Operador de seguimiento

Una función definida en un rectángulo (figura superior, en rojo) y su traza (figura inferior, en rojo).

En matemáticas , el operador traza extiende la noción de restricción de una función al límite de su dominio a funciones "generalizadas" en un espacio de Sobolev . Esto es particularmente importante para el estudio de ecuaciones diferenciales parciales con condiciones de frontera prescritas ( problemas de valores de frontera ), donde las soluciones débiles pueden no ser lo suficientemente regulares para satisfacer las condiciones de frontera en el sentido clásico de funciones.

Motivación

En un dominio suave y acotado , considere el problema de resolver la ecuación de Poisson con condiciones de frontera de Dirichlet no homogéneas: ${\textstyle \Omega \subset \mathbb {R} ^{n}}$

${\displaystyle {\begin{alignedat}{2}-\Delta u&=f&\quad &{\text{in }}\Omega ,\\u&=g&&{\text{on }}\partial \Omega \end{alignedat}}}$

con funciones dadas y con regularidad discutidas en la sección de aplicación a continuación. La solución débil de esta ecuación debe satisfacer ${\textstyle f}$ ${\textstyle g}$ ${\textstyle u\in H^{1}(\Omega )}$

${\displaystyle \int _{\Omega }\nabla u\cdot \nabla \varphi \,\mathrm {d} x=\int _{\Omega }f\varphi \,\mathrm {d} x}$para todos . ${\textstyle \varphi \in H_{0}^{1}(\Omega )}$

La regularidad de es suficiente para que esta ecuación integral esté bien definida. Sin embargo, no está claro en qué sentido se puede satisfacer la condición de frontera en : por definición, es una clase de equivalencia de funciones que puede tener valores arbitrarios, ya que es un conjunto nulo con respecto a la medida de Lebesgue n-dimensional. ${\textstyle H^{1}(\Omega )}$ ${\textstyle u}$ ${\textstyle u}$ ${\textstyle u=g}$ ${\textstyle \partial \Omega }$ ${\textstyle u\in H^{1}(\Omega )\subset L^{2}(\Omega )}$ ${\textstyle \partial \Omega }$

Si se cumple el teorema de incrustación de Sobolev , tal que pueda satisfacer la condición de frontera en el sentido clásico, es decir, la restricción de a concuerda con la función (más precisamente: existe un representante de in con esta propiedad). Porque con tal incrustación no existe y el operador de seguimiento presentado aquí debe usarse para darle significado . Entonces , se llama solución débil al problema de valores en la frontera si se satisface la ecuación integral anterior. Para que la definición del operador de seguimiento sea razonable, debe cumplirse que sea suficientemente regular . ${\textstyle \Omega \subset \mathbb {R} ^{1}}$ ${\textstyle H^{1}(\Omega )\hookrightarrow C^{0}({\bar {\Omega }})}$ ${\textstyle u}$ ${\textstyle u}$ ${\textstyle \partial \Omega }$ ${\textstyle g}$ ${\textstyle u}$ ${\textstyle C({\bar {\Omega }})}$ ${\textstyle \Omega \subset \mathbb {R} ^{n}}$ ${\textstyle n>1}$ ${\textstyle T}$ ${\textstyle u|_{\partial \Omega }}$ ${\textstyle u\in H^{1}(\Omega )}$ ${\textstyle Tu=g}$ ${\textstyle Tu=u|_{\partial \Omega }}$ ${\textstyle u}$

Teorema de traza

El operador de seguimiento se puede definir para funciones en los espacios de Sobolev con ; consulte la sección siguiente para conocer posibles extensiones del seguimiento a otros espacios. Sea un dominio acotado con límite de Lipschitz. Entonces ^[1] existe un operador de traza lineal acotado ${\textstyle W^{1,p}(\Omega )}$ ${\textstyle 1\leq p<\infty }$ ${\textstyle \Omega \subset \mathbb {R} ^{n}}$ ${\textstyle n\in \mathbb {N} }$

${\displaystyle T\colon W^{1,p}(\Omega )\to L^{p}(\partial \Omega )}$

tal que extiende la traza clásica, es decir ${\textstyle T}$

${\displaystyle Tu=u|_{\partial \Omega }}$para todos . ${\textstyle u\in W^{1,p}(\Omega )\cap C({\bar {\Omega }})}$

La continuidad de implica que ${\textstyle T}$

${\displaystyle \|Tu\|_{L^{p}(\partial \Omega )}\leq C\|u\|_{W^{1,p}(\Omega )}}$para todos ${\textstyle u\in W^{1,p}(\Omega )}$

con constante solo dependiendo de y . La función se llama rastro de y a menudo se denota simplemente por . Otros símbolos comunes para incluir y . ${\textstyle p}$ ${\textstyle \Omega }$ ${\textstyle Tu}$ ${\textstyle u}$ ${\textstyle u|_{\partial \Omega }}$ ${\textstyle T}$ ${\textstyle tr}$ ${\textstyle \gamma }$

Construcción

Este párrafo sigue a Evans, ^[2] donde se pueden encontrar más detalles, y supone que tiene un límite. En Gagliardo se puede encontrar una prueba (de una versión más sólida) del teorema de la traza para los dominios de Lipschitz. ^[1] En un dominio, el operador de seguimiento se puede definir como una extensión lineal continua del operador. ${\textstyle \Omega }$ ${\textstyle C^{1}}$ ${\textstyle C^{1}}$

${\displaystyle T:C^{\infty }({\bar {\Omega }})\to L^{p}(\partial \Omega )}$

al espacio . Por densidad de en tal extensión es posible si es continua con respecto a la norma. La prueba de esto, es decir, que existe (dependiendo de y ) tal que ${\textstyle W^{1,p}(\Omega )}$ ${\textstyle C^{\infty }({\bar {\Omega }})}$ ${\textstyle W^{1,p}(\Omega )}$ ${\textstyle T}$ ${\textstyle W^{1,p}(\Omega )}$ ${\textstyle C>0}$ ${\textstyle \Omega }$ ${\textstyle p}$

${\displaystyle \|Tu\|_{L^{p}(\partial \Omega )}\leq C\|u\|_{W^{1,p}(\Omega )}}$para todos ${\displaystyle u\in C^{\infty }({\bar {\Omega }}).}$

es el ingrediente central en la construcción del operador de seguimiento. Primero se demuestra una variante local de esta estimación para funciones - para un límite localmente plano utilizando el teorema de divergencia . Mediante transformación, un límite general se puede enderezar localmente para reducirlo a este caso, donde la regularidad de la transformación requiere que la estimación local sea válida para las funciones. ${\textstyle C^{1}({\bar {\Omega }})}$ ${\textstyle C^{1}}$ ${\textstyle C^{1}}$ ${\textstyle C^{1}({\bar {\Omega }})}$

Con esta continuidad del operador de seguimiento en una extensión de existe mediante argumentos abstractos y para se puede caracterizar de la siguiente manera. Sea una secuencia que se aproxima por densidad. Por la continuidad probada de en la secuencia es una secuencia de Cauchy en y con límite tomado en . ${\textstyle C^{\infty }({\bar {\Omega }})}$ ${\textstyle W^{1,p}(\Omega )}$ ${\textstyle Tu}$ ${\textstyle u\in W^{1,p}(\Omega )}$ ${\textstyle u_{k}\in C^{\infty }({\bar {\Omega }})}$ ${\textstyle u\in W^{1,p}(\Omega )}$ ${\textstyle T}$ ${\textstyle C^{\infty }({\bar {\Omega }})}$ ${\textstyle u_{k}|_{\partial \Omega }}$ ${\textstyle L^{p}(\partial \Omega )}$ ${\textstyle Tu=\lim _{k\to \infty }u_{k}|_{\partial \Omega }}$ ${\textstyle L^{p}(\partial \Omega )}$

La propiedad de extensión se cumple por construcción, pero para cualquiera existe una secuencia que converge uniformemente en , verificando la propiedad de extensión en el conjunto más grande . ${\textstyle Tu=u|_{\partial \Omega }}$ ${\textstyle u\in C^{\infty }({\bar {\Omega }})}$ ${\textstyle u\in W^{1,p}(\Omega )\cap C({\bar {\Omega }})}$ ${\textstyle u_{k}\in C^{\infty }({\bar {\Omega }})}$ ${\textstyle {\bar {\Omega }}}$ ${\textstyle u}$ ${\textstyle W^{1,p}(\Omega )\cap C({\bar {\Omega }})}$

El caso p = ∞

Si está acotado y tiene un límite, entonces por la desigualdad de Morrey existe una incrustación continua , donde denota el espacio de funciones continuas de Lipschitz . En particular, cualquier función tiene un rastro clásico y se cumple ${\textstyle \Omega }$ ${\textstyle C^{1}}$ ${\textstyle W^{1,\infty }(\Omega )\hookrightarrow C^{0,1}(\Omega )}$ ${\textstyle C^{0,1}(\Omega )}$ ${\textstyle u\in W^{1,\infty }(\Omega )}$ ${\textstyle u|_{\partial \Omega }\in C(\partial \Omega )}$

${\displaystyle \|u|_{\partial \Omega }\|_{C(\partial \Omega )}\leq \|u\|_{C^{0,1}(\Omega )}\leq C\|u\|_{W^{1,\infty }(\Omega )}.}$

Funciones con traza cero

Los espacios de Sobolev para se definen como el cierre del conjunto de funciones de prueba soportadas de forma compacta con respecto a la norma. Se cumple la siguiente caracterización alternativa: ${\textstyle W_{0}^{1,p}(\Omega )}$ ${\textstyle 1\leq p<\infty }$ ${\textstyle C_{c}^{\infty }(\Omega )}$ ${\textstyle W^{1,p}(\Omega )}$

${\displaystyle W_{0}^{1,p}(\Omega )=\{u\in W^{1,p}(\Omega )\mid Tu=0\}=\ker(T\colon W^{1,p}(\Omega )\to L^{p}(\partial \Omega )),}$

¿Dónde está el núcleo de , es decir, el subespacio de funciones con traza cero? ${\textstyle \ker(T)}$ ${\textstyle T}$ ${\textstyle W_{0}^{1,p}(\Omega )}$ ${\textstyle W^{1,p}(\Omega )}$

Imagen del operador de rastreo

Para p > 1

El operador de traza no es sobreyectivo sobre if , es decir, no todas las funciones en son la traza de una función en . Como se detalla a continuación, la imagen consta de funciones que satisfacen una versión de continuidad de Hölder . ${\textstyle L^{p}(\partial \Omega )}$ ${\textstyle p>1}$ ${\textstyle L^{p}(\partial \Omega )}$ ${\textstyle W^{1,p}(\Omega )}$ ${\textstyle L^{p}}$

Caracterización abstracta

Se puede derivar una caracterización abstracta de la imagen de la siguiente manera. Por los teoremas de isomorfismo se cumple ${\textstyle T}$

${\displaystyle T(W^{1,p}(\Omega ))\cong W^{1,p}(\Omega )/\ker(T\colon W^{1,p}(\Omega )\to L^{p}(\partial \Omega ))=W^{1,p}(\Omega )/W_{0}^{1,p}(\Omega )}$

donde denota el espacio cociente del espacio de Banach por el subespacio y la última identidad se deriva de la caracterización de arriba. Equipar el espacio cociente con la norma cociente definida por ${\textstyle X/N}$ ${\textstyle X}$ ${\textstyle N\subset X}$ ${\textstyle W_{0}^{1,p}(\Omega )}$

${\displaystyle \|u\|_{W^{1,p}(\Omega )/W_{0}^{1,p}(\Omega )}=\inf _{u_{0}\in W_{0}^{1,p}(\Omega )}\|u-u_{0}\|_{W^{1,p}(\Omega )}}$

el operador de traza es entonces un operador lineal acotado y sobreyectivo ${\textstyle T}$

${\displaystyle T\colon W^{1,p}(\Omega )\to W^{1,p}(\Omega )/W_{0}^{1,p}(\Omega )}$.

Caracterización mediante espacios de Sobolev-Slobodeckij

Se puede dar una representación más concreta de la imagen de utilizando espacios de Sobolev-Slobodeckij que generalizan el concepto de funciones continuas de Hölder al entorno. Desde el punto de vista técnico, se trata de una variedad de Lipschitz (n-1) -dimensional incrustada en una caracterización explícita de estos espacios. Para simplificar, considere primero un dominio plano . Para definir la norma (posiblemente infinita) ${\textstyle T}$ ${\textstyle L^{p}}$ ${\textstyle \partial \Omega }$ ${\textstyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\textstyle \Omega '\subset \mathbb {R} ^{n-1}}$ ${\textstyle v\in L^{p}(\Omega ')}$

${\displaystyle \|v\|_{W^{1-1/p,p}(\Omega ')}=\left(\|v\|_{L^{p}(\Omega ')}^{p}+\int _{\Omega '\times \Omega '}{\frac {|v(x)-v(y)|^{p}}{|x-y|^{(1-1/p)p+(n-1)}}}\,\mathrm {d} (x,y)\right)^{1/p}}$

que generaliza la condición de Hölder . Entonces ${\textstyle |v(x)-v(y)|\leq C|x-y|^{1-1/p}}$

${\displaystyle W^{1-1/p,p}(\Omega ')=\left\{v\in L^{p}(\Omega ')\;\mid \;\|v\|_{W^{1-1/p,p}(\Omega ')}<\infty \right\}}$

equipado con la norma anterior es un espacio de Banach ( se puede encontrar una definición general de espacios no enteros en el artículo sobre espacios de Sobolev-Slobodeckij ). Para la variedad de Lipschitz (n-1) -dimensional, defina enderezando localmente y procediendo como en la definición de . ${\textstyle W^{s,p}(\Omega ')}$ ${\textstyle s>0}$ ${\textstyle \partial \Omega }$ ${\textstyle W^{1-1/p,p}(\partial \Omega )}$ ${\textstyle \partial \Omega }$ ${\textstyle W^{1-1/p,p}(\Omega ')}$

El espacio puede entonces identificarse como la imagen del operador de seguimiento y se cumple ^[1] que ${\textstyle W^{1-1/p,p}(\partial \Omega )}$

${\displaystyle T\colon W^{1,p}(\Omega )\to W^{1-1/p,p}(\partial \Omega )}$

es un operador lineal acotado y sobreyectivo.

Para pag = 1

Para la imagen del operador de seguimiento es y se cumple ^[1] que ${\textstyle p=1}$ ${\textstyle L^{1}(\partial \Omega )}$

${\displaystyle T\colon W^{1,1}(\Omega )\to L^{1}(\partial \Omega )}$

es un operador lineal acotado y sobreyectivo.

Inverso a la derecha: operador de extensión de seguimiento

El operador de seguimiento no es inyectivo ya que varias funciones pueden tener el mismo seguimiento (o equivalentemente ). Sin embargo, el operador de traza tiene un inverso derecho que se comporta bien, que extiende una función definida en el límite a todo el dominio. Específicamente, existe un operador de extensión de traza lineal acotado ^[3] ${\textstyle W^{1,p}(\Omega )}$ ${\textstyle W_{0}^{1,p}(\Omega )\neq 0}$ ${\textstyle 1<p<\infty }$

${\displaystyle E\colon W^{1-1/p,p}(\partial \Omega )\to W^{1,p}(\Omega )}$,

utilizando la caracterización de Sobolev-Slobodeckij de la imagen del operador de traza de la sección anterior, de modo que

${\displaystyle T(Ev)=v}$para todos ${\textstyle v\in W^{1-1/p,p}(\partial \Omega )}$

y, por continuidad, existe con ${\textstyle C>0}$

${\displaystyle \|Ev\|_{W^{1,p}(\Omega )}\leq C\|v\|_{W^{1-1/p,p}(\partial \Omega )}}$.

Lo notable no es la mera existencia sino la linealidad y continuidad del inverso derecho. Este operador de extensión de traza no debe confundirse con los operadores de extensión de espacio completo que desempeñan un papel fundamental en la teoría de los espacios de Sobolev. ${\textstyle W^{1,p}(\Omega )\to W^{1,p}(\mathbb {R} ^{n})}$

Ampliación a otros espacios

Derivados superiores

Muchos de los resultados anteriores se pueden ampliar con una mayor diferenciabilidad si el dominio es suficientemente regular. Denotemos el campo normal de la unidad exterior en . Dado que solo la derivada normal puede codificar propiedades de diferenciabilidad en dirección tangencial es de interés adicional para la teoría de la traza . Se aplican argumentos similares a las derivadas de orden superior para . ${\textstyle W^{m,p}(\Omega )}$ ${\textstyle m=2,3,\ldots }$ ${\textstyle N}$ ${\textstyle \partial \Omega }$ ${\textstyle u|_{\partial \Omega }}$ ${\textstyle \partial _{N}u|_{\partial \Omega }}$ ${\textstyle m=2}$ ${\textstyle m>2}$

Sea y un dominio acotado con -límite. Entonces ^[3] existe un operador de traza lineal acotado y sobreyectivo de orden superior ${\textstyle 1<p<\infty }$ ${\textstyle \Omega \subset \mathbb {R} ^{n}}$ ${\textstyle C^{m,1}}$

${\displaystyle T_{m}\colon W^{m,p}(\Omega )\to \prod _{l=0}^{m-1}W^{m-l-1/p,p}(\partial \Omega )}$

con espacios de Sobolev-Slobodeckij para no enteros definidos mediante transformación al caso plano para , cuya definición se elabora en el artículo sobre espacios de Sobolev-Slobodeckij . El operador extiende las trazas normales clásicas en el sentido de que ${\textstyle W^{s,p}(\partial \Omega )}$ ${\textstyle s>0}$ ${\textstyle \partial \Omega }$ ${\textstyle W^{s,p}(\Omega ')}$ ${\textstyle \Omega '\subset \mathbb {R} ^{n-1}}$ ${\textstyle T_{m}}$

${\displaystyle T_{m}u=\left(u|_{\partial \Omega },\partial _{N}u|_{\partial \Omega },\ldots ,\partial _{N}^{m-1}u|_{\partial \Omega }\right)}$para todos ${\textstyle u\in W^{m,p}(\Omega )\cap C^{m-1}({\bar {\Omega }}).}$

Además, existe un inverso lineal derecho acotado de , un operador de extensión de traza de orden superior ^[3] ${\textstyle T_{m}}$

${\displaystyle E_{m}\colon \prod _{l=0}^{m-1}W^{m-l-1/p,p}(\partial \Omega )\to W^{m,p}(\Omega )}$.

Finalmente, los espacios , la finalización de en la norma, se pueden caracterizar como el núcleo de , ^[3] es decir ${\textstyle W_{0}^{m,p}(\Omega )}$ ${\textstyle C_{c}^{\infty }(\Omega )}$ ${\textstyle W^{m,p}(\Omega )}$ ${\textstyle T_{m}}$

${\displaystyle W_{0}^{m,p}(\Omega )=\{u\in W^{m,p}(\Omega )\mid T_{m}u=0\}}$.

Espacios menos regulares

No hay rastro en L ^p

No existe una extensión sensata del concepto de trazas a for ya que cualquier operador lineal acotado que extienda la traza clásica debe ser cero en el espacio de funciones de prueba , que es un subconjunto denso de , lo que implica que dicho operador sería cero en todas partes. ${\textstyle L^{p}(\Omega )}$ ${\textstyle 1\leq p<\infty }$ ${\textstyle C_{c}^{\infty }(\Omega )}$ ${\textstyle L^{p}(\Omega )}$

Traza normal generalizada

Denotemos la divergencia distributiva de un campo vectorial . Para un dominio de Lipschitz acotado definir ${\textstyle \operatorname {div} v}$ ${\textstyle v}$ ${\textstyle 1<p<\infty }$ ${\textstyle \Omega \subset \mathbb {R} ^{n}}$

${\displaystyle E_{p}(\Omega )=\{v\in (L^{p}(\Omega ))^{n}\mid \operatorname {div} v\in L^{p}(\Omega )\}}$

que es un espacio de Banach con norma

${\displaystyle \|v\|_{E_{p}(\Omega )}=\left(\|v\|_{L^{p}(\Omega )}^{p}+\|\operatorname {div} v\|_{L^{p}(\Omega )}^{p}\right)^{1/p}}$.

Denotemos el campo normal de la unidad exterior en . Entonces ^[4] existe un operador lineal acotado ${\textstyle N}$ ${\textstyle \partial \Omega }$

${\displaystyle T_{N}\colon E_{p}(\Omega )\to (W^{1-1/q,q}(\partial \Omega ))'}$,

donde es el exponente conjugado y denota el espacio dual continuo a un espacio de Banach , tal que extiende la traza normal para en el sentido de que ${\textstyle q=p/(p-1)}$ ${\textstyle p}$ ${\textstyle X'}$ ${\textstyle X}$ ${\textstyle T_{N}}$ ${\textstyle (v\cdot N)|_{\partial \Omega }}$ ${\textstyle v\in (C^{\infty }({\bar {\Omega }}))^{n}}$

${\displaystyle T_{N}v={\bigl \{}\varphi \in W^{1-1/q,q}(\partial \Omega )\mapsto \int _{\partial \Omega }\varphi v\cdot N\,\mathrm {d} S{\bigr \}}}$.

El valor del operador de traza normal para se define mediante la aplicación del teorema de divergencia al campo vectorial donde está el operador de extensión de traza desde arriba. ${\textstyle (T_{N}v)(\varphi )}$ ${\textstyle \varphi \in W^{1-1/q,q}(\partial \Omega )}$ ${\textstyle w=E\varphi \,v}$ ${\textstyle E}$

Solicitud. Cualquier solución débil en un dominio de Lipschitz acotado tiene una derivada normal en el sentido de . Esto sigue como desde y . Este resultado es notable ya que en los dominios de Lipschitz en general , tales que pueden no estar en el dominio del operador de seguimiento . ${\textstyle u\in H^{1}(\Omega )}$ ${\textstyle -\Delta u=f\in L^{2}(\Omega )}$ ${\textstyle \Omega \subset \mathbb {R} ^{n}}$ ${\textstyle T_{N}\nabla u\in (W^{1/2,2}(\partial \Omega ))^{*}}$ ${\textstyle \nabla u\in E_{2}(\Omega )}$ ${\textstyle \nabla u\in L^{2}(\Omega )}$ ${\textstyle \operatorname {div} (\nabla u)=\Delta u=-f\in L^{2}(\Omega )}$ ${\textstyle u\not \in H^{2}(\Omega )}$ ${\textstyle \nabla u}$ ${\textstyle T}$

Solicitud

Los teoremas presentados anteriormente permiten una investigación más detallada del problema del valor límite.

${\displaystyle {\begin{alignedat}{2}-\Delta u&=f&\quad &{\text{in }}\Omega ,\\u&=g&&{\text{on }}\partial \Omega \end{alignedat}}}$

en un dominio de Lipschitz a partir de la motivación. Dado que aquí solo se investiga el caso del espacio de Hilbert , la notación se usa para denotar , etc. Como se indica en la motivación, una solución débil a esta ecuación debe satisfacer y ${\textstyle \Omega \subset \mathbb {R} ^{n}}$ ${\textstyle p=2}$ ${\textstyle H^{1}(\Omega )}$ ${\textstyle W^{1,2}(\Omega )}$ ${\textstyle u\in H^{1}(\Omega )}$ ${\textstyle Tu=g}$

${\displaystyle \int _{\Omega }\nabla u\cdot \nabla \varphi \,\mathrm {d} x=\int _{\Omega }f\varphi \,\mathrm {d} x}$para todos , ${\textstyle \varphi \in H_{0}^{1}(\Omega )}$

donde el lado derecho debe interpretarse como un producto de dualidad con el valor . ${\textstyle f\in H^{-1}(\Omega )=(H_{0}^{1}(\Omega ))'}$ ${\textstyle f(\varphi )}$

Existencia y singularidad de soluciones débiles.

La caracterización del rango de implica que es necesario mantener la regularidad . Esta regularidad también es suficiente para la existencia de una solución débil, lo que se puede ver a continuación. Según el teorema de extensión de trazas, existe tal que . Definiendo por tenemos eso y por lo tanto por la caracterización de como espacio de traza cero. La función entonces satisface la ecuación integral. ${\textstyle T}$ ${\textstyle Tu=g}$ ${\textstyle g\in H^{1/2}(\partial \Omega )}$ ${\textstyle Eg\in H^{1}(\Omega )}$ ${\textstyle T(Eg)=g}$ ${\textstyle u_{0}}$ ${\textstyle u_{0}=u-Eg}$ ${\textstyle Tu_{0}=Tu-T(Eg)=0}$ ${\textstyle u_{0}\in H_{0}^{1}(\Omega )}$ ${\textstyle H_{0}^{1}(\Omega )}$ ${\textstyle u_{0}\in H_{0}^{1}(\Omega )}$

${\displaystyle \int _{\Omega }\nabla u_{0}\cdot \nabla \varphi \,\mathrm {d} x=\int _{\Omega }\nabla (u-Eg)\cdot \nabla \varphi \,\mathrm {d} x=\int _{\Omega }f\varphi \,\mathrm {d} x-\int _{\Omega }\nabla Eg\cdot \nabla \varphi \,\mathrm {d} x}$para todos . ${\textstyle \varphi \in H_{0}^{1}(\Omega )}$

Así, el problema con valores límite no homogéneos para podría reducirse a un problema con valores límite homogéneos para , una técnica que puede aplicarse a cualquier ecuación diferencial lineal. Según el teorema de representación de Riesz existe una solución única a este problema. Por unicidad de la descomposición , esto equivale a la existencia de una solución débil única al problema de valores límite no homogéneos. ${\textstyle u}$ ${\textstyle u_{0}}$ ${\textstyle u_{0}}$ ${\textstyle u=u_{0}+Eg}$ ${\textstyle u}$

Dependencia continua de los datos

Queda por investigar la dependencia de y . Denotemos constantes independientes de y . Por dependencia continua de del lado derecho de su ecuación integral, se cumple ${\textstyle u}$ ${\textstyle f}$ ${\textstyle g}$ ${\textstyle c_{1},c_{2},\ldots >0}$ ${\textstyle f}$ ${\textstyle g}$ ${\textstyle u_{0}}$

${\displaystyle \|u_{0}\|_{H_{0}^{1}(\Omega )}\leq c_{1}\left(\|f\|_{H^{-1}(\Omega )}+\|Eg\|_{H^{1}(\Omega )}\right)}$

y así, usando eso y por continuidad del operador de extensión de seguimiento, se deduce que ${\textstyle \|u_{0}\|_{H_{0}^{1}(\Omega )}\leq c_{2}\|u_{0}\|_{H^{1}(\Omega )}}$ ${\textstyle \|Eg\|_{H^{1}(\Omega )}\leq c_{3}\|g\|_{H^{1/2}(\Omega )}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\|u\|_{H^{1}(\Omega )}&\leq \|u_{0}\|_{H^{1}(\Omega )}+\|Eg\|_{H^{1}(\Omega )}\leq c_{1}c_{2}\|f\|_{H^{-1}(\Omega )}+(1+c_{1}c_{2})\|Eg\|_{H^{1}(\Omega )}\\&\leq c_{4}\left(\|f\|_{H^{-1}(\Omega )}+\|g\|_{H^{1/2}(\partial \Omega )}\right)\end{aligned}}}$

y el mapa de soluciones

${\displaystyle H^{-1}(\Omega )\times H^{1/2}(\partial \Omega )\ni (f,g)\mapsto u\in H^{1}(\Omega )}$

es por tanto continua.

Ver también

• Clase de seguimiento
• Operadores nucleares entre espacios de Banach

Referencias

1. Gagliardo, Emilio (1957). "Caratterizzazioni delle tracce sulla frontiera relativo ad alcune classi di funzioni in n variabili". Rediconti del Seminario Matemático della Università di Padova . 27 : 284–305.
2. Evans, Lawrence (1998). Ecuaciones diferenciales parciales . Providence, RI: Sociedad Estadounidense de Matemáticas. págs. 257–261. ISBN 0-8218-0772-2.
3. Nečas, Jindřich (1967). Les méthodes directes en théorie des équations elliptiques . París: Masson et Cie, Éditeurs, Praga: Academia, Éditeurs. págs. 90-104.
4. Sohr, Hermann (2001). Las ecuaciones de Navier-Stokes: un enfoque analítico funcional elemental . Birkhäuser Textos avanzados Basler Lehrbücher. Basilea: Birkhäuser. págs. 50–51. doi :10.1007/978-3-0348-8255-2. ISBN 978-3-0348-9493-7.

• Leoni, Giovanni (2017). Un primer curso en espacios de Sobolev: segunda edición . Estudios de Posgrado en Matemáticas . 181 . Sociedad Matemática Estadounidense. págs.734. ISBN 978-1-4704-2921-8