Equivalencia (teoría de la medida)

En matemáticas , y específicamente en la teoría de la medida , la equivalencia es una noción según la cual dos medidas son cualitativamente similares. En concreto, las dos medidas coinciden en qué eventos tienen medida cero.

Definición

Sean y dos medidas en el espacio medible y sean y los conjuntos de - conjuntos nulos y - conjuntos nulos, respectivamente. Entonces se dice que la medida es absolutamente continua con referencia a si y solo si Esto se denota como ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle (X,{\mathcal {A}}),}$ $${\displaystyle {\mathcal {N}}_{\mu }:=\{A\in {\mathcal {A}}\mid \mu (A)=0\}}$$ $${\displaystyle {\mathcal {N}}_{\nu }:=\{A\in {\mathcal {A}}\mid \nu (A)=0\}}$$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle {\mathcal {N}}_{\nu }\supseteq {\mathcal {N}}_{\mu }.}$ ${\displaystyle \nu \ll \mu .}$

Las dos medidas se denominan equivalentes si y solo si y ^[1] que se denota como Es decir, dos medidas son equivalentes si satisfacen ${\displaystyle \mu \ll \nu }$ ${\displaystyle \nu \ll \mu ,}$ ${\displaystyle \mu \sim \nu .}$ ${\displaystyle {\mathcal {N}}_{\mu }={\mathcal {N}}_{\nu }.}$

Ejemplos

En la linea real

Defina las dos medidas en la línea real como para todos los conjuntos de Borel. Entonces y son equivalentes, ya que todos los conjuntos fuera de tienen y miden cero, y un conjunto dentro es un conjunto -nulo o un conjunto -nulo exactamente cuando es un conjunto nulo con respecto a la medida de Lebesgue . $${\displaystyle \mu (A)=\int _{A}\mathbf {1} _{[0,1]}(x)\mathrm {d} x}$$ $${\displaystyle \nu (A)=\int _{A}x^{2}\mathbf {1} _{[0,1]}(x)\mathrm {d} x}$$ ${\displaystyle A.}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle [0,1]}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle [0,1]}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \nu }$

Espacio de medida abstracto

Observa un espacio medible y deja que sea la medida de conteo , entonces donde es la cardinalidad del conjunto a. Entonces, la medida de conteo tiene solo un conjunto nulo, que es el conjunto vacío . Es decir, Entonces, por la segunda definición, cualquier otra medida es equivalente a la medida de conteo si y solo si también tiene solo el conjunto vacío como el único conjunto nulo. ${\displaystyle (X,{\mathcal {A}})}$ ${\displaystyle \mu }$ $${\displaystyle \mu (A)=|A|,}$$ ${\displaystyle |A|}$ ${\displaystyle {\mathcal {N}}_{\mu }=\{\varnothing \}.}$ ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle \nu }$

Medidas de apoyo

Una medida se llama ${\displaystyle \mu }$medida de apoyo de una medidasies-finitayes equivalente a^[2] ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle \mu .}$

Referencias

1. Klenke, Achim (2008). Probability Theory . Berlín: Springer. pág. 156. doi :10.1007/978-1-84800-048-3. ISBN 978-1-84800-047-6.
2. Kallenberg, Olav (2017). Medidas aleatorias, teoría y aplicaciones . Suiza: Springer. p. 21. doi :10.1007/978-3-319-41598-7. ISBN 978-3-319-41596-3.