad \mathbf {n} \cdot \nabla \psi =\beta (x,y)}$

Mantener para todos los puntos límite . Aquí está la derivada en la dirección de la normal al límite. Las funciones y son los datos de Cauchy. ${\displaystyle (x,y)\in \partial \Omega }$ ${\displaystyle \mathbf {n} \cdot \nabla \psi }$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \beta }$

Observe la diferencia entre una condición de frontera de Cauchy y una condición de frontera de Robin . En el primero, especificamos tanto la función como la derivada normal. En este último, especificamos un promedio ponderado de los dos.

Nos gustaría que las condiciones de contorno aseguren que exista exactamente una solución (única), pero para las ecuaciones diferenciales parciales de segundo orden, no es tan sencillo garantizar la existencia y la unicidad como lo es para las ecuaciones diferenciales ordinarias. Los datos de Cauchy son más inmediatamente relevantes para problemas hiperbólicos (por ejemplo, la ecuación de onda ) en dominios abiertos (por ejemplo, el semiplano). ^[1]

Ver también

• Condición de frontera de Dirichlet
• Condición de contorno mixta
• Condición de frontera de Neumann
• Condición de contorno de Robin

Referencias

1. Riley, KF; Hobson, diputado; Bence, SJ (13 de marzo de 2006). Métodos matemáticos para la física y la ingeniería . págs.705. ISBN 978-0-521-67971-8.