Condición de contorno de Dirichlet

Tipo de restricción en las soluciones de ecuaciones diferenciales

En matemáticas, la condición de contorno de Dirichlet se impone a una ecuación diferencial ordinaria o parcial , de modo que los valores que toma la solución a lo largo del límite del dominio son fijos. La cuestión de encontrar soluciones a tales ecuaciones se conoce como el problema de Dirichlet . En las ciencias y la ingeniería, una condición de contorno de Dirichlet también puede denominarse condición de contorno fija o condición de contorno del primer tipo . Recibe su nombre en honor a Peter Gustav Lejeune Dirichlet (1805–1859). ^[1]

En el análisis de elementos finitos , la condición de contorno esencial o de Dirichlet se define mediante la forma integral ponderada de una ecuación diferencial. ^[2] La incógnita dependiente u en la misma forma que la función de ponderación w que aparece en la expresión de contorno se denomina variable primaria , y su especificación constituye la condición de contorno esencial o de Dirichlet.

Ejemplos

ODA

Para una ecuación diferencial ordinaria , por ejemplo, las condiciones de contorno de Dirichlet en el intervalo [ a , b ] toman la forma donde α y β son números dados. $${\displaystyle y''+y=0,}$$ $${\displaystyle y(a)=\alpha ,\quad y(b)=\beta ,}$$

EDP

Para una ecuación diferencial parcial , por ejemplo, donde denota el operador de Laplace , las condiciones de contorno de Dirichlet en un dominio Ω ⊂ R ⁿ toman la forma donde f es una función conocida definida en el contorno ∂Ω . $${\displaystyle \nabla ^{2}y+y=0,}$$ ${\displaystyle \nabla ^{2}}$ $${\displaystyle y(x)=f(x)\quad \forall x\in \partial \Omega ,}$$

Aplicaciones

Por ejemplo, las siguientes se considerarían condiciones de contorno de Dirichlet:

• En ingeniería mecánica e ingeniería civil ( teoría de vigas ), donde un extremo de una viga se mantiene en una posición fija en el espacio.
• En transferencia de calor , donde una superficie se mantiene a una temperatura fija.
• En electrostática , donde un nodo de un circuito se mantiene a un voltaje fijo.
• En dinámica de fluidos , la condición de no deslizamiento para fluidos viscosos establece que en un límite sólido, el fluido tendrá velocidad cero con respecto al límite.

Otras condiciones de contorno

Son posibles muchas otras condiciones de contorno, incluidas la condición de contorno de Cauchy y la condición de contorno mixta . Esta última es una combinación de las condiciones de Dirichlet y Neumann .

Véase también

• Condición de contorno de Neumann
• Condición de borde de Robin
• Condiciones de contorno en dinámica de fluidos

Referencias

1. Cheng, A.; Cheng, DT (2005). "Herencia e historia temprana del método de elementos de contorno". Análisis de ingeniería con elementos de contorno . 29 (3): 268–302. doi :10.1016/j.enganabound.2004.12.001.
2. Reddy, JN (2009). "Ecuaciones diferenciales de segundo orden en una dimensión: modelos de elementos finitos". Introducción al método de elementos finitos (3.ª ed.). Boston: McGraw-Hill. pág. 110. ISBN 978-0-07-126761-8.