Condición de frontera de Neumann

Matemáticas

En matemáticas , la condición de frontera de Neumann (o de segundo tipo ) es un tipo de condición de frontera , que lleva el nombre de Carl Neumann . ^[1] Cuando se impone a una ecuación diferencial ordinaria o parcial , la condición especifica los valores de la derivada aplicada en el límite del dominio .

Es posible describir el problema utilizando otras condiciones de frontera: una condición de frontera de Dirichlet especifica los valores de la solución misma (a diferencia de su derivada) en la frontera, mientras que la condición de frontera de Cauchy , la condición de frontera mixta y la condición de frontera de Robin son todas diferentes. tipos de combinaciones de las condiciones de contorno de Neumann y Dirichlet.

Ejemplos

ODA

Para una ecuación diferencial ordinaria, por ejemplo,

${\displaystyle y''+y=0,}$

las condiciones de frontera de Neumann en el intervalo [ a , b ] toman la forma

${\displaystyle y'(a)=\alpha ,\quad y'(b)=\beta ,}$

donde α y β reciben números.

PDE

Para una ecuación diferencial parcial, por ejemplo,

${\displaystyle \nabla ^{2}y+y=0,}$

donde ∇ ² denota el operador de Laplace , las condiciones de frontera de Neumann en un dominio Ω ⊂ R ⁿ toman la forma

${\displaystyle {\frac {\partial y}{\partial \mathbf {n} }}(\mathbf {x} )=f(\mathbf {x} )\quad \forall \mathbf {x} \in \partial \Omega ,}$

donde n denota la normal (típicamente exterior) al límite ∂Ω , y f es una función escalar dada .

La derivada normal , que aparece en el lado izquierdo, se define como

${\displaystyle {\frac {\partial y}{\partial \mathbf {n} }}(\mathbf {x} )=\nabla y(\mathbf {x} )\cdot \mathbf {\hat {n}} (\mathbf {x} ),}$

donde ∇ y ( x ) representa el vector gradiente de y ( x ) , n̂ es la unidad normal y ⋅ representa el operador del producto interno .

Queda claro que la frontera debe ser lo suficientemente suave como para que pueda existir la derivada normal, ya que, por ejemplo, en los puntos de las esquinas de la frontera el vector normal no está bien definido.

Aplicaciones

Las siguientes aplicaciones implican el uso de condiciones de contorno de Neumann:

• En termodinámica , un flujo de calor prescrito desde una superficie serviría como condición de contorno. Por ejemplo, un aislante perfecto no tendría flujo, mientras que un componente eléctrico puede disiparse a una potencia conocida.
• En magnetostática , la intensidad del campo magnético se puede prescribir como condición límite para encontrar la distribución de la densidad del flujo magnético en una matriz de imanes en el espacio, por ejemplo en un motor de imán permanente. Dado que los problemas en magnetostática implican resolver la ecuación de Laplace o la ecuación de Poisson para el potencial escalar magnético , la condición de frontera es una condición de Neumann.
• En ecología espacial , una condición de frontera de Neumann en un sistema de reacción-difusión , como la ecuación de Fisher , puede interpretarse como una frontera reflectante, de modo que todos los individuos que encuentran ∂Ω se reflejan nuevamente en Ω . ^[2]

Ver también

• Condiciones de contorno en dinámica de fluidos.
• Condición de frontera de Dirichlet
• Condición de contorno de Robin

Referencias

1. Cheng, AH-D.; Cheng, DT (2005). "Patrimonio e historia temprana del método del elemento límite". Análisis de ingeniería con elementos de frontera . 29 (3): 268. doi :10.1016/j.enganabound.2004.12.001.
2. Cantrell, Robert Stephen; Cosner, Chris (2003). Ecología espacial mediante ecuaciones de reacción-difusión . Wiley. págs. 30-31. ISBN 0-471-49301-5.