Derivada reducida

En matemáticas , la derivada reducida es una generalización de la noción de derivada que se adapta bien al estudio de funciones de variación acotada . Aunque las funciones de variación acotada tienen derivadas en el sentido de las medidas de Radon , es deseable tener una derivada que tome valores en el mismo espacio que las funciones mismas. Aunque la definición precisa de la derivada reducida es bastante compleja, sus propiedades clave son bastante fáciles de recordar:

• es un múltiplo de la derivada usual dondequiera que exista;
• En los puntos de salto, es un múltiplo del vector de salto.

El concepto de derivada reducida parece haber sido introducido por Alexander Mielke y Florian Theil en 2004.

Definición

Sea X un espacio de Banach separable y reflexivo con norma || || y fijo T  > 0. Sea BV ₋ ([0,  T ];  X ) el espacio de todas las funciones continuas por la izquierda z  : [0,  T ] →  X con variación acotada en [0,  T ].

Para cualquier función del tiempo f , utilice subíndices +/− para denotar las versiones continuas derecha/izquierda de f , es decir

${\displaystyle f_{+}(t)=\lim _{s\downarrow t}f(s);}$

${\displaystyle f_{-}(t)=\lim _{s\uparrow t}f(s).}$

Para cualquier subintervalo [ a ,  b ] de [0,  T ], sea Var( z , [ a ,  b ]) la variación de z sobre [ a ,  b ], es decir, el supremo

${\displaystyle \mathrm {Var} (z,[a,b])=\sup \left\{\left.\sum _{i=1}^{k}\|z(t_{i})-z(t_{i-1})\|\right|a=t_{0}<t_{1}<\cdots <t_{k}=b,k\in \mathbb {N} \right\}.}$

El primer paso en la construcción de la derivada reducida es el tiempo de "estiramiento" para que z pueda interpolarse linealmente en sus puntos de salto. Para ello, defina

${\displaystyle {\hat {\tau }}\colon [0,T]\to [0,+\infty );}$

${\displaystyle {\hat {\tau }}(t)=t+\int _{[0,t]}\|\mathrm {d} z\|=t+\mathrm {Var} (z,[0,t]).}$

La función de "tiempo estirado" τ̂ es continua por la izquierda (es decir, τ̂  =  τ̂ ₋ ); además, τ̂ ₋ y τ̂ ₊ son estrictamente crecientes y concuerdan excepto en los puntos de salto (como máximo contables) de z . Si se establece T̂  =  τ̂ ( T ), este "estiramiento" se puede invertir mediante

${\displaystyle {\hat {t}}\colon [0,{\hat {T}}]\to [0,T];}$

${\displaystyle {\hat {t}}(\tau )=\max\{t\in [0,T]|{\hat {\tau }}(t)\leq \tau \}.}$

Usando esto, la versión estirada de z se define por

${\displaystyle {\hat {z}}\in C^{0}([0,{\hat {T}}];X);}$

${\displaystyle {\hat {z}}(\tau )=(1-\theta )z_{-}(t)+\theta z_{+}(t)}$

donde θ  ∈ [0, 1] y

${\displaystyle \tau =(1-\theta ){\hat {\tau }}_{-}(t)+\theta {\hat {\tau }}_{+}(t).}$

El efecto de esta definición es crear una nueva función ẑ que "estira" los saltos de z mediante interpolación lineal. Un cálculo rápido muestra que ẑ no sólo es continua, sino que también se encuentra en un espacio de Sobolev :

${\displaystyle {\hat {z}}\in W^{1,\infty }([0,{\hat {T}}];X);}$

${\displaystyle \left\|{\frac {\mathrm {d} {\hat {z}}}{\mathrm {d} \tau }}\right\|_{L^{\infty }([0,{\hat {T}}];X)}\leq 1.}$

La derivada de ẑ ( τ ) con respecto a τ se define casi en todas partes con respecto a la medida de Lebesgue . La derivada reducida de z es el pull-back de esta derivada por la función de estiramiento τ̂  : [0,  T ] → [0,  T̂ ]. En otras palabras,

${\displaystyle \mathrm {rd} (z)\colon [0,T]\to \{x\in X|\|x\|\leq 1\};}$

${\displaystyle \mathrm {rd} (z)(t)={\frac {\mathrm {d} {\hat {z}}}{\mathrm {d} \tau }}\left({\frac {{\hat {\tau }}_{-}(t)+{\hat {\tau }}_{+}(t)}{2}}\right).}$

Asociado a este retroceso de la derivada está el retroceso de la medida de Lebesgue en [0,  T̂ ], que define la medida diferencial μ _z :

${\displaystyle \mu _{z}([t_{1},t_{2}))=\lambda ([{\hat {\tau }}(t_{1}),{\hat {\tau }}(t_{2}))={\hat {\tau }}(t_{2})-{\hat {\tau }}(t_{1})=t_{2}-t_{1}+\int _{[t_{1},t_{2}]}\|\mathrm {d} z\|.}$

Propiedades

• La derivada reducida rd( z ) está definida solo μ _z -casi en todas partes en [0,  T ].
• Si t es un punto de salto de z , entonces

${\displaystyle \mu _{z}(\{t\})=\|z_{+}(t)-z_{-}(t)\|{\mbox{ and }}\mathrm {rd} (z)(t)={\frac {z_{+}(t)-z_{-}(t)}{\|z_{+}(t)-z_{-}(t)\|}}.}$

• Si z es diferenciable en ( t ₁ ,  t ₂ ), entonces

${\displaystyle \mu _{z}((t_{1},t_{2}))=\int _{t_{1}}^{t_{2}}1+\|{\dot {z}}(t)\|\,\mathrm {d} t}$

y, para t  ∈ ( t ₁ ,  t ₂ ),

${\displaystyle \mathrm {rd} (z)(t)={\frac {{\dot {z}}(t)}{1+\|{\dot {z}}(t)\|}}}$,

• Para 0 ≤  s  <  t  ≤  T ,

${\displaystyle \int _{[s,t)}\mathrm {rd} (z)(r)\,\mathrm {d} \mu _{z}(r)=\int _{[s,t)}\mathrm {d} z=z(t)-z(s).}$

Referencias

• Mielke, Alexander; Theil, Florian (2004). "Sobre modelos de histéresis independientes de la velocidad". NoDEA Nonlinear Differential Equations Appl . 11 (2): 151–189. doi :10.1007/s00030-003-1052-7. ISSN  1021-9722. S2CID  54705046. Señor 2210284