Teorema de cambio

En matemáticas , el teorema de desplazamiento (exponencial) es un teorema sobre operadores diferenciales polinomiales ( operadores D ) y funciones exponenciales . Permite eliminar, en ciertos casos, el exponencial de debajo de los operadores D.

Declaración

El teorema establece que, si P ( D ) es un polinomio del operador D , entonces, para cualquier función y suficientemente diferenciable ,

${\displaystyle P(D)(e^{ax}y)\equiv e^{ax}P(D+a)y.}$

Para probar el resultado se procede por inducción . Tenga en cuenta que sólo el caso especial

${\displaystyle P(D)=D^{n}}$

Es necesario demostrarlo, ya que el resultado general se sigue por la linealidad de D -operadores.

El resultado es claramente cierto para n = 1 ya que

${\displaystyle D(e^{ax}y)=e^{ax}(D+a)y.}$

Ahora supongamos que el resultado es verdadero para n  =  k , es decir,

${\displaystyle D^{k}(e^{ax}y)=e^{ax}(D+a)^{k}y.}$

Entonces,

${\displaystyle {\begin{aligned}D^{k+1}(e^{ax}y)&\equiv {\frac {d}{dx}}\left\{e^{ax}\left(D+a\right)^{k}y\right\}\\&{}=e^{ax}{\frac {d}{dx}}\left\{\left(D+a\right)^{k}y\right\}+ae^{ax}\left\{\left(D+a\right)^{k}y\right\}\\&{}=e^{ax}\left\{\left({\frac {d}{dx}}+a\right)\left(D+a\right)^{k}y\right\}\\&{}=e^{ax}(D+a)^{k+1}y.\end{aligned}}}$

Esto completa la prueba.

El teorema de desplazamiento se puede aplicar igualmente bien a operadores inversos:

${\displaystyle {\frac {1}{P(D)}}(e^{ax}y)=e^{ax}{\frac {1}{P(D+a)}}y.}$

Relacionado

Existe una versión similar del teorema de desplazamiento para las transformadas de Laplace ( ): ${\displaystyle t<a}$

${\displaystyle e^{-as}{\mathcal {L}}\{f(t)\}={\mathcal {L}}\{f(t-a)\}.}$

Ejemplos

El teorema de desplazamiento exponencial se puede utilizar para acelerar el cálculo de derivadas superiores de funciones que viene dada por el producto de una función exponencial y otra. Por ejemplo, si uno tiene eso ${\displaystyle f(x)=\sin(x)e^{x}}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}D^{3}f&=D^{3}(e^{x}\sin(x))=e^{x}(D+1)^{3}\sin(x)\\&=e^{x}\left(D^{3}+3D^{2}+3D+1\right)\sin(x)\\&=e^{x}\left(-\cos(x)-3\sin(x)+3\cos(x)+\sin(x)\right)\end{aligned}}}$$

Otra aplicación del teorema del desplazamiento exponencial es resolver ecuaciones diferenciales lineales cuyo polinomio característico tiene raíces repetidas. ^[1]

Notas

1. Consulte el artículo ecuación homogénea con coeficientes constantes para obtener más detalles.

Referencias

• Morris, Tenenbaum; Pollard, Harry (1985). Ecuaciones diferenciales ordinarias: un libro de texto elemental para estudiantes de matemáticas, ingeniería y ciencias . Nueva York: Publicaciones de Dover. ISBN 0486649407. OCLC  12188701.