Condición de contorno mixta

En matemáticas , una condición de contorno mixta para una ecuación diferencial parcial define un problema de valor de contorno en el que se requiere que la solución de la ecuación dada satisfaga diferentes condiciones de contorno en partes disjuntas del contorno del dominio donde se establece la condición. Precisamente, en un problema de valor de contorno mixto, se requiere que la solución satisfaga una condición de contorno de Dirichlet o de Neumann de manera mutuamente excluyente en partes disjuntas del contorno.

Por ejemplo, dada una solución $u$ para una ecuación diferencial parcial en un dominio $Ω$ con borde $\partialΩ$ , se dice que satisface una condición de borde mixta si, al constar $\partialΩ$ de dos partes disjuntas, $Γ 1$ y $Γ 2$ , tal que $\partialΩ = Γ 1 \cup Γ 2$ , $u$ verifica las siguientes ecuaciones:

\left.u\right|_{\Gamma _{1}}=u_{0}

\left.{\frac {\partial u}{\partial n}}\right|_{\Gamma _{2}}=g,

¿Dónde $estás? 0$ y $g$ son funciones dadas definidas en esas porciones del límite. ^[1]

La condición de contorno mixta se diferencia de la condición de contorno de Robin en que esta última requiere una combinación lineal , posiblemente con coeficientes variables puntuales , de las condiciones de valor de contorno de Dirichlet y de Neumann que se deben satisfacer en todo el límite de un dominio dado.

Nota histórica

M. Wirtinger, dans una conversación privada, un atuendo mon atención sobre el problema siguiente: determina una función $u$ verifica la ecuación de Laplace en un cierto dominio ( $D$ ) étant donné, sur una parte ( $S$ ) de la frontera, les valeurs Periféricos de la función demandada y, en el resto ( $S'$ ) de la frontera del dominio considerado, células de la derivada posterior a la normalidad . Me propongo hacer un descubrimiento de una solución muy general a este problema interesante. ^[2]
— Stanisław Zaremba , (Zaremba 1910, §1, p. 313).

El primer problema de valor límite que satisface una condición de límite mixta fue resuelto por Stanisław Zaremba para la ecuación de Laplace : según él mismo, fue Wilhelm Wirtinger quien le sugirió estudiar este problema. ^[3]

Véase también

Notas

^ Obviamente, no es en absoluto necesario exigir $u 0$ y siendo $g$ funciones: pueden ser distribuciones o cualquier otro tipo de funciones generalizadas .
^ (traducción al español) "El señor Wirtinger, durante una conversación privada, me ha llamado la atención sobre el siguiente problema: determinar una función $u$ que satisfaga la ecuación de Laplace en un cierto dominio ( $D$ ) dados, en una parte ( $S$ ) de su contorno, los valores periféricos de la función buscada y, en la parte restante ( $S'$ ) del dominio considerado, los de su derivada a lo largo de la normal . Me propongo dar a conocer una solución muy general de este interesante problema."
^ Ver (Zaremba 1910, §1, p. 313).

Referencias

Fichera, Gaetano (1949), "Analisi esistenziale per le soluzioni dei problemi al contorno misti, relativi all'equazione e ai sistemi di equazioni del secondo ordine di tipo ellittico, autoaggiunti", Annali della Scuola Normale Superiore , Serie III (en italiano) , 1 (1947) (1–4): 75–100, SEÑOR 0035370, Zbl 0035.18603En el artículo " Análisis existencial de las soluciones de problemas de valores en la frontera mixtos, relacionados con ecuaciones elípticas de segundo orden y sistemas de ecuaciones, autoadjuntos " (traducción al inglés del título), Gaetano Fichera da las primeras pruebas de teoremas de existencia y unicidad para el problema de valores en la frontera mixtos que involucra operadores elípticos autoadjuntos generales de segundo orden en dominios bastante generales .
Guru, Bhag S.; Hızıroğlu, Hüseyin R. (2004), Fundamentos de la teoría del campo electromagnético (2.ª ed.), Cambridge, Reino Unido – Nueva York: Cambridge University Press , pág. 593, ISBN 0-521-83016-8.
Miranda, Carlo (1955), Equazioni alle derivate parziali di tipo ellittico , Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete – Neue Folge (en italiano), vol. Heft 2 (1.ª ed.), Berlín – Göttingen – Nueva York: Springer Verlag , págs. VIII+222, MR 0087853, Zbl 0065.08503.
Miranda, Carlo (1970) [1955], Ecuaciones diferenciales parciales de tipo elíptico , Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete – 2 Folge, vol. Band 2 (2.ª edición revisada), Berlín – Heidelberg – Nueva York: Springer Verlag , págs. XII+370, ISBN 978-3-540-04804-6, MR 0284700, Zbl 0198.14101, traducido del italiano por Zane C. Motteler.
Zaremba, S. (1910), "Sur un problème mixte relatif à l'équation de Laplace", Boletín internacional de la Academia de Ciencias de Cracovia. Classe des Sciences Mathématiques et Naturelles , Serie A: Sciences mathématiques (en francés): 313–344, JFM 41.0854.12, traducido al ruso como Zaremba, S. (1946), Об одной смешанной задаче, относящейся к уравнению Лапласа, Uspekhi Matematiceskikh Nauk (en ruso), 1 (3-4(13-14)): 125–146, MR 0025 032, Zbl 0061.23010.