Operador unitario

En análisis funcional , un operador unitario es un operador acotado sobreyectivo en un espacio de Hilbert que preserva el producto interno . Generalmente se considera que los operadores unitarios operan en un espacio de Hilbert, pero la misma noción sirve para definir el concepto de isomorfismo entre espacios de Hilbert.

Definición

Definición 1. Un operador unitario es un operador lineal acotado $U : H \to H$ en un espacio de Hilbert $H$ que satisface $U * U = UU * = I$ , donde $U *$ es el adjunto de $U$ y $I : H \to H$ es la identidad operador.

La condición más débil $U * U = I$ define una isometría . La otra condición, $UU * = I$ , define una coisometría . Por tanto, un operador unitario es un operador lineal acotado que es a la vez una isometría y una coisometría, ^[1] o, de manera equivalente, una isometría sobreyectiva . ^[2]

Una definición equivalente es la siguiente:

Definición 2. Un operador unitario es un operador lineal acotado $U : H \to H$ en un espacio de Hilbert $H$ para el cual se cumple lo siguiente:

$U$ es sobreyectiva y
$U$ conserva el producto interno del espacio de Hilbert, $H$ . En otras palabras, para todos $los$ $vectores$ xey $en$ H tenemos :
$\langle Ux,Uy\rangle _{H}=\langle x,y\rangle _{H}.$

La noción de isomorfismo en la categoría de espacios de Hilbert se capta si se permite que dominio y rango difieran en esta definición. Las isometrías preservan las secuencias de Cauchy ; por tanto , se conserva la propiedad de completitud de los espacios de Hilbert ^[3]

La siguiente definición, aparentemente más débil, también es equivalente:

Definición 3. Un operador unitario es un operador lineal acotado $U : H \to H$ en un espacio de Hilbert $H$ para el cual se cumple lo siguiente:

el rango de $U$ es denso en $H$ , y
$U$ conserva el producto interno del espacio de Hilbert, $H$ . En otras palabras, para todos los $vectores$ $xey$ $en$ H tenemos :
$\langle Ux,Uy\rangle _{H}=\langle x,y\rangle _{H}.$

Para ver que las definiciones 1 y 3 son equivalentes, observe que $U$ preservar el producto interno implica $que U$ es una isometría (por lo tanto, un operador lineal acotado ). El hecho de que $U$ tenga un rango denso garantiza que tenga una inversa acotada $U -1$ . Está claro que $U -1 = U *$ .

Por tanto, los operadores unitarios son simplemente automorfismos de los espacios de Hilbert, es decir, preservan la estructura (la estructura del espacio vectorial, el producto interno y, por tanto, la topología ) del espacio sobre el que actúan. El grupo de todos los operadores unitarios de un espacio de Hilbert determinado $H$ a sí mismo a veces se denomina grupo de Hilbert de $H$ , denotado $Hilb(H)$ o $U (H)$ .

Ejemplos

La función identidad es trivialmente un operador unitario.
Las rotaciones en $R 2$ son el ejemplo no trivial más simple de operadores unitarios. Las rotaciones no cambian la longitud de un vector ni el ángulo entre dos vectores. Este ejemplo se puede ampliar a $R 3$ .
En el espacio vectorial $C$ de números complejos , la multiplicación por un número de valor absoluto $1$ , es decir, un número de la forma $e iθ$ para $θ \in R$ , es un operador unitario. $θ$ se denomina fase, y esta multiplicación se denomina multiplicación por una fase. Observe que el valor de $θ$ módulo $2 π$ no afecta el resultado de la multiplicación, por lo que los operadores unitarios independientes en $C$ están parametrizados por un círculo. El grupo correspondiente, que como conjunto es el círculo, se llama $U(1)$ .
De manera más general, las matrices unitarias son precisamente los operadores unitarios en espacios de Hilbert de dimensión finita , por lo que la noción de operador unitario es una generalización de la noción de matriz unitaria. Las matrices ortogonales son el caso especial de matrices unitarias en las que todas las entradas son reales. ^[4] Son los operadores unitarios en $R n$ .
El desplazamiento bilateral en el espacio de secuencia $ℓ 2$ indexado por números enteros es unitario. En general, cualquier operador en un espacio de Hilbert que actúe permutando una base ortonormal es unitario. En el caso de dimensión finita, dichos operadores son las matrices de permutación .
El desplazamiento unilateral (desplazamiento a la derecha) es una isometría; su conjugado (desplazamiento a la izquierda) es una coisometría.
El operador de Fourier es un operador unitario, es decir, el operador que realiza la transformada de Fourier (con la normalización adecuada). Esto se desprende del teorema de Parseval .
Los operadores unitarios se utilizan en representaciones unitarias .
Las puertas lógicas cuánticas son operadores unitarios. No todas las puertas son hermitianas .
Un elemento unitario es una generalización de un operador unitario. En un álgebra unital , un elemento $U$ del álgebra se llama elemento unitario si $U * U = UU * = I$ , donde $I$ es el elemento identidad multiplicativo . ^[5]

Linealidad

El requisito de linealidad en la definición de operador unitario se puede eliminar sin cambiar el significado porque puede derivarse de la linealidad y la definición positiva del producto escalar :

{\begin{alineado}\|\lambda U(x)-U(\lambda x)\|^{2}&=\langle \lambda U(x)-U(\lambda x),\lambda U(x)-U(\lambda x)\rangle \\&=\|\lambda U(x)\|^{2}+\|U(\lambda x)\|^{2}-\langle U (\lambda x),\lambda U(x)\rangle -\langle \lambda U(x),U(\lambda x)\rangle \\&=|\lambda |^{2}\|U(x) \|^{2}+\|U(\lambda x)\|^{2}-{\overline {\lambda }}\langle U(\lambda x),U(x)\rangle -\lambda \langle U(x),U(\lambda x)\rangle \\&=|\lambda |^{2}\|x\|^{2}+\|\lambda x\|^{2}-{\overline {\lambda }}\langle \lambda x,x\rangle -\lambda \langle x,\lambda x\rangle \\&=0\end{aligned}}

De manera análoga se obtiene

\|U(x+y)-(Ux+Uy)\|=0.

Propiedades

El espectro de un operador unitario $U$ se encuentra en el círculo unitario . Es decir, para cualquier número complejo $λ$ en el espectro, se tiene $| λ | = 1$ . Esto puede verse como una consecuencia del teorema espectral de los operadores normales . Según el teorema, $U$ es unitariamente equivalente a la multiplicación por una $f$ medible por Borel en $L$ $2$ $($ $μ$ $)$ , para algún espacio de medidas finitas $($ $X$ $,$ $μ$ $)$ . Ahora $UU$ $* =$ $I$ implica $|$ $f$ $($ $x$ $)|$ $2$ $= 1$ , $μ$ -ae Esto muestra que el rango esencial de $f$ , por lo tanto el espectro de $U$ , se encuentra en el círculo unitario.
Un mapa lineal es unitario si es sobreyectivo e isométrico. (Utilice la identidad de polarización para mostrar la parte única).

Ver también

Antiunitario : mapa antilineal biyectivo entre dos espacios complejos de Hilbert
Arco arrugado
Puerta lógica cuántica : circuito básico en computación cuántica
Matriz unitaria : matriz compleja cuya transpuesta conjugada es igual a su inversa
Transformación unitaria : endomorfismo que preserva el producto interno.

Notas a pie de página

^ Halmos 1982, secc. 127, página 69
^ Conway 1990, Proposición I.5.2
^ Conway 1990, Definición I.5.1
^ Romano 2008, pag. 238 §10
^ Doran y Belfi 1986, pág. 55

Referencias

Conway, JB (1990). Un curso de análisis funcional . Textos de Posgrado en Matemáticas. vol. 96. Springer Verlag . ISBN 0-387-97245-5.

Doran, Robert S .; Belfi, Víctor A. (1986). Caracterizaciones de álgebras C *: los teoremas de Gelfand-Naimark . Nueva York: Marcel Dekker. ISBN 0-8247-7569-4.

Halmos, Paul (1982). Un libro de problemas espaciales de Hilbert . Textos de Posgrado en Matemáticas. vol. 19 (2ª ed.). Springer Verlag. ISBN 978-0387906850.

Lang, Serge (1972). Colectores diferenciales . Reading, Mass. – Londres – Don Mills, Ontario: Addison-Wesley Publishing Co., Inc. ISBN 978-0387961132.

Roman, Stephen (2008), Álgebra lineal avanzada , Textos de posgrado en matemáticas (tercera ed.), Springer, ISBN 978-0-387-72828-5