Teoría de Sturm-Liouville

Teoría matemática

En matemáticas y sus aplicaciones, un problema de Sturm-Liouville es una ecuación diferencial ordinaria lineal de segundo orden de la forma:

$${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\!\!\left[\,p(x){\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}\right]+q(x)y=-\lambda \,w(x)y,}$$

condiciones de contorno ${\displaystyle p(x)}$ ${\displaystyle q(x)}$ ${\displaystyle w(x)}$ ${\displaystyle x}$

• Encontrar el λ para el cual existe una solución no trivial al problema. Estos valores λ se denominan valores propios del problema.
• Para cada valor propio λ , encontrar la solución correspondiente al problema. Estas funciones se denominan funciones propias asociadas a cada λ . ${\displaystyle y=y(x)}$ ${\displaystyle y}$

La teoría de Sturm-Liouville es el estudio general de los problemas de Sturm-Liouville. En particular, para un problema de Sturm-Liouville "normal", se puede demostrar que hay un número infinito de valores propios, cada uno con una función propia única, y que estas funciones propias forman una base ortonormal de un determinado espacio de funciones de Hilbert.

Esta teoría es importante en matemáticas aplicadas , donde los problemas de Sturm-Liouville ocurren con mucha frecuencia, particularmente cuando se trata de ecuaciones diferenciales parciales lineales separables . Por ejemplo, en mecánica cuántica , la ecuación de Schrödinger unidimensional independiente del tiempo es un problema de Sturm-Liouville.

La teoría de Sturm-Liouville lleva el nombre de Jacques Charles François Sturm (1803–1855) y Joseph Liouville (1809–1882), quienes desarrollaron la teoría.

Resultados principales

Los principales resultados de la teoría de Sturm-Liouville se aplican a un problema de Sturm-Liouville.

en un intervalo finito que es "regular". Se dice que el problema es regular si: ${\displaystyle [a,b]}$

• las funciones de coeficientes y la derivada son todas continuas ; ${\displaystyle p,q,w}$ ${\displaystyle p'}$ ${\displaystyle [a,b]}$
• ${\displaystyle p(x)>0}$y para todos ; ${\displaystyle w(x)>0}$ ${\displaystyle x\in [a,b]}$
• el problema tiene condiciones de contorno separadas de la forma:

La función , a veces denominada , se llama función de peso o densidad . ${\displaystyle w=w(x)}$ ${\displaystyle r=r(x)}$

Los objetivos de un problema de Sturm-Liouville son:

• encontrar los valores propios: aquellos λ para los cuales existe una solución no trivial ;
• para cada valor propio λ , para encontrar la función propia correspondiente . ${\displaystyle y=y(x)}$

Para un problema regular de Sturm-Liouville, una función se denomina solución si es continuamente diferenciable y satisface la ecuación ( 1 ) en cada . En el caso de soluciones más generales , las soluciones deben entenderse en un sentido débil . ${\displaystyle y=y(x)}$ ${\displaystyle x\in (a,b)}$ ${\displaystyle p,q,w}$

Los términos valor propio y vector propio se utilizan porque las soluciones corresponden a los valores propios y funciones propias de un operador diferencial hermitiano en un espacio de funciones de Hilbert apropiado con producto interno definido utilizando la función de peso. La teoría de Sturm-Liouville estudia la existencia y el comportamiento asintótico de los valores propios, la correspondiente teoría cualitativa de las funciones propias y su completitud en el espacio funcional.

El principal resultado de la teoría de Sturm-Liouville establece que, para cualquier problema regular de Sturm-Liouville:

• Los valores propios son reales y pueden numerarse de modo que ${\displaystyle \lambda _{1},\lambda _{2},\dots }$ ${\displaystyle \lambda _{1}<\lambda _{2}<\cdots <\lambda _{n}<\cdots \to \infty ;}$
• A cada valor propio le corresponde una función propia única (hasta múltiplo constante) con exactamente ceros en , llamada la enésima solución fundamental . ${\displaystyle \lambda _{n}}$ ${\displaystyle y_{n}=y_{n}(x)}$ ${\displaystyle n-1}$ ${\displaystyle [a,b]}$
• Las funciones propias normalizadas forman una base ortonormal bajo el producto interno ponderado w en el espacio de Hilbert ; eso es, ${\displaystyle y_{n}}$ ${\displaystyle L^{2}([a,b],w(x)\,\mathrm {d} x)}$
  $${\displaystyle \langle y_{n},y_{m}\rangle =\int _{a}^{b}y_{n}(x)y_{m}(x)w(x)\,\mathrm {d} x=\delta _{nm},}$$
  ¿Dónde está el delta del Kronecker ? ${\displaystyle \delta _{nm}}$

Reducción a la forma Sturm-Liouville

Se dice que la ecuación diferencial ( 1 ) está en forma de Sturm-Liouville o forma autoadjunta . Todas las ecuaciones diferenciales ordinarias homogéneas lineales de segundo orden se pueden reformular en la forma del lado izquierdo de ( 1 ) multiplicando ambos lados de la ecuación por un factor integrante apropiado (aunque no ocurre lo mismo con las ecuaciones diferenciales parciales de segundo orden). ecuaciones , o si y es un vector ). Algunos ejemplos se encuentran a continuación.

Ecuación de Bessel

$${\displaystyle x^{2}y''+xy'+\left(x^{2}-\nu ^{2}\right)y=0}$$

x

$${\displaystyle \left(xy'\right)'+\left(x-{\frac {\nu ^{2}}{x}}\right)y=0.}$$

ecuación de legendre

$${\displaystyle \left(1-x^{2}\right)y''-2xy'+\nu (\nu +1)y=0}$$

d/dx(1 − x ² ) = −2 x

$${\displaystyle \left(\left(1-x^{2}\right)y'\right)'+\nu (\nu +1)y=0}$$

Ejemplo usando un factor integrante

$${\displaystyle x^{3}y''-xy'+2y=0}$$

Dividir por x ³ :

$${\displaystyle y''-{\frac {1}{x^{2}}}y'+{\frac {2}{x^{3}}}y=0}$$

Multiplicando por un factor integrante de

$${\displaystyle \mu (x)=\exp \left(\int -{\frac {dx}{x^{2}}}\right)=e^{{1}/{x}},}$$

$${\displaystyle e^{{1}/{x}}y''-{\frac {e^{{1}/{x}}}{x^{2}}}y'+{\frac {2e^{{1}/{x}}}{x^{3}}}y=0}$$

$${\displaystyle {\frac {d}{dx}}e^{{1}/{x}}=-{\frac {e^{{1}/{x}}}{x^{2}}}}$$

$${\displaystyle \left(e^{{1}/{x}}y'\right)'+{\frac {2e^{{1}/{x}}}{x^{3}}}y=0.}$$

Factor integrante para ecuación homogénea general de segundo orden

$${\displaystyle P(x)y''+Q(x)y'+R(x)y=0}$$

Multiplicando por el factor integrante

$${\displaystyle \mu (x)={\frac {1}{P(x)}}\exp \left(\int {\frac {Q(x)}{P(x)}}\,dx\right),}$$

$${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left(\mu (x)P(x)y'\right)+\mu (x)R(x)y=0,}$$

$${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left(\exp \left(\int {\frac {Q(x)}{P(x)}}\,dx\right)y'\right)+{\frac {R(x)}{P(x)}}\exp \left(\int {\frac {Q(x)}{P(x)}}\,dx\right)y=0.}$$

Ecuaciones de Sturm-Liouville como operadores diferenciales autoadjuntos

El mapeo definido por:

$${\displaystyle Lu=-{\frac {1}{w(x)}}\left({\frac {d}{dx}}\left[p(x)\,{\frac {du}{dx}}\right]+q(x)u\right)}$$

operador lineal LuLuanálisis funcional1

$${\displaystyle Lu=\lambda u.}$$

Éste es precisamente el problema de los valores propios ; es decir, se buscan valores propios λ ₁ , λ ₂ , λ ₃ ,... y los correspondientes vectores propios u ₁ , u ₂ , u ₃ ,... del operador L. El escenario adecuado para este problema es el espacio de Hilbert con producto escalar ${\displaystyle L^{2}([a,b],w(x)\,dx)}$

$${\displaystyle \langle f,g\rangle =\int _{a}^{b}{\overline {f(x)}}g(x)w(x)\,dx.}$$

En este espacio, L se define en funciones suficientemente suaves que satisfacen las condiciones de contorno regulares anteriores. Además, L es un operador autoadjunto :

$${\displaystyle \langle Lf,g\rangle =\langle f,Lg\rangle .}$$

Esto se puede ver formalmente usando la integración por partes dos veces, donde los términos de frontera desaparecen en virtud de las condiciones de frontera. De ello se deduce que los valores propios de un operador de Sturm-Liouville son reales y que las funciones propias de L correspondientes a diferentes valores propios son ortogonales. Sin embargo, este operador es ilimitado y, por tanto, no es evidente la existencia de una base ortonormal de funciones propias. Para superar este problema, uno mira el resolutivo

$${\displaystyle \left(L-z\right)^{-1},\qquad z\in \mathbb {R} ,}$$

zde variación de parámetrosoperador integralfunción de Greenteorema de Arzelà-Ascoliα _nteorema espectral para operadores compactos

$${\displaystyle \left(L-z\right)^{-1}u=\alpha u,\qquad Lu=\left(z+\alpha ^{-1}\right)u,}$$

${\displaystyle \lambda =z+\alpha ^{-1}}$

Si el intervalo es ilimitado, o si los coeficientes tienen singularidades en los puntos límite, se llama L singular. En este caso, el espectro ya no consta únicamente de valores propios y puede contener un componente continuo. Todavía hay una expansión de función propia asociada (similar a la serie de Fourier versus la transformada de Fourier). Esto es importante en mecánica cuántica , ya que la ecuación de Schrödinger unidimensional independiente del tiempo es un caso especial de una ecuación de Sturm-Liouville.

Aplicación a problemas de valores en la frontera de segundo orden no homogéneos

Considere una ecuación diferencial lineal general no homogénea de segundo orden.

$${\displaystyle P(x)y''+Q(x)y'+R(x)y=f(x)}$$

${\displaystyle P(x),Q(x),R(x),f(x)}$ ${\displaystyle Ly=f}$

$${\displaystyle Lu={\frac {p}{w(x)}}u''+{\frac {p'}{w(x)}}u'+{\frac {q}{w(x)}}u,}$$

$${\displaystyle p=Pw,\quad p'=Qw,\quad q=Rw.}$$

Basta resolver las dos primeras ecuaciones, lo que equivale a resolver ( Pw )′ = Qw , o

$${\displaystyle w'={\frac {Q-P'}{P}}w:=\alpha w.}$$

Una solución es:

$${\displaystyle w=\exp \left(\int \alpha \,dx\right),\quad p=P\exp \left(\int \alpha \,dx\right),\quad q=R\exp \left(\int \alpha \,dx\right).}$$

Dada esta transformación, queda por resolver:

$${\displaystyle Ly=f.}$$

En general, si se especifican las condiciones iniciales en algún punto, por ejemplo y ( a ) = 0 e y ′ ( a ) = 0 , se puede resolver una ecuación diferencial de segundo orden utilizando métodos ordinarios y el teorema de Picard-Lindelöf asegura que la ecuación diferencial La ecuación tiene una solución única en una vecindad del punto donde se han especificado las condiciones iniciales.

Pero si en lugar de especificar valores iniciales en un solo punto , se desea especificar valores en dos puntos diferentes (los llamados valores límite), por ejemplo, y ( a ) = 0 e y ( b ) = 1 , el problema resulta ser mucho más difícil. Observe que al agregar una función diferenciable conocida adecuada a y , cuyos valores en a y b satisfacen las condiciones de contorno deseadas, e inyectarla dentro de la ecuación diferencial propuesta, se puede asumir sin pérdida de generalidad que las condiciones de contorno son de la forma y ( a ) = 0 y y ( b ) = 0 .

Aquí entra en juego la teoría de Sturm-Liouville: de hecho, una gran clase de funciones f pueden expandirse en términos de una serie de funciones propias ortonormales u _i del operador de Liouville asociado con sus correspondientes valores propios λ _i :

$${\displaystyle f(x)=\sum _{i}\alpha _{i}u_{i}(x),\quad \alpha _{i}\in {\mathbb {R} }.}$$

Entonces una solución a la ecuación propuesta es evidentemente:

$${\displaystyle y=\sum _{i}{\frac {\alpha _{i}}{\lambda _{i}}}u_{i}.}$$

Esta solución será válida sólo en el intervalo abierto a < x < b y puede fallar en los límites.

Ejemplo: serie de Fourier

Consideremos el problema de Sturm-Liouville:

porque las incógnitas son λ y u ( x ) . Para las condiciones de contorno, tomamos por ejemplo:

$${\displaystyle u(0)=u(\pi )=0.}$$

Observe que si k es cualquier número entero, entonces la función

$${\displaystyle u_{k}(x)=\sin kx}$$

λ = k ²base ortogonalseries de Fourier

Dado lo anterior, resolvamos ahora el problema no homogéneo

$${\displaystyle Ly=x,\qquad x\in (0,\pi )}$$

f ( x ) = x∫ e ^ikx x dx ${\displaystyle y(0)=y(\pi )=0}$

$${\displaystyle Ly=\sum _{k=1}^{\infty }-2{\frac {\left(-1\right)^{k}}{k}}\sin kx.}$$

Esta serie de Fourier en particular es problemática debido a sus pobres propiedades de convergencia. No está claro a priori si la serie converge puntualmente. Debido al análisis de Fourier, dado que los coeficientes de Fourier son " sumables al cuadrado ", la serie de Fourier converge en L ² , que es todo lo que necesitamos para que funcione esta teoría particular. Mencionamos para el lector interesado que en este caso podemos confiar en un resultado que dice que las series de Fourier convergen en cada punto de diferenciabilidad, y en los puntos de salto (la función x , considerada como función periódica, tiene un salto en  π ) converge al promedio de los límites izquierdo y derecho (ver convergencia de series de Fourier ).

Por tanto, utilizando la fórmula ( 4 ), obtenemos la solución:

$${\displaystyle y=\sum _{k=1}^{\infty }2{\frac {(-1)^{k}}{k^{3}}}\sin kx={\tfrac {1}{6}}(x^{3}-\pi ^{2}x).}$$

En este caso, podríamos haber encontrado la respuesta usando antidiferenciación , pero esto ya no es útil en la mayoría de los casos cuando la ecuación diferencial está en muchas variables.

Aplicación a ecuaciones diferenciales parciales.

Modos normales

Ciertas ecuaciones diferenciales parciales se pueden resolver con la ayuda de la teoría de Sturm-Liouville. Supongamos que estamos interesados ​​en los modos vibratorios de una membrana delgada, sostenida en un marco rectangular, 0 ≤ x ≤ L ₁ , 0 ≤ y ≤ L ₂ . La ecuación de movimiento para el desplazamiento vertical de la membrana, W ( x , y , t ) viene dada por la ecuación de onda :

$${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}W}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}W}{\partial y^{2}}}={\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}W}{\partial t^{2}}}.}$$

El método de separación de variables sugiere buscar primero soluciones de la forma simple W = X ( x ) × Y ( y ) × T ( t ) . Para tal función W, la ecuación diferencial parcial se convierte enX "/X+Y ″/Y=1/c ² T ″/t. Dado que los tres términos de esta ecuación son funciones de x , y , t por separado, deben ser constantes. Por ejemplo, el primer término da X ″ = λX para una constante  λ . Las condiciones de contorno ("mantenidas en un marco rectangular") son W = 0 cuando x = 0 , L ₁ o y = 0 , L ₂ y definen los problemas de valores propios de Sturm-Liouville más simples posibles como en el ejemplo, lo que produce el "modo normal". soluciones" para W con dependencia armónica del tiempo,

$${\displaystyle W_{mn}(x,y,t)=A_{mn}\sin \left({\frac {m\pi x}{L_{1}}}\right)\sin \left({\frac {n\pi y}{L_{2}}}\right)\cos \left(\omega _{mn}t\right)}$$

mn son números enterosA _mn

$${\displaystyle \omega _{mn}^{2}=c^{2}\left({\frac {m^{2}\pi ^{2}}{L_{1}^{2}}}+{\frac {n^{2}\pi ^{2}}{L_{2}^{2}}}\right).}$$

Las funciones W _mn forman una base para el espacio de Hilbert de soluciones (generalizadas) de la ecuación de onda; es decir, una solución arbitraria W se puede descomponer en una suma de estos modos, que vibran en sus frecuencias individuales ω _mn . Esta representación puede requerir una suma infinita convergente .

Ecuación lineal de segundo orden

Considere una ecuación diferencial lineal de segundo orden en una dimensión espacial y de primer orden en el tiempo de la forma:

$${\displaystyle f(x){\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}+g(x){\frac {\partial u}{\partial x}}+h(x)u={\frac {\partial u}{\partial t}}+k(t)u,}$$

$${\displaystyle u(a,t)=u(b,t)=0,\qquad u(x,0)=s(x).}$$

Separando variables, asumimos que

$${\displaystyle u(x,t)=X(x)T(t).}$$

$${\displaystyle {\frac {{\hat {L}}X(x)}{X(x)}}={\frac {{\hat {M}}T(t)}{T(t)}}}$$

$${\displaystyle {\hat {L}}=f(x){\frac {d^{2}}{dx^{2}}}+g(x){\frac {d}{dx}}+h(x),\qquad {\hat {M}}={\frac {d}{dt}}+k(t).}$$

Dado que, por definición, L̂ y X ( x ) son independientes del tiempo t y M̂ y T ( t ) son independientes de la posición x , entonces ambos lados de la ecuación anterior deben ser iguales a una constante:

$${\displaystyle {\hat {L}}X(x)=\lambda X(x),\qquad X(a)=X(b)=0,\qquad {\hat {M}}T(t)=\lambda T(t).}$$

La primera de estas ecuaciones debe resolverse como un problema de Sturm-Liouville en términos de las funciones propias X _n ( x ) y los valores propios λ _n . La segunda de estas ecuaciones se puede resolver analíticamente una vez que se conocen los valores propios.

$${\displaystyle {\frac {d}{dt}}T_{n}(t)={\bigl (}\lambda _{n}-k(t){\bigr )}T_{n}(t)}$$

$${\displaystyle T_{n}(t)=a_{n}\exp \left(\lambda _{n}t-\int _{0}^{t}k(\tau )\,d\tau \right)}$$

$${\displaystyle u(x,t)=\sum _{n}a_{n}X_{n}(x)\exp \left(\lambda _{n}t-\int _{0}^{t}k(\tau )\,d\tau \right)}$$

$${\displaystyle a_{n}={\frac {{\bigl \langle }X_{n}(x),s(x){\bigr \rangle }}{{\bigl \langle }X_{n}(x),X_{n}(x){\bigr \rangle }}}}$$

dónde

$${\displaystyle {\bigl \langle }y(x),z(x){\bigr \rangle }=\int _{a}^{b}y(x)z(x)w(x)\,dx,}$$

$${\displaystyle w(x)={\frac {\exp \left(\int {\frac {g(x)}{f(x)}}\,dx\right)}{f(x)}}.}$$

Representación de soluciones y cálculo numérico.

La ecuación diferencial de Sturm-Liouville ( 1 ) con condiciones de contorno puede resolverse analíticamente, que puede ser exacta o proporcionar una aproximación, mediante el método de Rayleigh-Ritz , o mediante el método variacional matricial de Gerck et al. ^{[1] [2] [3]}

Numéricamente, también están disponibles una variedad de métodos. En casos difíciles, es posible que sea necesario realizar cálculos intermedios con una precisión de varios cientos de decimales para obtener los valores propios correctamente con unos pocos decimales.

• Métodos de disparo ^{[4] [5]}
• método de diferencias finitas
• Método de series de potencias de parámetros espectrales ^[6]

Métodos de disparo

Los métodos de disparo proceden adivinando un valor de λ , resolviendo un problema de valor inicial definido por las condiciones de contorno en un punto final, digamos, a , del intervalo [ a , b ] , comparando el valor que toma esta solución en el otro punto final b con el otra condición de contorno deseada y, finalmente, aumentar o disminuir λ según sea necesario para corregir el valor original. Esta estrategia no es aplicable para localizar valores propios complejos. ^{[ se necesita aclaración ]}

Método de series de potencias de parámetros espectrales

El método de series de potencias de parámetros espectrales (SPPS) utiliza una generalización del siguiente hecho sobre ecuaciones diferenciales ordinarias lineales homogéneas de segundo orden: si y es una solución de la ecuación ( 1 ) que no desaparece en ningún punto de [ a , b ] , entonces la función

$${\displaystyle y(x)\int _{a}^{x}{\frac {dt}{p(t)y(t)^{2}}}}$$

yλ^∗
₀λ^∗
₀= 0y ₀1λ = λ^∗
₀[ a , b ]y ₀λ apropiados^∗
₀X ^{( n )} ( t )X̃ ^{( n )} ( t )[ a , b ]integrales iteradasn = 0[ a , b ]1/py²
₀wy²
₀n > 0

Las integrales iteradas resultantes ahora se aplican como coeficientes en las siguientes dos series de potencias en  λ :

$${\displaystyle u_{0}=y_{0}\sum _{k=0}^{\infty }\left(\lambda -\lambda _{0}^{*}\right)^{k}{\tilde {X}}^{(2k)},}$$

$${\displaystyle u_{1}=y_{0}\sum _{k=0}^{\infty }\left(\lambda -\lambda _{0}^{*}\right)^{k}X^{(2k+1)}.}$$

λu ₀u ₁1p ( x )q ( x )y _0.

A continuación se eligen los coeficientes c ₀ y c ₁ de modo que la combinación y = c ₀ u ₀ + c ₁ u ₁ satisfaga la primera condición de contorno ( 2 ). Esto es sencillo de hacer ya que X ^{( n )} ( a ) = 0 y X̃ ^{( n )} ( a ) = 0 , para n > 0 . Los valores de X ^{( n )} ( b ) y X̃ ^{( n )} ( b ) proporcionan los valores de u ₀ ( b ) y u ₁ ( b ) y las derivadas u ′ ₀ ( b ) y u ′ ₀ ( b ) , entonces la segunda condición de frontera ( 3 ) se convierte en una ecuación en una serie de potencias en  λ . Para trabajos numéricos, se puede truncar esta serie a un número finito de términos, produciendo un polinomio calculable en λ cuyas raíces son aproximaciones de los valores propios buscados.

Cuando λ = λ ₀ , esto se reduce a la construcción original descrita anteriormente para una solución linealmente independiente de una dada. Las representaciones ( 5 ) y ( 6 ) también tienen aplicaciones teóricas en la teoría de Sturm-Liouville. ^[6]

Construcción de una solución que no desaparece.

El método SPPS se puede utilizar en sí mismo para encontrar una solución inicial y ₀ . Considere la ecuación ( py ′)′ = μqy ; es decir, q , w y λ se reemplazan en ( 1 ) por 0, − q y μ respectivamente. Entonces la función constante 1 es una solución que no desaparece correspondiente al valor propio μ ₀ = 0 . Si bien no hay garantía de que u ₀ o u ₁ no desaparezcan, la función compleja y ₀ = u ₀ + iu ₁ nunca desaparecerá porque dos soluciones linealmente independientes de una ecuación regular de Sturm-Liouville no pueden desaparecer simultáneamente como consecuencia de la Teorema de separación de Sturm . Este truco da una solución y ₀ de ( 1 ) para el valor λ ₀ = 0 . En la práctica, si ( 1 ) tiene coeficientes reales, las soluciones basadas en y ₀ tendrán partes imaginarias muy pequeñas que deberán descartarse.

Ver también

• Modo normal
• Teoría de la oscilación
• Autoadjunto
• Variación de parámetros
• Teoría espectral de ecuaciones diferenciales ordinarias.
• Teorema de Atkinson-Mingarelli

Referencias

1. Ed Gerck, AB d'Oliveira, HF de Carvalho. "Bariones pesados ​​como estados ligados de tres quarks". Lettere al Nuovo Cimento 38(1):27–32, septiembre de 1983.
2. Augusto B. d'Oliveira, Ed Gerck, Jason AC Gallas. "Solución de la ecuación de Schrödinger para estados ligados en forma cerrada". Revisión física A , 26:1(1), junio de 1982.
3. Robert F. O'Connell, Jason AC Gallas, Ed Gerck. "Leyes de escala para átomos de Rydberg en campos magnéticos". Cartas de revisión física 50(5):324–327, enero de 1983.
4. Pryce, JD (1993). Solución numérica de problemas de Sturm-Liouville. Oxford: Prensa de Clarendon. ISBN 0-19-853415-9.
5. Ledoux, V.; Van Daele, M.; Berghe, G. Vanden (2009). "Cálculo eficiente de valores propios de Sturm-Liouville de alto índice para problemas de física". Computadora. Física. Comunitario . 180 (2): 532–554. arXiv : 0804.2605 . Código Bib : 2009CoPhC.180..241L. doi :10.1016/j.cpc.2008.10.001. S2CID  13955991.
6. Kravchenko, VV; Portero, RM (2010). "Serie de potencias de parámetros espectrales para problemas de Sturm-Liouville". Métodos Matemáticos en las Ciencias Aplicadas . 33 (4): 459–468. arXiv : 0811.4488 . Código Bib : 2010MMAS...33..459K. doi :10.1002/mma.1205. S2CID  17029224.

Otras lecturas

• "Teoría de Sturm-Liouville", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• Hartman, Philip (2002). Ecuaciones diferenciales ordinarias (2 ed.). Filadelfia: SIAM . ISBN 978-0-89871-510-1.
• Polyanin, AD y Zaitsev, VF (2003). Manual de soluciones exactas para ecuaciones diferenciales ordinarias (2 ed.). Boca Ratón: Chapman & Hall/CRC Press. ISBN 1-58488-297-2.
• Teschl, Gerald (2012). Ecuaciones diferenciales ordinarias y sistemas dinámicos. Providencia : Sociedad Matemática Estadounidense . ISBN 978-0-8218-8328-0.(Capítulo 5)
• Teschl, Gerald (2009). Métodos Matemáticos en Mecánica Cuántica; Con aplicaciones para operadores de Schrödinger. Providencia : Sociedad Matemática Estadounidense . ISBN 978-0-8218-4660-5.(Ver el Capítulo 9 para operadores singulares de Sturm-Liouville y conexiones con la mecánica cuántica)
• Zettl, Antón (2005). Teoría de Sturm-Liouville . Providencia : Sociedad Matemática Estadounidense . ISBN 0-8218-3905-5.
• Birkhoff, Garrett (1973). Un libro de consulta sobre análisis clásico . Cambridge, Massachusetts : Prensa de la Universidad de Harvard . ISBN 0-674-82245-5.(Véase el Capítulo 8, parte B, para extractos de las obras de Sturm y Liouville y comentarios sobre ellas).
• Kravchenko, Vladislav (2020). Problemas directos e inversos de Sturm-Liouville: un método de solución . Cham: Birkhäuser . ISBN 978-3-030-47848-3.