Operador típicamente lineal definido en términos de diferenciación de funciones.
En matemáticas , un operador diferencial es un operador definido como una función del operador de diferenciación . Es útil, como cuestión de notación en primer lugar, considerar la diferenciación como una operación abstracta que acepta una función y devuelve otra función (al estilo de una función de orden superior en informática ).
En este artículo se consideran principalmente operadores diferenciales lineales , que son el tipo más común. Sin embargo, también existen operadores diferenciales no lineales, como la derivada de Schwarz .
Definición
Dado un entero no negativo m , un operador diferencial de orden lineal es una función de un espacio funcional a otro espacio funcional que puede escribirse como:
donde es un multiíndice de números enteros no negativos , , y para cada , es una función en algún dominio abierto en un espacio n -dimensional. El operador se interpreta como
El polinomio p obtenido al reemplazar parciales por variables en P se llama símbolo total de P ; es decir, el símbolo total de P anterior es:
donde El componente homogéneo más alto del símbolo, es decir,
se llama símbolo principal de P . [1] Si bien el símbolo total no está definido intrínsecamente, el símbolo principal está definido intrínsecamente (es decir, es una función en el fibrado cotangente). [2]
De manera más general, sean E y F fibrados vectoriales sobre una variedad X. Entonces el operador lineal
es un operador diferencial de orden si, en coordenadas locales en X , tenemos
Los coeficientes de orden k de P se transforman en un tensor simétrico
cuyo dominio es el producto tensorial de la k ésima potencia simétrica del fibrado cotangente de X con E , y cuyo codominio es F . Este tensor simétrico se conoce como el símbolo principal (o simplemente el símbolo ) de P .
El sistema de coordenadas x i permite una trivialización local del fibrado cotangente mediante las diferenciales de coordenadas d x i , que determinan las coordenadas de la fibra ξ i . En términos de una base de marcos e μ , f ν de E y F , respectivamente, el operador diferencial P se descompone en componentes
en cada sección u de E . Aquí P νμ es el operador diferencial escalar definido por
Con esta trivialización, el símbolo principal ahora puede escribirse
En el espacio cotangente sobre un punto fijo x de X , el símbolo define un polinomio homogéneo de grado k en con valores en .
Interpretación de Fourier
Un operador diferencial P y su símbolo aparecen naturalmente en conexión con la transformada de Fourier de la siguiente manera. Sea ƒ una función de Schwartz . Entonces, por la transformada de Fourier inversa,
Esto muestra a P como un multiplicador de Fourier . Una clase más general de funciones p ( x , ξ) que satisfacen como máximo las condiciones de crecimiento polinomial en ξ bajo las cuales esta integral se comporta bien comprende los operadores pseudodiferenciales .
Ejemplos
El operador diferencial es elíptico si su símbolo es invertible; es decir, para cada valor distinto de cero, la función del fibrado es invertible. En una variedad compacta , se deduce de la teoría elíptica que P es un operador de Fredholm : tiene núcleo y conúcleo de dimensión finita.
Un operador diferencial quiral. Por ahora, véase [1]
Historia
El paso conceptual de escribir un operador diferencial como algo independiente se atribuye a Louis François Antoine Arbogast en 1800. [3]
Notaciones
El operador diferencial más común es la acción de tomar la derivada . Las notaciones comunes para tomar la primera derivada con respecto a una variable x incluyen:
, , y .
Al tomar derivadas de orden n superior , el operador puede escribirse:
, , , o .
La derivada de una función f de un argumento x a veces se da como cualquiera de las siguientes:
El uso y la creación de la notación D se atribuye a Oliver Heaviside , quien consideró operadores diferenciales de la forma
En la escritura, siguiendo la convención matemática común, el argumento de un operador diferencial se coloca generalmente en el lado derecho del operador mismo. A veces se utiliza una notación alternativa: el resultado de aplicar el operador a la función en el lado izquierdo del operador y en el lado derecho del operador, y la diferencia obtenida al aplicar el operador diferencial a las funciones en ambos lados, se denotan con flechas de la siguiente manera:
Esta notación de flecha bidireccional se utiliza con frecuencia para describir la corriente de probabilidad de la mecánica cuántica.
Adjunto de un operador
Dado un operador diferencial lineal,
el adjunto de este operador se define como el operador tal que donde se utiliza
la notación para el producto escalar o el producto interno . Por lo tanto, esta definición depende de la definición del producto escalar (o producto interno).
donde la línea sobre f ( x ) denota el complejo conjugado de f ( x ). Si además se añade la condición de que f o g se anulan cuando y , también se puede definir el adjunto de T por
Esta fórmula no depende explícitamente de la definición del producto escalar. Por lo tanto , a veces se la elige como definición del operador adjunto. Cuando se define según esta fórmula, se denomina adjunto formal de T.
Si Ω es un dominio en R n , y P un operador diferencial en Ω, entonces el adjunto de P se define en L 2 (Ω) por dualidad de manera análoga:
para todas las funciones suaves L 2 f , g . Dado que las funciones suaves son densas en L 2 , esto define el adjunto en un subconjunto denso de L 2 : P * es un operador definido densamente .
Ejemplo
El operador de Sturm-Liouville es un ejemplo bien conocido de un operador autoadjunto formal. Este operador diferencial lineal de segundo orden L se puede escribir en la forma
Esta propiedad se puede demostrar utilizando la definición formal adjunta anterior. [5]
Cualquier polinomio en D con coeficientes de función también es un operador diferencial. También podemos componer operadores diferenciales mediante la regla
Por lo tanto, es necesario tener cuidado: en primer lugar, los coeficientes de cualquier función en el operador D 2 deben ser diferenciables tantas veces como lo requiera la aplicación de D 1. Para obtener un anillo de tales operadores, debemos suponer derivadas de todos los órdenes de los coeficientes utilizados. En segundo lugar, este anillo no será conmutativo : un operador gD no es lo mismo en general que Dg . Por ejemplo, tenemos la relación básica en mecánica cuántica :
El subanillo de operadores que son polinomios en D con coeficientes constantes es, por el contrario, conmutativo. Puede caracterizarse de otra manera: está formado por operadores invariantes en la traslación.
Anillo de operadores diferenciales polinomiales univariados
Si R es un anillo, sea el anillo polinomial no conmutativo sobre R en las variables D y X , e I el ideal bilateral generado por DX − XD − 1. Entonces el anillo de operadores diferenciales polinomiales univariados sobre R es el anillo cociente . Este es un anillo simple no conmutativo . Cada elemento puede escribirse de forma única como una combinación R -lineal de monomios de la forma . Admite un análogo de la división euclidiana de polinomios .
Los módulos diferenciales [ aclaración necesaria ] sobre (para la derivación estándar) se pueden identificar con módulos sobre .
Anillo de operadores diferenciales polinomiales multivariados
Si R es un anillo, sea el anillo polinomial no conmutativo sobre R en las variables , e I el ideal bilateral generado por los elementos
para todos donde es delta de Kronecker . Entonces el anillo de operadores diferenciales polinomiales multivariados sobre R es el anillo del cociente .
Se trata de un anillo simple no conmutativo . Cada elemento puede escribirse de forma única como una combinación R -lineal de monomios de la forma .
donde j k : Γ( E ) → Γ( J k ( E )) es la prolongación que asocia a cualquier sección de E su k -jet .
Esto simplemente significa que para una sección dada s de E , el valor de P ( s ) en un punto x ∈ M está completamente determinado por el comportamiento infinitesimal de orden k de s en x . En particular, esto implica que P ( s )( x ) está determinado por el germen de s en x , lo que se expresa diciendo que los operadores diferenciales son locales. Un resultado fundamental es el teorema de Peetre que muestra que el recíproco también es cierto: cualquier operador local (lineal) es diferencial.
Relación con el álgebra conmutativa
Una descripción equivalente, pero puramente algebraica, de los operadores diferenciales lineales es la siguiente: una función R -lineal P es un operador diferencial lineal de orden k , si para cualesquiera k + 1 funciones suaves tenemos
Aquí el soporte se define como el conmutador.
Esta caracterización de los operadores diferenciales lineales muestra que son aplicaciones particulares entre módulos sobre un álgebra conmutativa , lo que permite ver el concepto como parte del álgebra conmutativa .
Variantes
Un operador diferencial de orden infinito
Un operador diferencial de orden infinito es (aproximadamente) un operador diferencial cuyo símbolo total es una serie de potencias en lugar de un polinomio.
Operador bidiferencial
Un operador diferencial que actúa sobre dos funciones se denomina operador bidiferencial . El concepto aparece, por ejemplo, en una estructura de álgebra asociativa sobre una cuantificación de deformación de un álgebra de Poisson. [6]
Operador microdiferencial
Un operador microdiferencial es un tipo de operador sobre un subconjunto abierto de un fibrado cotangente, a diferencia de un subconjunto abierto de una variedad. Se obtiene extendiendo la noción de operador diferencial al fibrado cotangente. [7]
^ James Gasser (editor), Una antología de Boole: estudios recientes y clásicos sobre la lógica de George Boole (2000), pág. 169; Google Books.
^ EW Weisstein. "Operador Theta" . Consultado el 12 de junio de 2009 .
^
^ Omori, Hideki; Maeda, Y.; Yoshioka, A. (1992). "Cuantización de deformación de álgebras de Poisson". Actas de la Academia Japonesa, Serie A, Ciencias Matemáticas . 68 (5). doi : 10.3792/PJAA.68.97 . S2CID 119540529.
^ Schapira 1985, § 1.2. § 1.3.
Referencias
Freed, Daniel S. (1987), Geometría de los operadores de Dirac , pág. 8, CiteSeerX 10.1.1.186.8445
Hörmander, L. (1983), El análisis de operadores diferenciales parciales lineales I , Grundl. Matemáticas. Wissenschaft., vol. 256, Springer, doi :10.1007/978-3-642-96750-4, ISBN 3-540-12104-8, Sr. 0717035.
Schapira, Pierre (1985). Sistemas microdiferenciales en el dominio complejo. Grundlehren der mathematischen Wissenschaften. vol. 269. Saltador. doi :10.1007/978-3-642-61665-5. ISBN 978-3-642-64904-2.
Wells, RO (1973), Análisis diferencial en variedades complejas , Springer-Verlag, ISBN 0-387-90419-0.
Lectura adicional
Fedosov, Boris; Schulze, Bert-Wolfgang; Tarkhanov, Nikolai (2002). "Fórmulas de índice analítico para operadores de esquina elípticos". Annales de l'Institut Fourier . 52 (3): 899–982. doi : 10.5802/aif.1906 . ISSN 1777-5310.