Operador integral de Fourier

Clase de operadores diferenciales e integrales.

En el análisis matemático , los operadores integrales de Fourier se han convertido en una herramienta importante en la teoría de ecuaciones diferenciales parciales . La clase de operadores integrales de Fourier contiene operadores diferenciales así como operadores integrales clásicos como casos especiales.

Un operador integral de Fourier viene dado por: ${\displaystyle T}$

${\displaystyle (Tf)(x)=\int _{\mathbb {R} ^{n}}e^{2\pi i\Phi (x,\xi )}a(x,\xi ){\hat {f}}(\xi )\,d\xi }$

donde denota la transformada de Fourier de , es un símbolo estándar que se soporta de forma compacta y tiene valor real y es homogéneo de grado en . También es necesario exigir que con el apoyo de a. En estas condiciones, si a es de orden cero, es posible demostrar que define un operador acotado de a . ^[1] ${\displaystyle {\hat {f}}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle a(x,\xi )}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle \xi }$ ${\displaystyle \det \left({\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial x_{i}\,\partial \xi _{j}}}\right)\neq 0}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle L^{2}}$ ${\displaystyle L^{2}}$

Ejemplos

Una motivación para el estudio de los operadores integrales de Fourier es el operador solución del problema de valor inicial del operador de onda. De hecho, considere el siguiente problema:

${\displaystyle {\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial t^{2}}}(t,x)=\Delta u(t,x)\quad \mathrm {for} \quad (t,x)\in \mathbb {R} ^{+}\times \mathbb {R} ^{n},}$

y

${\displaystyle u(0,x)=0,\quad {\frac {\partial u}{\partial t}}(0,x)=f(x),\quad \mathrm {for} \quad f\in {\mathcal {S}}'(\mathbb {R} ^{n}).}$^{[ definición necesaria ]}

La solución a este problema viene dada por

${\displaystyle u(t,x)={\frac {1}{(2\pi )^{n}}}\int {\frac {e^{i(\langle x,\xi \rangle +ct|\xi |)}}{2i|\xi |}}{\hat {f}}(\xi )\,d\xi -{\frac {1}{(2\pi )^{n}}}\int {\frac {e^{i(\langle x,\xi \rangle -ct|\xi |)}}{2i|\xi |}}{\hat {f}}(\xi )\,d\xi .}$

Éstas deben interpretarse como integrales oscilatorias, ya que en general no convergen. Esto formalmente parece una suma de dos operadores integrales de Fourier; sin embargo, los coeficientes en cada una de las integrales no son uniformes en el origen y, por lo tanto, no son símbolos estándar. Si eliminamos esta singularidad con una función de corte, entonces los operadores así obtenidos aún proporcionan soluciones al problema de valor inicial con funciones suaves de módulo. Así, si sólo nos interesa la propagación de singularidades de los datos iniciales, basta con considerar dichos operadores. De hecho, si permitimos que la velocidad del sonido c en la ecuación de onda varíe con la posición, todavía podemos encontrar un operador integral de Fourier que proporcione una solución módulo funciones suaves, y los operadores integrales de Fourier proporcionan así una herramienta útil para estudiar la propagación de singularidades de soluciones a ecuaciones de ondas de velocidad variable y, más generalmente, para otras ecuaciones hiperbólicas.

Ver también

• Análisis microlocal
• Transformada de Fourier
• Operador pseudodiferencial
• Operador integral oscilatorio
• categoría simpléctica

Notas

1. Hörmander, Lars (1970), "Operadores integrales de Fourier. I", Acta Mathematica , Springer Países Bajos, 127 : 79–183, doi : 10.1007/BF02392052

Referencias

• Elias Stein, Análisis armónico: métodos de variables reales, ortogonalidad e integrales oscilatorias . Prensa de la Universidad de Princeton, 1993. ISBN 0-691-03216-5 
• F. Treves, Introducción a los operadores pseudodiferenciales e integrales de Fourier, (Serie Universitaria de Matemáticas), Plenum Publ. Co. 1981. ISBN 0-306-40404-4 
• JJ Duistermaat , Operadores integrales de Fourier, (Progreso en matemáticas), Birkhäuser 1995. ISBN 0-8176-3821-0 

enlaces externos

• "Operador integral de Fourier", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]