Condición de contorno mixta

En matemáticas , una condición de frontera mixta para una ecuación diferencial parcial define un problema de valor de frontera en el que se requiere que la solución de la ecuación dada satisfaga diferentes condiciones de frontera en partes disjuntas de la frontera del dominio donde se establece la condición. Precisamente, en un problema de valores de frontera mixtos, se requiere que la solución satisfaga una condición de frontera de Dirichlet o Neumann de manera mutuamente excluyente en partes disjuntas de la frontera.

Por ejemplo, dada una solución $u$ a una ecuación diferencial parcial en un dominio $Ω$ con frontera $\partialΩ$ , se dice que satisface una condición de frontera mixta si, que consta de $\partialΩ$ de dos partes disjuntas, $Γ 1$ y $Γ 2$ , tal que $\partialΩ = Γ 1 \cup Γ 2$ , $u$ verifica las siguientes ecuaciones:

\left.u\right|_{\Gamma _ {1}}=u_ {0}

\left.{\frac {\partial u}{\partial n}}\right|_{\Gamma _{2}}=g,

donde $tu 0$ yg $reciben$ funciones definidas en esas partes del límite. ^[1]

La condición de frontera mixta difiere de la condición de frontera de Robin en que esta última requiere que se cumpla una combinación lineal , posiblemente con coeficientes variables puntuales , de las condiciones de valor de frontera de Dirichlet y Neumann en toda la frontera de un dominio determinado.

nota historica

M. Wirtinger, dans una conversación privada, un atuendo mon atención sobre el problema siguiente: determina una función $u$ verifica la ecuación de Laplace en un cierto dominio ( $D$ ) étant donné, sur una parte ( $S$ ) de la frontera, les valeurs Periféricos de la función demandada y, en el resto ( $S'$ ) de la frontera del dominio considerado, células de la derivada posterior a la normalidad . Me propongo hacer un descubrimiento de una solución muy general a este problema interesante. ^[2]
— Stanisław Zaremba , (Zaremba 1910, §1, p. 313).

El primer problema de valores en la frontera que satisfacía una condición de frontera mixta fue resuelto por Stanisław Zaremba mediante la ecuación de Laplace : según él mismo, fue Wilhelm Wirtinger quien le sugirió estudiar este problema. ^[3]

Ver también

Notas

^ Obviamente, no es necesario $exigirte 0$ y $g$ son funciones: pueden ser distribuciones o cualquier otro tipo de funciones generalizadas .
^ (Traducción al inglés) "El Sr. Wirtinger, durante una conversación privada, me llamó la atención sobre el siguiente problema: determinar una función $u$ que satisfaga la ecuación de Laplace en un determinado dominio ( $D$ ) dado, en una parte ( $S$ ) de su frontera, los valores periféricos de la función buscada y, en la parte restante ( $S'$ ) del dominio considerado, los de su derivada a lo largo de la normal . Mi objetivo es dar a conocer una solución muy general a este interesante problema.
^ Ver (Zaremba 1910, §1, p. 313).

Referencias

Fichera, Gaetano (1949), "Analisi esistenziale per le soluzioni dei problemi al contorno misti, relativi all'equazione e ai sistemi di equazioni del secondo ordine di tipo ellittico, autoaggiunti", Annali della Scuola Normale Superiore , Serie III (en italiano) , 1 (1947) (1–4): 75–100, SEÑOR 0035370, Zbl 0035.18603. En el artículo " Análisis existencial de las soluciones de problemas de valores límite mixtos, relacionados con ecuaciones elípticas de segundo orden y sistemas de ecuaciones autoadjuntos " (traducción al inglés del título), Gaetano Fichera ofrece las primeras pruebas de existencia y teoremas de unicidad para los problemas mixtos. "Problema de valor límite que involucra operadores elípticos autoadjuntos generales de segundo orden en dominios bastante generales" .
Gurú, Bhag S.; Hızıroğlu, Hüseyin R. (2004), Fundamentos de la teoría del campo electromagnético (2ª ed.), Cambridge, Reino Unido – Nueva York: Cambridge University Press , p. 593, ISBN 0-521-83016-8.
Miranda, Carlo (1955), Equazioni alle derivate parziali di tipo ellittico , Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete – Neue Folge (en italiano), vol. Heft 2 (1.ª ed.), Berlín – Göttingen – Nueva York: Springer Verlag , págs. VIII+222, MR 0087853, Zbl 0065.08503.
Miranda, Carlo (1970) [1955], Ecuaciones diferenciales parciales de tipo elíptico , Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete – 2 Folge, vol. Band 2 (2.ª edición revisada), Berlín – Heidelberg – Nueva York: Springer Verlag , págs. XII+370, ISBN 978-3-540-04804-6, SEÑOR 0284700, Zbl 0198.14101, traducido del italiano por Zane C. Motteler.
Zaremba, S. (1910), "Sur un problème mixte relatif à l'équation de Laplace", Boletín internacional de la Academia de Ciencias de Cracovia. Classe des Sciences Mathématiques et Naturelles , Serie A: Sciences mathématiques (en francés): 313–344, JFM 41.0854.12, traducido al ruso como Zaremba, S. (1946), Об одной смешанной задаче, относящейся к уравнению Лапласа, Uspekhi Matematicheskikh Nauk (en ruso), 1 (3-4(13-14)): 125–146, MR 0025 032, Zbl 0061.23010.