Si se piensa que una forma k diferencial mide el flujo a través de un paralelotopo k infinitesimal en cada punto de la variedad, entonces se puede pensar que su derivada exterior mide el flujo neto a través del límite de un paralelotopo ( k + 1) en cada punto.
Definición
La derivada exterior de una forma diferencial de grado k (también forma diferencial k , o simplemente forma k para abreviar) es una forma diferencial de grado k + 1 .
Si y son dos -formas (funciones), entonces a partir de la tercera propiedad para la cantidad , o simplemente , se recupera la conocida regla del producto . La tercera propiedad se puede generalizar, por ejemplo, si es una -forma, es una -forma y es una -forma, entonces
En términos de coordenadas locales
Alternativamente, se puede trabajar completamente en un sistema de coordenadas local ( x 1 , ..., x n ) . Las diferenciales de coordenadas dx 1 , ..., dx n forman una base del espacio de formas unitarias, cada una asociada con una coordenada. Dado un multiíndice I = ( i 1 , ..., i k ) con 1 ≤ i p ≤ n para 1 ≤ p ≤ k (y denotando dx i 1 ∧ ... ∧ dx i k con dx I ), la derivada exterior de una forma k (simple)
sobre ℝ n se define como
(utilizando la convención de suma de Einstein ). La definición de la derivada exterior se extiende linealmente a una forma k general (que se puede expresar como una combinación lineal de formas simples básicas )
donde cada uno de los componentes del multiíndice I se ejecuta sobre todos los valores en {1, ..., n } . Nótese que siempre que j es igual a uno de los componentes del multiíndice I entonces dx j ∧ dx I = 0 (ver Producto exterior ).
La definición de la derivada exterior en coordenadas locales se desprende de la definición anterior en términos de axiomas. En efecto, con la forma k φ como se definió anteriormente,
Aquí, hemos interpretado g como una forma 0 y luego hemos aplicado las propiedades de la derivada exterior.
Este resultado se extiende directamente a la forma k general ω como
En particular, para una forma 1 ω , los componentes de dω en coordenadas locales son
Precaución : Existen dos convenciones con respecto al significado de . La mayoría de los autores actuales [ cita requerida ] tienen la convención de que
mientras que en textos más antiguos como Kobayashi y Nomizu o Helgason
En términos de fórmula invariante
Como alternativa, se puede dar una fórmula explícita [1] para la derivada exterior de una forma k ω , cuando se combina con k + 1 campos vectoriales arbitrarios suaves V 0 , V 1 , ..., V k :
donde [ V i , V j ] denota el corchete de Lie y un sombrero denota la omisión de ese elemento:
En particular, cuando ω es una forma 1 tenemos que dω ( X , Y ) = d X ( ω ( Y )) − d Y ( ω ( X )) − ω ([ X , Y ]) .
Nota: Con las convenciones de, por ejemplo, Kobayashi-Nomizu y Helgason, la fórmula difiere en un factor de 1/k +1:
Ejemplos
Ejemplo 1. Consideremos σ = u dx 1 ∧ dx 2 sobre una base de 1 -forma dx 1 , ..., dx n para un campo escalar u . La derivada externa es:
La última fórmula, donde la suma comienza en i = 3 , se deduce fácilmente de las propiedades del producto exterior , es decir, dx i ∧ dx i = 0 .
Ejemplo 2. Sea σ = u dx + v dy una forma 1 definida sobre ℝ 2 . Aplicando la fórmula anterior a cada término (considere x 1 = x y x 2 = y ) tenemos la suma
Teorema de Stokes sobre variedades
Si M es una variedad n -dimensional compacta, orientable y suave con borde, y ω es una forma ( n − 1) en M , entonces la forma generalizada del teorema de Stokes establece que
Intuitivamente, si uno piensa que M está dividido en regiones infinitesimales y se suma el flujo a través de los límites de todas las regiones, todos los límites interiores se cancelan, quedando el flujo total a través del límite de M.
Otras propiedades
Formas cerradas y exactas
Una forma k ω se llama cerrada si dω = 0 ; las formas cerradas son el núcleo de d . ω se llama exacta si ω = dα para alguna ( k − 1) -forma α ; las formas exactas son la imagen de d . Como d 2 = 0 , toda forma exacta es cerrada. El lema de Poincaré establece que en una región contráctil, lo inverso es cierto.
Cohomología de De Rham
Como la derivada exterior d tiene la propiedad de que d 2 = 0 , puede usarse como diferencial (colímite) para definir la cohomología de De Rham en una variedad. La k -ésima cohomología de De Rham (grupo) es el espacio vectorial de las k -formas cerradas módulo las k -formas exactas; como se señaló en la sección anterior, el lema de Poincaré establece que estos espacios vectoriales son triviales para una región contráctil, para k > 0 . Para variedades suaves , la integración de formas da un homomorfismo natural de la cohomología de De Rham a la cohomología singular sobre ℝ . El teorema de De Rham muestra que esta función es en realidad un isomorfismo, una generalización de largo alcance del lema de Poincaré. Como lo sugiere el teorema de Stokes generalizado, la derivada exterior es el "dual" de la función límite en símplices singulares.
Naturalidad
La derivada exterior es natural en el sentido técnico: si f : M → N es una función suave y Ω k es el funtor suave contravariante que asigna a cada variedad el espacio de k -formas en la variedad, entonces el siguiente diagrama conmuta
entonces d ( f ∗ ω ) = f ∗ dω , donde f ∗ denota el retroceso de f . Esto se deduce de que f ∗ ω (·) , por definición, es ω ( f ∗ (·)) , siendo f ∗ el avance de f . Por lo tanto, d es una transformación natural de Ω k a Ω k +1 .
Derivada exterior en cálculo vectorial
La mayoría de los operadores de cálculo vectorial son casos especiales o tienen relaciones estrechas con la noción de diferenciación exterior.
Gradiente
Una función suave f : M → ℝ en una variedad diferenciable real M es una forma 0. La derivada exterior de esta forma 0 es la forma 1 df .
Cuando se define un producto interno ⟨·,·⟩ , el gradiente ∇ f de una función f se define como el único vector en V tal que su producto interno con cualquier elemento de V es la derivada direccional de f a lo largo del vector, es decir tal que
Eso es,
donde ♯ denota el isomorfismo musical ♯ : V ∗ → V mencionado anteriormente que es inducido por el producto interno.
La forma 1 df es una sección del fibrado cotangente , que da una aproximación lineal local a f en el espacio cotangente en cada punto.
Divergencia
Un campo vectorial V = ( v 1 , v 2 , ..., v n ) en ℝ n tiene una forma ( n − 1) correspondiente
donde denota la omisión de ese elemento.
(Por ejemplo, cuando n = 3 , es decir, en el espacio tridimensional, la forma 2 ω V es localmente el triple producto escalar con V ). La integral de ω V sobre una hipersuperficie es el flujo de V sobre esa hipersuperficie.
La derivada exterior de esta ( n − 1) -forma es la n -forma
Rizo
Un campo vectorial V en ℝ n también tiene una forma 1 correspondiente
Localmente, η V es el producto escalar con V . La integral de η V a lo largo de una trayectoria es el trabajo realizado contra − V a lo largo de esa trayectoria.
Cuando n = 3 , en el espacio tridimensional, la derivada exterior de la forma 1 η V es la forma 2
Formulaciones invariantes de operadores en cálculo vectorial
Nótese que la expresión para el rizo requiere que ♯ actúe sobre ⋆ d ( F ♭ ) , que es una forma de grado n − 2 . Una generalización natural de ♯ a k -formas de grado arbitrario permite que esta expresión tenga sentido para cualquier n .
Cartan, Élie (1899). "Sur surees expresiones différentielles et le problème de Pfaff". Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure . Serie 3 (en francés). 16 . París: Gauthier-Villars: 239–332. doi : 10.24033/asens.467 . ISSN 0012-9593. JFM 30.0313.04 . Consultado el 2 de febrero de 2016 .
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Enlaces externos
Archivado en Ghostarchive y Wayback Machine: “La derivada no es lo que crees que es”. Aleph Zero . 3 de noviembre de 2020 – vía YouTube .