Multiplicador (análisis de Fourier)

En el análisis de Fourier , un operador multiplicador es un tipo de operador lineal o transformación de funciones . Estos operadores actúan sobre una función alterando su transformada de Fourier . Específicamente, multiplican la transformada de Fourier de una función por una función específica conocida como multiplicador o símbolo . Ocasionalmente, el término operador multiplicador en sí mismo se abrevia simplemente como multiplicador . ^[1] En términos simples, el multiplicador remodela las frecuencias involucradas en cualquier función. Esta clase de operadores resulta ser amplia: la teoría general muestra que un operador invariante de traslación en un grupo que obedece algunas condiciones de regularidad (muy leves) puede expresarse como un operador multiplicador, y viceversa. ^[2] Muchos operadores familiares, como las traslaciones y la diferenciación , son operadores multiplicadores, aunque hay muchos ejemplos más complicados como la transformada de Hilbert .

En el procesamiento de señales , un operador multiplicador se denomina " filtro ", y el multiplicador es la respuesta de frecuencia del filtro (o función de transferencia ).

En un contexto más amplio, los operadores multiplicadores son casos especiales de operadores multiplicadores espectrales, que surgen del cálculo funcional de un operador (o familia de operadores conmutativos). También son casos especiales de operadores pseudodiferenciales y, de manera más general, operadores integrales de Fourier . Existen preguntas naturales en este campo que aún están abiertas, como la caracterización de los operadores multiplicadores acotados L ^p (ver más abajo).

Los operadores multiplicadores no están relacionados con los multiplicadores de Lagrange , excepto que ambos involucran la operación de multiplicación.

Para obtener los antecedentes necesarios sobre la transformada de Fourier , consulte esa página. Puede encontrar información adicional importante en las páginas norma del operador y espacio L p .

Ejemplos

En el contexto de funciones periódicas definidas en el círculo unitario , la transformada de Fourier de una función es simplemente la secuencia de sus coeficientes de Fourier . Para ver que la diferenciación se puede realizar como multiplicador, considere la serie de Fourier para la derivada de una función periódica. Después de utilizar la integración por partes en la definición del coeficiente de Fourier, tenemos que ${\displaystyle f(t).}$

${\displaystyle {\mathcal {F}}(f')(n)=\int _{-\pi }^{\pi }f'(t)e^{-int}\,dt=\int _{-\pi }^{\pi }(in)f(t)e^{-int}\,dt=in\cdot {\mathcal {F}}(f)(n)}$.

Por lo tanto, formalmente, se deduce que la serie de Fourier para la derivada es simplemente la serie de Fourier para multiplicada por un factor . Esto es lo mismo que decir que la diferenciación es un operador multiplicador con multiplicador . ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle in}$ ${\displaystyle in}$

Un ejemplo de un operador multiplicador que actúa sobre funciones en la línea real es la transformada de Hilbert . Se puede demostrar que la transformada de Hilbert es un operador multiplicador cuyo multiplicador está dado por , donde sgn es la función signum . ${\displaystyle m(\xi )=-i\operatorname {sgn} (\xi )}$

Finalmente otro ejemplo importante de multiplicador es la función característica del cubo unitario que surge en el estudio de las “sumas parciales” para la transformada de Fourier (ver Convergencia de las series de Fourier ). ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

Definición

Los operadores multiplicadores pueden definirse en cualquier grupo G para el que también esté definida la transformada de Fourier (en particular, en cualquier grupo abeliano localmente compacto ). La definición general es la siguiente. Si es una función suficientemente regular , denotemos su transformada de Fourier (donde es el dual de Pontryagin de G ). Denotemos otra función, que llamaremos multiplicador . Entonces el operador multiplicador asociado a este símbolo m se define mediante la fórmula ${\displaystyle f:G\to \mathbb {C} }$ ${\displaystyle {\hat {f}}:{\hat {G}}\to \mathbb {C} }$ ${\displaystyle {\hat {G}}}$ ${\displaystyle m:{\hat {G}}\to \mathbb {C} }$ ${\displaystyle T=T_{m}}$

${\displaystyle {\widehat {Tf}}(\xi ):=m(\xi ){\hat {f}}(\xi ).}$

En otras palabras, la transformada de Fourier de Tf a una frecuencia ξ está dada por la transformada de Fourier de f a esa frecuencia, multiplicada por el valor del multiplicador a esa frecuencia. Esto explica el término "multiplicador".

Obsérvese que la definición anterior sólo define Tf de manera implícita; para recuperar Tf de manera explícita, es necesario invertir la transformada de Fourier. Esto se puede hacer fácilmente si tanto f como m son suficientemente suaves e integrables. Uno de los principales problemas en este tema es determinar, para cualquier multiplicador especificado m , si el operador multiplicador de Fourier correspondiente sigue estando bien definido cuando f tiene una regularidad muy baja, por ejemplo, si sólo se supone que se encuentra en un espacio L ^p . Véase la discusión sobre el "problema de acotación" a continuación. Como mínimo, normalmente se requiere que el multiplicador m esté acotado y sea medible ; esto es suficiente para establecer la acotación en pero, en general, no es lo suficientemente fuerte como para dar acotación en otros espacios. ${\displaystyle L^{2}}$

El operador multiplicador T se puede considerar como la composición de tres operadores, a saber, la transformada de Fourier, la operación de multiplicación puntual por m y, a continuación, la transformada de Fourier inversa. De manera equivalente, T es la conjugación del operador de multiplicación puntual por la transformada de Fourier. Por lo tanto, se puede pensar en los operadores multiplicadores como operadores que están diagonalizados por la transformada de Fourier.

Operadores multiplicadores en grupos comunes

Ahora especializamos la definición general anterior a grupos específicos G . Primero, consideremos que las funciones del círculo unitario en G pueden considerarse como funciones periódicas 2π en la línea real. En este grupo, el dual de Pontryagin es el grupo de los números enteros. La transformada de Fourier (para funciones suficientemente regulares f ) está dada por ${\displaystyle G=\mathbb {R} /2\pi \mathbb {Z} ;}$ ${\displaystyle {\hat {G}}=\mathbb {Z} .}$

${\displaystyle {\hat {f}}(n):={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }f(t)e^{-int}dt}$

y la transformada de Fourier inversa está dada por

${\displaystyle f(t)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\hat {f}}(n)e^{int}.}$

Un multiplicador en este contexto es simplemente una secuencia de números, y el operador asociado a este multiplicador viene dado por la fórmula ${\displaystyle (m_{n})_{n=-\infty }^{\infty }}$ ${\displaystyle T=T_{m}}$

${\displaystyle (Tf)(t):=\sum _{n=-\infty }^{\infty }m_{n}{\hat {f}}(n)e^{int},}$

al menos para elecciones suficientemente bien comportadas del multiplicador y de la función f . ${\displaystyle (m_{n})_{n=-\infty }^{\infty }}$

Sea ahora G un espacio euclidiano . Aquí el grupo dual también es euclidiano, y las transformadas de Fourier y de Fourier inversa están dadas por las fórmulas ${\displaystyle G=\mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle {\hat {G}}=\mathbb {R} ^{n},}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {f}}(\xi ):={}&\int _{\mathbb {R} ^{n}}f(x)e^{-2\pi ix\cdot \xi }dx\\f(x)={}&\int _{\mathbb {R} ^{n}}{\hat {f}}(\xi )e^{2\pi ix\cdot \xi }d\xi .\end{aligned}}}$

Un multiplicador en esta configuración es una función y el operador multiplicador asociado se define mediante ${\displaystyle m:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {C} ,}$ ${\displaystyle T=T_{m}}$

${\displaystyle Tf(x):=\int _{\mathbb {R} ^{n}}m(\xi ){\hat {f}}(\xi )e^{2\pi ix\cdot \xi }d\xi ,}$

suponiendo nuevamente supuestos de regularidad y acotación suficientemente fuertes en el multiplicador y la función.

En el sentido de distribuciones , no hay diferencia entre operadores multiplicadores y operadores de convolución ; cada multiplicador T también puede expresarse en la forma Tf = f ∗ K para alguna distribución K , conocida como el núcleo de convolución de T. En este punto de vista, la traslación por una cantidad x ₀ es convolución con una función delta de Dirac δ(· −  x ₀ ), la diferenciación es convolución con δ'. En la siguiente tabla se dan más ejemplos.

Diagramas

Más ejemplos

En el círculo unitario

La siguiente tabla muestra algunos ejemplos comunes de operadores multiplicadores en el círculo unitario. ${\displaystyle G=\mathbb {R} /2\pi \mathbb {Z} .}$

Sobre el espacio euclidiano

La siguiente tabla muestra algunos ejemplos comunes de operadores multiplicadores en el espacio euclidiano . ${\displaystyle G=\mathbb {R} ^{n}}$

Consideraciones generales

La función es un homomorfismo de las C*-álgebras . Esto se deduce porque la suma de dos operadores multiplicadores y es un operador multiplicador con multiplicador , la composición de estos dos operadores multiplicadores es un operador multiplicador con multiplicador y el adjunto de un operador multiplicador es otro operador multiplicador con multiplicador . ${\displaystyle m\mapsto T_{m}}$ ${\displaystyle T_{m}}$ ${\displaystyle T_{m'}}$ ${\displaystyle m+m'}$ ${\displaystyle mm',}$ ${\displaystyle T_{m}}$ ${\displaystyle {\overline {m}}}$

En particular, vemos que dos operadores multiplicadores cualesquiera conmutan entre sí. Se sabe que los operadores multiplicadores son invariantes en la traslación. A la inversa, se puede demostrar que cualquier operador lineal invariante en la traslación que esté acotado en L ² ( G ) es un operador multiplicador.

ElL pproblema de acotación

El problema de acotación de L ^p (para cualquier p particular ) para un grupo G dado consiste, en términos simples, en identificar los multiplicadores m tales que el operador multiplicador correspondiente esté acotado de L ^p ( G ) a L ^p ( G ). Dichos multiplicadores se denominan simplemente " multiplicadores de L ^p ". Nótese que, como los operadores multiplicadores son siempre lineales, dichos operadores están acotados si y solo si son continuos . Este problema se considera extremadamente difícil en general, pero se pueden tratar muchos casos especiales. El problema depende en gran medida de p , aunque existe una relación de dualidad : si y 1 ≤ p , q ≤ ∞, entonces un operador multiplicador está acotado en L ^p si y solo si está acotado en L ^q . ${\displaystyle 1/p+1/q=1}$

El teorema de Riesz-Thorin muestra que si un operador multiplicador está acotado en dos espacios L ^p diferentes , entonces también está acotado en todos los espacios intermedios. Por lo tanto, obtenemos que el espacio de multiplicadores es más pequeño para L ¹ y L ^∞ y crece a medida que uno se acerca a L ² , que tiene el espacio de multiplicadores más grande.

Limitación enyo2

Este es el caso más sencillo. El teorema de Parseval permite resolver este problema por completo y obtener que una función m es un multiplicador de L ² ( G ) si y sólo si es acotada y medible.

Limitación enyo1oyo∞

Este caso es más complicado que el de Hilbert ( L ² ), pero está totalmente resuelto. Lo siguiente es cierto:

Teorema : En el espacio euclidiano, una función es un multiplicador L ¹ (equivalentemente un multiplicador L ^∞ ) si y sólo si existe una medida de Borel finita μ tal que m es la transformada de Fourier de μ. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle m(\xi )}$

(La parte "si" es un cálculo simple. La parte "sólo si" aquí es más complicada).

Limitación enyopagpara 1

En este caso general, no se han establecido condiciones necesarias y suficientes para la acotación, ni siquiera para el espacio euclidiano o el círculo unitario. Sin embargo, se conocen varias condiciones necesarias y varias condiciones suficientes. Por ejemplo, se sabe que para que un operador multiplicador esté acotado incluso en un único espacio L ^p , el multiplicador debe estar acotado y ser medible (esto se desprende de la caracterización de los multiplicadores L ² anterior y de la propiedad de inclusión). Sin embargo, esto no es suficiente excepto cuando p = 2.

Los resultados que dan condiciones suficientes para la acotación se conocen como teoremas del multiplicador . A continuación se presentan tres de esos resultados.

Teorema del multiplicador de Marcinkiewicz

Sea una función acotada que es continuamente diferenciable en cada conjunto de la forma ^{[ aclaración necesaria ]} para y tiene derivada tal que ${\displaystyle m:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \left(-2^{j+1},-2^{j}\right)\cup \left(2^{j},2^{j+1}\right)}$ ${\displaystyle j\in \mathbb {Z} }$

${\displaystyle \sup _{j\in \mathbb {Z} }\left(\int _{-2^{j+1}}^{-2^{j}}\left|m'(\xi )\right|\,d\xi +\int _{2^{j}}^{2^{j+1}}\left|m'(\xi )\right|\,d\xi \right)<\infty .}$

Entonces m es un multiplicador de L ^p para todo 1 < p < ∞.

Teorema del multiplicador de Mikhlin

Sea m una función acotada en la que es suave excepto posiblemente en el origen, y tal que la función está acotada para todos los números enteros : entonces m es un multiplicador de L ^p para todo 1 < p < ∞ . ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\textstyle |x|^{k}\left|\nabla ^{k}m\right|}$ ${\textstyle 0\leq k\leq {\frac {n}{2}}+1}$

Éste es un caso especial del teorema del multiplicador de Hörmander-Mikhlin.

Las pruebas de estos dos teoremas son bastante complicadas e involucran técnicas de la teoría de Calderón-Zygmund y del teorema de interpolación de Marcinkiewicz : para la prueba original, véase Mikhlin (1956) o Mikhlin (1965, pp. 225-240).

Multiplicadores radiales

Para los multiplicadores radiales , se conoce una condición necesaria y suficiente para la acotación para algún rango parcial de . Sean y . Supongamos que es un multiplicador radial apoyado de forma compacta lejos del origen. Entonces es un multiplicador si y solo si la transformada de Fourier de pertenece a . ${\displaystyle L^{p}\left(\mathbb {R} ^{n}\right)}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle n\geq 4}$ ${\textstyle 1<p<2{\frac {n-1}{n+1}}}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle L^{p}\left(\mathbb {R} ^{n}\right)}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle L^{p}\left(\mathbb {R} ^{n}\right)}$

Este es un teorema de Heo, Nazarov y Seeger . ^[3] También proporcionaron una condición necesaria y suficiente que es válida sin el supuesto de soporte compacto en . ${\displaystyle m}$

Ejemplos

Las traslaciones son operadores acotados en cualquier L ^p . La diferenciación no está acotada en ningún L ^p . La transformada de Hilbert está acotada solo para p estrictamente entre 1 e ∞. El hecho de que no esté acotada en L ^∞ es fácil, ya que es bien sabido que la transformada de Hilbert de una función escalonada no está acotada. La dualidad da lo mismo para p = 1 . Sin embargo, tanto el teorema del multiplicador de Marcinkiewicz como el de Mikhlin muestran que la transformada de Hilbert está acotada en L ^p para todo 1 < p < ∞ .

Otro caso interesante en el círculo unitario es cuando la secuencia que se propone como multiplicador es constante para n en cada uno de los conjuntos y del teorema del multiplicador de Marcinkiewicz (adaptado al contexto del círculo unitario) vemos que cualquier secuencia de este tipo (que también se supone acotada, por supuesto) ^{[ aclaración necesaria ]} es un multiplicador para cada 1 < p < ∞ . ${\displaystyle (x_{n})}$ ${\displaystyle \left\{2^{n},\ldots ,2^{n+1}-1\right\}}$ ${\displaystyle \left\{-2^{n+1}+1,\ldots ,-2^{n}\right\}.}$

En una dimensión, el operador multiplicador de disco (ver tabla anterior) está acotado en L ^p para cada 1 < p < ∞ . Sin embargo, en 1972, Charles Fefferman mostró el sorprendente resultado de que en dos dimensiones y dimensiones superiores el operador multiplicador de disco no está acotado en L ^p para cada p ≠ 2 . El problema correspondiente para los multiplicadores de Bochner-Riesz está solo parcialmente resuelto; ver también la conjetura de Bochner-Riesz . ${\displaystyle S_{R}^{0}}$ ${\displaystyle S_{R}^{0}}$

Véase también

• Lema de Calderón-Zygmund
• Teorema de Marcinkiewicz
• Integrales singulares
• Operadores integrales singulares de tipo convolución

Notas

1. Duoandikoetxea 2001, apartado 3.5.
2. Stein 1970, Capítulo II.
3. Heo, Yaryong; Nazarov, Fëdor; Seeger, Andreas. Multiplicadores radiales de Fourier en altas dimensiones. Acta Math. 206 (2011), núm. 1, 55-92. doi:10.1007/s11511-011-0059-x. https://projecteuclid.org/euclid.acta/1485892528

Obras citadas

• Duoandikoetxea, Javier (2001), Análisis de Fourier , American Mathematical Society, ISBN 0-8218-2172-5
• Stein, Elias M. (1970), Integrales singulares y propiedades de diferenciabilidad de funciones , Princeton University Press

Referencias generales

• Grafakos, Loukas (2008), Análisis clásico de Fourier (2.ª ed.), Springer, ISBN 978-0-387-09431-1
• Katznelson, Yitzhak (2004), Introducción al análisis armónico , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-54359-0
• Hörmander, Lars (1960), "Estimaciones para operadores invariantes de traducción en espacios L ^p ", Acta Mathematica , 104 : 93–140, doi : 10.1007/bf02547187
• Hörmander, Lars (1990), El análisis de operadores diferenciales parciales lineales, I. Teoría de la distribución y análisis de Fourier (2.ª ed.), Springer-Verlag, ISBN 3-540-52343-X
• Mikhlin, Solomon G. (1956), "Sobre los multiplicadores de las integrales de Fourier", Doklady Akademii Nauk SSSR , 109 : 701–703, Zbl  0073.08402(en ruso ).
• Mikhlin, Solomon G. (1965), Integrales singulares multidimensionales y ecuaciones integrales , Serie internacional de monografías en matemáticas puras y aplicadas, vol. 83, Pergamon Press , Zbl  0129.07701Este documento contiene un estudio exhaustivo de todos los resultados conocidos en el momento de la publicación, incluido un esbozo de su historia.
• Rudin, Walter (1962), Análisis de Fourier sobre grupos , Interscience
• Torchinsky, Alberto (2004), Métodos de variables reales en análisis armónico , Dover, ISBN 0-486-43508-3