Operador delta

En matemáticas , un operador delta es un operador lineal equivalente a un desplazamiento en el espacio vectorial de polinomios en una variable sobre un cuerpo que reduce los grados en uno. ${\displaystyle Q\colon \mathbb {K} [x]\longrightarrow \mathbb {K} [x]}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \mathbb {K} }$

Decir que es equivalente al cambio significa que si , entonces ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle g(x)=f(x+a)}$

${\displaystyle {(Qg)(x)=(Qf)(x+a)}.\,}$

En otras palabras, si es un "desplazamiento" de , entonces es también un desplazamiento de , y tiene el mismo "vector de desplazamiento" . ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle Qf}$ ${\displaystyle Qg}$ ${\displaystyle a}$

Decir que un operador reduce el grado en uno significa que si es un polinomio de grado , entonces es un polinomio de grado , o, en el caso de , es 0. ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle Qf}$ ${\displaystyle n-1}$ ${\displaystyle n=0}$ ${\displaystyle Qf}$

A veces, un operador delta se define como una transformación lineal equivalente al desplazamiento en polinomios que se asigna a una constante distinta de cero. Esta última caracterización, que parece más débil que la definición dada anteriormente, puede demostrarse como equivalente a la definición establecida cuando tiene característica cero, ya que la equivariancia por desplazamiento es una condición bastante fuerte. ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \mathbb {K} }$

Ejemplos

• El operador de diferencia hacia adelante

${\displaystyle (\Delta f)(x)=f(x+1)-f(x)\,}$

es un operador delta.

• La diferenciación con respecto a x , escrita como D , también es un operador delta.
• Cualquier operador de la forma

${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }c_{k}D^{k}}$

(donde D ⁿ (ƒ) = ƒ ^{( n )} es la derivada n ^ésima ) con es un operador delta. Se puede demostrar que todos los operadores delta se pueden escribir en esta forma. Por ejemplo, el operador de diferencia dado anteriormente se puede expandir como ${\displaystyle c_{1}\neq 0}$

${\displaystyle \Delta =e^{D}-1=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {D^{k}}{k!}}.}$

• La derivada generalizada del cálculo de escala de tiempo que unifica el operador de diferencia hacia adelante con la derivada del cálculo estándar es un operador delta.
• En informática y cibernética , el término "operador delta de tiempo discreto" (δ) generalmente se utiliza para referirse a un operador de diferencia.

${\displaystyle {(\delta f)(x)={{f(x+\Delta t)-f(x)} \over {\Delta t}}},}$

La aproximación de Euler de la derivada habitual con un tiempo de muestreo discreto . La formulación delta obtiene un número significativo de ventajas numéricas en comparación con el operador de desplazamiento en muestreos rápidos. ${\displaystyle \Delta t}$

Polinomios básicos

Cada operador delta tiene una secuencia única de "polinomios básicos", una secuencia polinomial definida por tres condiciones: ${\displaystyle Q}$

• ${\displaystyle p_{0}(x)=1;}$
• ${\displaystyle p_{n}(0)=0;}$
• ${\displaystyle (Qp_{n})(x)=np_{n-1}(x){\text{ for all }}n\in \mathbb {N} .}$

Una secuencia de polinomios básicos de este tipo es siempre de tipo binomial y se puede demostrar que no existen otras secuencias de tipo binomial. Si se omiten las dos primeras condiciones anteriores, la tercera condición dice que esta secuencia de polinomios es una secuencia de Sheffer , un concepto más general.

Véase también

• Derivado de Pincherle
• Operador de turno
• Cálculo umbral

Referencias

• Nikol'Skii, Nikolai Kapitonovich (1986), Tratado sobre el operador de desplazamiento: teoría de funciones espectrales , Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-15021-5

Enlaces externos

• Weisstein, Eric W. "Operador delta". MathWorld .