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Dominio (análisis matemático)

En análisis matemático , un dominio o región es un conjunto no vacío , conexo y abierto en un espacio topológico . En particular, es cualquier subconjunto abierto conexo no vacío del espacio de coordenadas reales R n o del espacio de coordenadas complejo C n . Un subconjunto abierto conexo del espacio de coordenadas se utiliza con frecuencia para el dominio de una función . [a]

La idea básica de un subconjunto conexo de un espacio data del siglo XIX, pero las definiciones precisas varían ligeramente de una generación a otra, de un autor a otro y de una edición a otra, a medida que se desarrollaban los conceptos y se traducían los términos entre las obras alemanas, francesas e inglesas. En inglés, algunos autores utilizan el término dominio , [1] algunos utilizan el término región , [2] algunos utilizan ambos términos indistintamente, [3] y algunos definen los dos términos de forma ligeramente diferente; [4] algunos evitan la ambigüedad al quedarse con una frase como subconjunto abierto conexo no vacío . [5]

Convenciones

Una convención común es definir un dominio como un conjunto abierto conexo, pero una región como la unión de un dominio con ninguno, algunos o todos sus puntos límite . [6] Una región cerrada o un dominio cerrado es la unión de un dominio y todos sus puntos límite.

Se requieren diversos grados de suavidad del límite del dominio para que se cumplan diversas propiedades de las funciones definidas en el dominio, como teoremas integrales ( teorema de Green , teorema de Stokes ), propiedades de espacios de Sobolev y para definir medidas en el límite y espacios de trazas (funciones generalizadas definidas en el límite). Los tipos de dominios considerados comúnmente son los dominios con límite continuo , el límite de Lipschitz , el límite C 1 , etc.

Un dominio acotado es un dominio que está acotado , es decir, contenido en alguna esfera. Una región acotada se define de manera similar. Un dominio exterior o dominio externo es un dominio cuyo complemento está acotado; a veces se imponen condiciones de suavidad en su límite.

En el análisis complejo , un dominio complejo (o simplemente dominio ) es cualquier subconjunto abierto y conexo del plano complejo C. Por ejemplo, todo el plano complejo es un dominio, al igual que el disco unitario abierto , el semiplano superior abierto , etc. A menudo, un dominio complejo sirve como dominio de definición para una función holomorfa . En el estudio de varias variables complejas , la definición de un dominio se extiende para incluir cualquier subconjunto abierto y conexo de C n .

En los espacios euclidianos , las regiones unidimensionales , bidimensionales y tridimensionales son las curvas , las superficies y los sólidos , cuyas extensiones se denominan, respectivamente, longitud , área y volumen .

Notas históricas

Definición . Un conjunto abierto es conexo si no se puede expresar como la suma de dos conjuntos abiertos. Un conjunto abierto conexo se denomina dominio.

‹Ver Tfd› Alemán : Eine offene Punktmenge heißt zusammenhängend, wenn man sie nicht als Summe von zwei offenen Punktmengen darstellen kann. Eine offene zusammenhängende Punktmenge heißt ein Gebiet.

—  Constantin Carathéodory , (Carathéodory 1918, pág. 222)

Según Hans Hahn , [7] el concepto de dominio como conjunto abierto conexo fue introducido por Constantin Carathéodory en su famoso libro (Carathéodory 1918). En esta definición, Carathéodory considera conjuntos disjuntos obviamente no vacíos . Hahn también señala que la palabra " Gebiet " (" Dominio ") se utilizó anteriormente ocasionalmente como sinónimo de conjunto abierto . [8] El concepto aproximado es más antiguo. En el siglo XIX y principios del XX, los términos dominio y región se usaban a menudo de manera informal (a veces indistintamente) sin una definición explícita. [9]

Sin embargo, el término "dominio" se ha utilizado ocasionalmente para identificar conceptos estrechamente relacionados pero ligeramente diferentes. Por ejemplo, en sus influyentes monografías sobre ecuaciones diferenciales parciales elípticas , Carlo Miranda utiliza el término "región" para identificar un conjunto abierto conexo, [10] [11] y reserva el término "dominio" para identificar un conjunto internamente conexo, [12] perfecto , cada punto del cual es un punto de acumulación de puntos interiores, [10] siguiendo a su antiguo maestro Mauro Picone : [13] según esta convención, si un conjunto A es una región entonces su clausura A es un dominio. [10]

Véase también

Notas

  1. ^ Sin embargo, se pueden definir funciones en conjuntos que no sean espacios topológicos.
  1. ^ Por ejemplo (Sveshnikov y Tikhonov 1978, §1.3 págs. 21-22).
  2. ^ Por ejemplo (Churchill 1948, §1.9 pp. 16-17); (Ahlfors 1953, §2.2 p. 58); (Rudin 1974, §10.1 p. 213) reserva el término dominio para el dominio de una función; (Carathéodory 1964, p. 97) utiliza el término región para un conjunto abierto conexo y el término continuo para un conjunto cerrado conexo.
  3. ^ Por ejemplo (Townsend 1915, §10, pág. 20); (Carrier, Krook y Pearson 1966, §2.2, pág. 32).
  4. ^ Por ejemplo (Churchill 1960, §1.9 p. 17), que no requiere que una región esté conectada o abierta.
  5. ^ Por ejemplo (Dieudonné 1960, §3.19 pp. 64–67) generalmente utiliza la frase conjunto abierto conexo , pero luego define dominio simplemente conexo (§9.7 p. 215); Tao, Terence (2016). "246A, Notas 2: integración compleja"., también, (Bremermann 1956) llamó a la región un conjunto abierto y al dominio un conjunto abierto concatenado.
  6. ^ Por ejemplo (Fuchs y Shabat 1964, §6 págs. 22-23); (Kreyszig 1972, §11.1 pág. 469); (Kwok 2002, §1.4, pág. 23.)
  7. ^ Véase (Hahn 1921, p. 85 nota 1).
  8. ^ Hahn (1921, p. 61 nota al pie 3), comentando la definición recién dada de conjunto abierto ("offene Menge"), afirma precisamente: -" Vorher war, für diese Punktmengen die Bezeichnung "Gebiet" in Gebrauch, die wir (§ 5, S. 85) anders verwenden werden. " (Traducción libre al inglés:-" Anteriormente, el término "Gebiet" se usaba ocasionalmente para tales conjuntos de puntos, y lo usaremos en (§ 5, p. 85) con un significado diferente " .
  9. ^ Por ejemplo (Forsyth 1893) utiliza el término región de manera informal en todo el texto (p. ej., §16, p. 21) junto con la expresión informal parte del plano z , y define el dominio de un punto a para una función f como el mayor vecindario r de a en el que f es holomorfo (§32, p. 52). La primera edición del influyente libro de texto (Whittaker 1902) utiliza los términos dominio y región de manera informal y aparentemente indistinta. En la segunda edición (Whittaker y Watson 1915, §3.21, p. 44) definen una región abierta como el interior de una curva cerrada simple , y una región cerrada o dominio como la región abierta junto con su curva límite. (Goursat 1905, §262, p. 10) define región [región] o aire [área] como una porción conectada del plano. (Townsend 1915, §10, pág. 20) define una región o dominio como una porción conectada del plano complejo que consta únicamente de puntos internos.
  10. ^ abc Véase (Miranda 1955, pág. 1, 1970, pág. 2).
  11. ↑ Precisamente, en la primera edición de su monografía, Miranda (1955, p. 1) utiliza el término italiano " campo ", que significa literalmente "campo" de un modo similar a su significado en agricultura : en la segunda edición del libro, Zane C. Motteler traduce apropiadamente este término como "región".
  12. ^ Un conjunto internamente conexo es un conjunto cuyo interior está conexo.
  13. ^ Véase (Picone 1923, pág. 66).

Referencias