Teorema de Parseval

Teorema en matemáticas

En matemáticas, el teorema de Parseval suele referirse al resultado de que la transformada de Fourier es unitaria ; en términos generales, que la suma (o integral) del cuadrado de una función es igual a la suma (o integral) del cuadrado de su transformada. ^[1] Tiene su origen en un teorema de 1799 sobre series de Marc-Antoine Parseval , que más tarde se aplicó a la serie de Fourier . También se lo conoce como teorema de energía de Rayleigh o identidad de Rayleigh , en honor a John William Strutt , Lord Rayleigh. ^[2]

Aunque el término "teorema de Parseval" se utiliza a menudo para describir la unitaridad de cualquier transformada de Fourier, especialmente en física , la forma más general de esta propiedad se denomina más apropiadamente teorema de Plancherel . ^[3]

Enunciado del teorema de Parseval

Supóngase que y son dos funciones de valor complejo en de período que son integrables al cuadrado (con respecto a la medida de Lebesgue ) en intervalos de longitud de período, con series de Fourier ${\displaystyle A(x)}$ ${\displaystyle B(x)}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle 2\pi }$

${\displaystyle A(x)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }a_{n}e^{inx}}$

y

${\displaystyle B(x)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }b_{n}e^{inx}}$

respectivamente. Entonces

donde es la unidad imaginaria y las barras horizontales indican la conjugación compleja . Sustituyendo y : ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle A(x)}$ ${\displaystyle {\overline {B(x)}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{n=-\infty }^{\infty }a_{n}{\overline {b_{n}}}&={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }{\biggl (}\sum _{n=-\infty }^{\infty }a_{n}e^{inx}{\biggr )}{\biggl (}\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\overline {b_{n}}}e^{-inx}{\biggr )}\,\mathrm {d} x\\[6pt]&={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }{\Bigl (}a_{1}e^{i1x}+a_{2}e^{i2x}+\cdots {\Bigr )}{\Bigl (}{\overline {b_{1}}}e^{-i1x}+{\overline {b_{2}}}e^{-i2x}+\cdots {\Bigr )}\,\mathrm {d} x\\[6pt]&={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }\left(a_{1}e^{i1x}{\overline {b_{1}}}e^{-i1x}+a_{1}e^{i1x}{\overline {b_{2}}}e^{-i2x}+a_{2}e^{i2x}{\overline {b_{1}}}e^{-i1x}+a_{2}e^{i2x}{\overline {b_{2}}}e^{-i2x}+\cdots \right)\mathrm {d} x\\[6pt]&={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }\left(a_{1}{\overline {b_{1}}}+a_{1}{\overline {b_{2}}}e^{-ix}+a_{2}{\overline {b_{1}}}e^{ix}+a_{2}{\overline {b_{2}}}+\cdots \right)\mathrm {d} x\end{aligned}}}$

Como es el caso de los términos medios en este ejemplo, muchos términos se integrarán a lo largo de un período completo de longitud (ver armónicos ): ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle 2\pi }$

${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{n=-\infty }^{\infty }a_{n}{\overline {b_{n}}}&={\frac {1}{2\pi }}\left[a_{1}{\overline {b_{1}}}x+ia_{1}{\overline {b_{2}}}e^{-ix}-ia_{2}{\overline {b_{1}}}e^{ix}+a_{2}{\overline {b_{2}}}x+\cdots \right]_{-\pi }^{+\pi }\\[6pt]&={\frac {1}{2\pi }}\left(2\pi a_{1}{\overline {b_{1}}}+0+0+2\pi a_{2}{\overline {b_{2}}}+\cdots \right)\\[6pt]&=a_{1}{\overline {b_{1}}}+a_{2}{\overline {b_{2}}}+\cdots \\[6pt]\end{aligned}}}$

De manera más general, si y son en cambio dos funciones de valor complejo de período que son integrables al cuadrado (con respecto a la medida de Lebesgue ) en intervalos de longitud de período, con series de Fourier ${\displaystyle A(x)}$ ${\displaystyle B(x)}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle P}$

${\displaystyle A(x)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }a_{n}e^{2\pi ni\left({\frac {x}{P}}\right)}}$

y

${\displaystyle B(x)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }b_{n}e^{2\pi ni\left({\frac {x}{P}}\right)}}$

respectivamente. Entonces

De manera aún más general, dado un grupo localmente compacto abeliano G con dual de Pontryagin G^ , el teorema de Parseval dice que la transformada de Pontryagin-Fourier es un operador unitario entre los espacios de Hilbert L ² ( G ) y L ² ( G^ ) (con la integración en contra de las medidas de Haar escaladas apropiadamente en los dos grupos). Cuando G es el círculo unitario T , G^ son los números enteros y este es el caso discutido anteriormente. Cuando G es la línea real , G^ también es y la transformada unitaria es la transformada de Fourier en la línea real. Cuando G es el grupo cíclico Z _n , nuevamente es autodual y la transformada de Pontryagin-Fourier es lo que se llama transformada de Fourier discreta en contextos aplicados. ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$

El teorema de Parseval también se puede expresar de la siguiente manera:

Supongamos que es una función integrable al cuadrado en (es decir, y son integrables en ese intervalo), con la serie de Fourier ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle [-\pi ,\pi ]}$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle f^{2}(x)}$

${\displaystyle f(x)\simeq {\tfrac {1}{2}}a_{0}+\sum _{n=1}^{\infty }{\bigl (}a_{n}\cos(nx)+b_{n}\sin(nx){\bigr )}.}$

Entonces ^{[4] [5] [6]}

${\displaystyle {\frac {1}{\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }f^{2}(x)\,\mathrm {d} x={\tfrac {1}{2}}a_{0}^{2}+\sum _{n=1}^{\infty }\left(a_{n}^{2}+b_{n}^{2}\right).}$

Notación utilizada en ingeniería

En ingeniería eléctrica , el teorema de Parseval a menudo se escribe como:

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }{\bigl |}x(t){\bigr |}^{2}\,\mathrm {d} t={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }{\bigl |}X(\omega ){\bigr |}^{2}\,\mathrm {d} \omega =\int _{-\infty }^{\infty }{\bigl |}X(2\pi f){\bigr |}^{2}\,\mathrm {d} f}$

donde representa la transformada de Fourier continua (en forma no unitaria) de , y es la frecuencia en radianes por segundo. ${\displaystyle X(\omega )={\mathcal {F}}_{\omega }\{x(t)\}}$ ${\displaystyle x(t)}$ ${\displaystyle \omega =2\pi f}$

La interpretación de esta forma del teorema es que la energía total de una señal se puede calcular sumando la potencia por muestra a lo largo del tiempo o la potencia espectral a lo largo de la frecuencia.

Para señales de tiempo discreto , el teorema se convierte en:

${\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }{\bigl |}x[n]{\bigr |}^{2}={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }{\bigl |}X_{2\pi }({\phi }){\bigr |}^{2}\mathrm {d} \phi }$

donde es la transformada de Fourier de tiempo discreto (DTFT) de y representa la frecuencia angular (en radianes por muestra) de . ${\displaystyle X_{2\pi }}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle x}$

Alternativamente, para la transformada de Fourier discreta (DFT), la relación se convierte en:

${\displaystyle \sum _{n=0}^{N-1}{\bigl |}x[n]{\bigr |}^{2}={\frac {1}{N}}\sum _{k=0}^{N-1}{\bigl |}X[k]{\bigr |}^{2}}$

donde es la DFT de , ambos de longitud . ${\displaystyle X[k]}$ ${\displaystyle x[n]}$ ${\displaystyle N}$

A continuación mostramos el caso de DFT. Para los demás casos, la prueba es similar. Al utilizar la definición de DFT inversa de , podemos derivar ${\displaystyle X[k]}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {1}{N}}\sum _{k=0}^{N-1}{\bigl |}X[k]{\bigr |}^{2}&={\frac {1}{N}}\sum _{k=0}^{N-1}X[k]\cdot X^{*}[k]={\frac {1}{N}}\sum _{k=0}^{N-1}{\Biggl (}\sum _{n=0}^{N-1}x[n]\,\exp \left(-j{\frac {2\pi }{N}}k\,n\right){\Biggr )}\,X^{*}[k]\\[5mu]&={\frac {1}{N}}\sum _{n=0}^{N-1}x[n]{\Biggl (}\sum _{k=0}^{N-1}X^{*}[k]\,\exp \left(-j{\frac {2\pi }{N}}k\,n\right){\Biggr )}={\frac {1}{N}}\sum _{n=0}^{N-1}x[n]{\bigl (}N\cdot x^{*}[n]{\bigr )}\\[5mu]&=\sum _{n=0}^{N-1}{\bigl |}x[n]{\bigr |}^{2},\end{aligned}}}$

donde representa el conjugado complejo. ${\displaystyle *}$

Véase también

El teorema de Parseval está estrechamente relacionado con otros resultados matemáticos que implican transformaciones unitarias:

• La identidad de Parseval
• Teorema de Plancherel
• Teorema de Wiener-Khinchin
• Desigualdad de Bessel

Notas

1. Parseval des Chênes, Marc-Antoine Mémoire sur les séries et sur l'intégration complète d'une équation aux différences partielles linéaire du second ordre, à coeficientes constantes "presentado ante la Académie des Sciences (París) el 5 de abril de 1799. Este artículo fue publicado en Mémoires présentés à l'Institut des Sciences, Lettres et Arts, par divers savants, et lus dans ses assemblées Sciences, mathématiques et physiques (Savants étrangers.) , vol.
2. Rayleigh, JWS (1889) "Sobre el carácter de la radiación completa a una temperatura dada", Philosophical Magazine , vol. 27, páginas 460-469. Disponible en línea aquí.
3. Plancherel, Michel (1910) "Contribución al estudio de la representación de una función arbitraria par les integrales définies", Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo , vol. 30, páginas 298–335.
4. Arthur E. Danese (1965). Cálculo avanzado . Vol. 1. Boston, MA: Allyn and Bacon, Inc., pág. 439.
5. Wilfred Kaplan (1991). Cálculo avanzado (4.ª ed.). Reading, MA: Addison Wesley. pág. 519. ISBN 0-201-57888-3.
6. Georgi P. Tolstov (1962). Serie de Fourier . Traducido por Silverman, Richard. Englewood Cliffs, NJ: Prentice-Hall, Inc. p. 119.

Enlaces externos

• Teorema de Parseval en Mathworld