Jet (matemáticas)

En matemáticas , el chorro es una operación que toma una función diferenciable f y produce un polinomio , el polinomio de Taylor truncado de f , en cada punto de su dominio. Aunque esta es la definición de chorro, la teoría de chorros considera estos polinomios como polinomios abstractos en lugar de funciones polinómicas.

En este artículo se explora primero la noción de jet de una función de valor real en una variable real, seguido de una discusión de generalizaciones a varias variables reales. Luego se ofrece una construcción rigurosa de jets y espacios de jets entre espacios euclidianos . Concluye con una descripción de jets entre variedades y cómo estos jets pueden construirse intrínsecamente. En este contexto más general, se resumen algunas de las aplicaciones de los jets a la geometría diferencial y a la teoría de ecuaciones diferenciales .

Chorros de funciones entre espacios euclidianos

Antes de dar una definición rigurosa de un chorro, es útil examinar algunos casos especiales.

Caso unidimensional

Supóngase que es una función de valor real que tiene al menos k  + 1 derivadas en un entorno U del punto . Entonces, por el teorema de Taylor, ${\displaystyle f:{\mathbb {R} }\rightarrow {\mathbb {R} }}$ ${\displaystyle x_{0}}$

${\displaystyle f(x)=f(x_{0})+f'(x_{0})(x-x_{0})+\cdots +{\frac {f^{(k)}(x_{0})}{k!}}(x-x_{0})^{k}+{\frac {R_{k+1}(x)}{(k+1)!}}(x-x_{0})^{k+1}}$

dónde

${\displaystyle |R_{k+1}(x)|\leq \sup _{x\in U}|f^{(k+1)}(x)|.}$

Entonces el k -jet de f en el punto se define como el polinomio ${\displaystyle x_{0}}$

${\displaystyle (J_{x_{0}}^{k}f)(z)=\sum _{i=0}^{k}{\frac {f^{(i)}(x_{0})}{i!}}z^{i}=f(x_{0})+f'(x_{0})z+\cdots +{\frac {f^{(k)}(x_{0})}{k!}}z^{k}.}$

Los jets se consideran normalmente como polinomios abstractos en la variable z , no como funciones polinómicas reales en esa variable. En otras palabras, z es una variable indeterminada que permite realizar varias operaciones algebraicas entre los jets. De hecho, es el punto base a partir del cual los jets derivan su dependencia funcional. Por lo tanto, al variar el punto base, un jet produce un polinomio de orden k como máximo en cada punto. Esto marca una distinción conceptual importante entre jets y series de Taylor truncadas : ordinariamente se considera que una serie de Taylor depende funcionalmente de su variable, en lugar de su punto base. Los jets, por otro lado, separan las propiedades algebraicas de la serie de Taylor de sus propiedades funcionales. Trataremos las razones y aplicaciones de esta separación más adelante en el artículo. ${\displaystyle x_{0}}$

Aplicaciones de un espacio euclidiano a otro

Supongamos que es una función de un espacio euclidiano a otro que tiene al menos ( k  + 1) derivadas. En este caso, el teorema de Taylor afirma que ${\displaystyle f:{\mathbb {R} }^{n}\rightarrow {\mathbb {R} }^{m}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}f(x)=f(x_{0})+(Df(x_{0}))\cdot (x-x_{0})+{}&{\frac {1}{2}}(D^{2}f(x_{0}))\cdot (x-x_{0})^{\otimes 2}+\cdots \\[4pt]&\cdots +{\frac {D^{k}f(x_{0})}{k!}}\cdot (x-x_{0})^{\otimes k}+{\frac {R_{k+1}(x)}{(k+1)!}}\cdot (x-x_{0})^{\otimes (k+1)}.\end{aligned}}}$

El k -jet de f se define entonces como el polinomio

${\displaystyle (J_{x_{0}}^{k}f)(z)=f(x_{0})+(Df(x_{0}))\cdot z+{\frac {1}{2}}(D^{2}f(x_{0}))\cdot z^{\otimes 2}+\cdots +{\frac {D^{k}f(x_{0})}{k!}}\cdot z^{\otimes k}}$

en , donde . ${\displaystyle {\mathbb {R} }[z]}$ ${\displaystyle z=(z_{1},\ldots ,z_{n})}$

Propiedades algebraicas de los chorros

Existen dos estructuras algebraicas básicas que pueden tener los chorros. La primera es la estructura del producto, aunque en última instancia resulta ser la menos importante. La segunda es la estructura de la composición de los chorros.

Si son un par de funciones de valor real, entonces podemos definir el producto de sus jets mediante ${\displaystyle f,g:{\mathbb {R} }^{n}\rightarrow {\mathbb {R} }}$

${\displaystyle J_{x_{0}}^{k}f\cdot J_{x_{0}}^{k}g=J_{x_{0}}^{k}(f\cdot g).}$

Aquí hemos suprimido la indeterminación z , ya que se entiende que los jets son polinomios formales. Este producto es simplemente el producto de polinomios ordinarios en z , módulo . En otras palabras, es la multiplicación en el anillo , donde es el ideal generado por polinomios homogéneos de orden ≥  k  + 1. ${\displaystyle z^{k+1}}$ ${\displaystyle {\mathbb {R} }[z]/(z^{k+1})}$ ${\displaystyle (z^{k+1})}$

Ahora pasamos a la composición de jets. Para evitar tecnicismos innecesarios, consideramos jets de funciones que mapean el origen al origen. Si y con f (0) = 0 y g (0) = 0, entonces . La composición de jets está definida por Se verifica fácilmente, utilizando la regla de la cadena , que esto constituye una operación asociativa no conmutativa en el espacio de jets en el origen. ${\displaystyle f:{\mathbb {R} }^{m}\rightarrow {\mathbb {R} }^{\ell }}$ ${\displaystyle g:{\mathbb {R} }^{n}\rightarrow {\mathbb {R} }^{m}}$ ${\displaystyle f\circ g:{\mathbb {R} }^{n}\rightarrow {\mathbb {R} }^{\ell }}$ ${\displaystyle J_{0}^{k}f\circ J_{0}^{k}g=J_{0}^{k}(f\circ g).}$

De hecho, la composición de k -jets no es más que la composición de polinomios módulo el ideal de polinomios homogéneos de orden . ${\displaystyle >k}$

Ejemplos:

• En una dimensión, sean y . Entonces ${\displaystyle f(x)=\log(1-x)}$ ${\displaystyle g(x)=\sin \,x}$

${\displaystyle (J_{0}^{3}f)(x)=-x-{\frac {x^{2}}{2}}-{\frac {x^{3}}{3}}}$

${\displaystyle (J_{0}^{3}g)(x)=x-{\frac {x^{3}}{6}}}$

y

${\displaystyle {\begin{aligned}&(J_{0}^{3}f)\circ (J_{0}^{3}g)=-\left(x-{\frac {x^{3}}{6}}\right)-{\frac {1}{2}}\left(x-{\frac {x^{3}}{6}}\right)^{2}-{\frac {1}{3}}\left(x-{\frac {x^{3}}{6}}\right)^{3}{\pmod {x^{4}}}\\[4pt]={}&-x-{\frac {x^{2}}{2}}-{\frac {x^{3}}{6}}\end{aligned}}}$

Chorros en un punto del espacio euclidiano: definiciones rigurosas

Definición analítica

La siguiente definición utiliza ideas del análisis matemático para definir jets y espacios de jets. Puede generalizarse para funciones suavizadas entre espacios de Banach , funciones analíticas entre dominios reales o complejos , para análisis p-ádico y para otras áreas de análisis.

Sea el espacio vectorial de funciones suaves . Sea k un entero no negativo y sea p un punto de . Definimos una relación de equivalencia en este espacio declarando que dos funciones f y g son equivalentes en orden k si f y g tienen el mismo valor en p , y todas sus derivadas parciales concuerdan en p hasta (e incluyendo) sus derivadas de k -ésimo orden. En resumen, s i s hasta k -ésimo orden. ${\displaystyle C^{\infty }({\mathbb {R} }^{n},{\mathbb {R} }^{m})}$ ${\displaystyle f:{\mathbb {R} }^{n}\rightarrow {\mathbb {R} }^{m}}$ ${\displaystyle {\mathbb {R} }^{n}}$ ${\displaystyle E_{p}^{k}}$ ${\displaystyle f\sim g\,\!}$ ${\displaystyle f-g=0}$

El espacio jet de orden k de en p se define como el conjunto de clases de equivalencia de , y se denota por . ${\displaystyle C^{\infty }({\mathbb {R} }^{n},{\mathbb {R} }^{m})}$ ${\displaystyle E_{p}^{k}}$ ${\displaystyle J_{p}^{k}({\mathbb {R} }^{n},{\mathbb {R} }^{m})}$

El jet de orden k en p de una función suave se define como la clase de equivalencia de f en . ${\displaystyle f\in C^{\infty }({\mathbb {R} }^{n},{\mathbb {R} }^{m})}$ ${\displaystyle J_{p}^{k}({\mathbb {R} }^{n},{\mathbb {R} }^{m})}$

Definición algebro-geométrica

La siguiente definición utiliza ideas de la geometría algebraica y del álgebra conmutativa para establecer la noción de chorro y de espacio de chorro. Aunque esta definición no es particularmente adecuada para su uso en geometría algebraica per se, ya que se enmarca en la categoría de fluidos suaves, se puede adaptar fácilmente a dichos usos.

Sea el espacio vectorial de gérmenes de funciones suaves en un punto p en . Sea el ideal que consiste en gérmenes de funciones que se anulan en p . (Este es el ideal máximo para el anillo local .) Entonces el ideal consiste en todos los gérmenes de funciones que se anulan hasta el orden k en p . Ahora podemos definir el espacio de jets en p por ${\displaystyle C_{p}^{\infty }({\mathbb {R} }^{n},{\mathbb {R} }^{m})}$ ${\displaystyle f:{\mathbb {R} }^{n}\rightarrow {\mathbb {R} }^{m}}$ ${\displaystyle {\mathbb {R} }^{n}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {m}}_{p}}$ ${\displaystyle C_{p}^{\infty }({\mathbb {R} }^{n},{\mathbb {R} }^{m})}$ ${\displaystyle {\mathfrak {m}}_{p}^{k+1}}$

${\displaystyle J_{p}^{k}({\mathbb {R} }^{n},{\mathbb {R} }^{m})=C_{p}^{\infty }({\mathbb {R} }^{n},{\mathbb {R} }^{m})/{\mathfrak {m}}_{p}^{k+1}}$

Si es una función suave, podemos definir el k -jet de f en p como el elemento de estableciendo ${\displaystyle f:{\mathbb {R} }^{n}\rightarrow {\mathbb {R} }^{m}}$ ${\displaystyle J_{p}^{k}({\mathbb {R} }^{n},{\mathbb {R} }^{m})}$

${\displaystyle J_{p}^{k}f=f{\pmod {{\mathfrak {m}}_{p}^{k+1}}}}$

Esta es una construcción más general. Para un espacio - , sea el tallo del haz de estructura en y sea el ideal máximo del anillo local . El espacio de chorro k-ésimo en se define como el anillo ( es el producto de ideales ). ${\displaystyle \mathbb {F} }$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{p}}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle {\mathfrak {m}}_{p}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{p}}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle J_{p}^{k}(M)={\mathcal {F}}_{p}/{\mathfrak {m}}_{p}^{k+1}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {m}}_{p}^{k+1}}$

Teorema de Taylor

Independientemente de la definición, el teorema de Taylor establece un isomorfismo canónico de los espacios vectoriales entre y . Por lo tanto, en el contexto euclidiano, los jets se identifican típicamente con sus representantes polinómicos bajo este isomorfismo. ${\displaystyle J_{p}^{k}({\mathbb {R} }^{n},{\mathbb {R} }^{m})}$ ${\displaystyle {\mathbb {R} }^{m}[z_{1},\dotsc ,z_{n}]/(z_{1},\dotsc ,z_{n})^{k+1}}$

Espacios en chorro de un punto a otro punto

Hemos definido el espacio de chorros en un punto . El subespacio de este que consiste en chorros de funciones f tales que f ( p ) =  q se denota por ${\displaystyle J_{p}^{k}({\mathbb {R} }^{n},{\mathbb {R} }^{m})}$ ${\displaystyle p\in {\mathbb {R} }^{n}}$

${\displaystyle J_{p}^{k}({\mathbb {R} }^{n},{\mathbb {R} }^{m})_{q}=\left\{J^{k}f\in J_{p}^{k}({\mathbb {R} }^{n},{\mathbb {R} }^{m})\mid f(p)=q\right\}}$

Chorros de funciones entre dos variedades

Si M y N son dos variedades suaves , ¿cómo definimos el jet de una función ? Tal vez podríamos intentar definir dicho jet utilizando coordenadas locales en M y N. La desventaja de esto es que los jets no pueden definirse de manera invariante. Los jets no se transforman como tensores . En cambio, los jets de funciones entre dos variedades pertenecen a un fibrado de jets . ${\displaystyle f:M\rightarrow N}$

Chorros de funciones desde la recta real a una variedad

Supóngase que M es una variedad suave que contiene un punto p . Definiremos los jets de curvas que pasan por p , por lo que en adelante nos referiremos a funciones suaves tales que f (0) =  p . Definamos una relación de equivalencia como sigue. Sean f y g un par de curvas que pasan por p . Diremos entonces que f y g son equivalentes de orden k en p si hay alguna vecindad U de p , tal que, para cada función suave , . Nótese que estos jets están bien definidos ya que las funciones compuestas y son simplemente aplicaciones de la línea real a sí misma. Esta relación de equivalencia a veces se llama la de contacto de k -ésimo orden entre curvas en p . ${\displaystyle f:{\mathbb {R} }\rightarrow M}$ ${\displaystyle E_{p}^{k}}$ ${\displaystyle \varphi :U\rightarrow {\mathbb {R} }}$ ${\displaystyle J_{0}^{k}(\varphi \circ f)=J_{0}^{k}(\varphi \circ g)}$ ${\displaystyle \varphi \circ f}$ ${\displaystyle \varphi \circ g}$

Definimos ahora el k -jet de una curva f a p como la clase de equivalencia de f bajo , denotada como . El espacio de jets de k -ésimo orden es entonces el conjunto de k -jets en p . ${\displaystyle E_{p}^{k}}$ ${\displaystyle J^{k}\!f\,}$ ${\displaystyle J_{0}^{k}f}$ ${\displaystyle J_{0}^{k}({\mathbb {R} },M)_{p}}$

A medida que p varía sobre M , forma un fibrado fibroso sobre M : el fibrado tangente de orden k , a menudo denotado en la literatura por T ^k M (aunque esta notación ocasionalmente puede llevar a confusión). En el caso de k = 1, entonces el fibrado tangente de primer orden es el fibrado tangente usual: T ¹ M  =  TM . ${\displaystyle J_{0}^{k}({\mathbb {R} },M)_{p}}$

Para demostrar que T ^k M es de hecho un haz de fibras, es instructivo examinar las propiedades de en coordenadas locales. Sea ( x ⁱ )= ( x ¹ ,..., x ⁿ ) un sistema de coordenadas local para M en un entorno U de p . Abusando ligeramente de la notación, podemos considerar ( x ⁱ ) como un difeomorfismo local . ${\displaystyle J_{0}^{k}({\mathbb {R} },M)_{p}}$ ${\displaystyle (x^{i}):M\rightarrow \mathbb {R} ^{n}}$

Afirmación. Dos curvas f y g a p son equivalentes módulo si y solo si . ${\displaystyle E_{p}^{k}}$ ${\displaystyle J_{0}^{k}\left((x^{i})\circ f\right)=J_{0}^{k}\left((x^{i})\circ g\right)}$

De hecho, la única parte condicional es clara, ya que cada una de las n funciones x ¹ ,..., x ⁿ es una función suave de M a . Por lo tanto, por la definición de la relación de equivalencia , dos curvas equivalentes deben tener . ${\displaystyle {\mathbb {R} }}$ ${\displaystyle E_{p}^{k}}$ ${\displaystyle J_{0}^{k}(x^{i}\circ f)=J_{0}^{k}(x^{i}\circ g)}$

Por el contrario, supongamos que ; es una función real suave en M en un entorno de p . Dado que cada función suave tiene una expresión de coordenadas local, podemos expresar ; como una función en las coordenadas. Específicamente, si q es un punto de M cerca de p , entonces ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle \varphi }$

${\displaystyle \varphi (q)=\psi (x^{1}(q),\dots ,x^{n}(q))}$

para alguna función real suave ψ de n variables reales. Por lo tanto, para dos curvas f y g a p , tenemos

${\displaystyle \varphi \circ f=\psi (x^{1}\circ f,\dots ,x^{n}\circ f)}$

${\displaystyle \varphi \circ g=\psi (x^{1}\circ g,\dots ,x^{n}\circ g)}$

La regla de la cadena establece ahora la parte condicional de la afirmación. Por ejemplo, si f y g son funciones de la variable real t , entonces

${\displaystyle \left.{\frac {d}{dt}}\left(\varphi \circ f\right)(t)\right|_{t=0}=\sum _{i=1}^{n}\left.{\frac {d}{dt}}(x^{i}\circ f)(t)\right|_{t=0}\ (D_{i}\psi )\circ f(0)}$

que es igual a la misma expresión cuando se evalúa contra g en lugar de f , recordando que f (0)= g (0)=p y f y g están en contacto de orden k en el sistema de coordenadas ( x ⁱ ).

Por lo tanto, el fibrado ostensible T ^k M admite una trivialización local en cada entorno de coordenadas. En este punto, para probar que este fibrado ostensible es de hecho un fibrado, basta con establecer que tiene funciones de transición no singulares bajo un cambio de coordenadas. Sea un sistema de coordenadas diferente y sea el difeomorfismo asociado al cambio de coordenadas del espacio euclidiano hacia sí mismo. Mediante una transformación afín de , podemos suponer sin pérdida de generalidad que ρ(0)=0. Con esta suposición, basta con probar que es una transformación invertible bajo composición de jets. (Véase también grupos de jets .) Pero como ρ es un difeomorfismo, es también una aplicación suave. Por lo tanto, ${\displaystyle (y^{i}):M\rightarrow {\mathbb {R} }^{n}}$ ${\displaystyle \rho =(x^{i})\circ (y^{i})^{-1}:{\mathbb {R} }^{n}\rightarrow {\mathbb {R} }^{n}}$ ${\displaystyle {\mathbb {R} }^{n}}$ ${\displaystyle J_{0}^{k}\rho :J_{0}^{k}({\mathbb {R} }^{n},{\mathbb {R} }^{n})\rightarrow J_{0}^{k}({\mathbb {R} }^{n},{\mathbb {R} }^{n})}$ ${\displaystyle \rho ^{-1}}$

${\displaystyle I=J_{0}^{k}I=J_{0}^{k}(\rho \circ \rho ^{-1})=J_{0}^{k}(\rho )\circ J_{0}^{k}(\rho ^{-1})}$

lo que demuestra que no es singular. Además, es suave, aunque no demostramos este hecho aquí. ${\displaystyle J_{0}^{k}\rho }$

Intuitivamente, esto significa que podemos expresar el chorro de una curva a través de p en términos de su serie de Taylor en coordenadas locales en M .

Ejemplos en coordenadas locales:

• Como se indicó anteriormente, el 1-jet de una curva que pasa por p es un vector tangente. Un vector tangente en p es un operador diferencial de primer orden que actúa sobre funciones reales suaves en p . En coordenadas locales, cada vector tangente tiene la forma

${\displaystyle v=\sum _{i}v^{i}{\frac {\partial }{\partial x^{i}}}}$

Dado un vector tangente v , sea f la curva dada en el sistema de coordenadas x ⁱ por . Si φ es una función suave en un entorno de p con φ ( p ) = 0, entonces ${\displaystyle x^{i}\circ f(t)=tv^{i}}$

${\displaystyle \varphi \circ f:{\mathbb {R} }\rightarrow {\mathbb {R} }}$

es una función real suave de una variable cuyo 1-jet está dado por

${\displaystyle J_{0}^{1}(\varphi \circ f)(t)=\sum _{i}tv^{i}{\frac {\partial \varphi }{\partial x^{i}}}(p).}$

lo que demuestra que uno puede identificar naturalmente vectores tangentes en un punto con los 1-chorros de curvas a través de ese punto.

• El espacio de 2 chorros de curvas a través de un punto.

En un sistema de coordenadas local x ⁱ centrado en un punto p , podemos expresar el polinomio de Taylor de segundo orden de una curva f ( t ) a través de p mediante

${\displaystyle J_{0}^{2}(x^{i}(f))(t)=t{\frac {dx^{i}(f)}{dt}}(0)+{\frac {t^{2}}{2}}{\frac {d^{2}x^{i}(f)}{dt^{2}}}(0).}$

Así, en el sistema de coordenadas x , el 2-jet de una curva que pasa por p se identifica con una lista de números reales . Al igual que con los vectores tangentes (1-jets de curvas) en un punto, los 2-jets de curvas obedecen a una ley de transformación al aplicar las funciones de transición de coordenadas. ${\displaystyle ({\dot {x}}^{i},{\ddot {x}}^{i})}$

Sea ( y ⁱ ) otro sistema de coordenadas. Por la regla de la cadena,

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dt}}y^{i}(f(t))&=\sum _{j}{\frac {\partial y^{i}}{\partial x^{j}}}(f(t)){\frac {d}{dt}}x^{j}(f(t))\\[5pt]{\frac {d^{2}}{dt^{2}}}y^{i}(f(t))&=\sum _{j,k}{\frac {\partial ^{2}y^{i}}{\partial x^{j}\,\partial x^{k}}}(f(t)){\frac {d}{dt}}x^{j}(f(t)){\frac {d}{dt}}x^{k}(f(t))+\sum _{j}{\frac {\partial y^{i}}{\partial x^{j}}}(f(t)){\frac {d^{2}}{dt^{2}}}x^{j}(f(t))\end{aligned}}}$

Por lo tanto, la ley de transformación se da evaluando estas dos expresiones en t  = 0.

${\displaystyle {\begin{aligned}&{\dot {y}}^{i}=\sum _{j}{\frac {\partial y^{i}}{\partial x^{j}}}(0){\dot {x}}^{j}\\[5pt]&{\ddot {y}}^{i}=\sum _{j,k}{\frac {\partial ^{2}y^{i}}{\partial x^{j}\,\partial x^{k}}}(0){\dot {x}}^{j}{\dot {x}}^{k}+\sum _{j}{\frac {\partial y^{i}}{\partial x^{j}}}(0){\ddot {x}}^{j}.\end{aligned}}}$

Téngase en cuenta que la ley de transformación para 2-jets es de segundo orden en las funciones de transición de coordenadas.

Chorros de funciones de una variedad a otra variedad

Ahora estamos preparados para definir el chorro de una función de una variedad a una variedad.

Supóngase que M y N son dos variedades suaves. Sea p un punto de M . Consideremos el espacio que consiste en aplicaciones suaves definidas en algún entorno de p . Definimos una relación de equivalencia en de la siguiente manera. Se dice que dos aplicaciones f y g son equivalentes si, para cada curva γ que pasa por p (recuerde que, según nuestras convenciones, se trata de una aplicación tal que ), tenemos en algún entorno de 0 . ${\displaystyle C_{p}^{\infty }(M,N)}$ ${\displaystyle f:M\rightarrow N}$ ${\displaystyle E_{p}^{k}}$ ${\displaystyle C_{p}^{\infty }(M,N)}$ ${\displaystyle \gamma :{\mathbb {R} }\rightarrow M}$ ${\displaystyle \gamma (0)=p}$ ${\displaystyle J_{0}^{k}(f\circ \gamma )=J_{0}^{k}(g\circ \gamma )}$

El espacio jet se define entonces como el conjunto de clases de equivalencia de módulo la relación de equivalencia . Obsérvese que, dado que el espacio objetivo N no necesita poseer ninguna estructura algebraica, tampoco necesita tener dicha estructura. Esto es, de hecho, un marcado contraste con el caso de los espacios euclidianos. ${\displaystyle J_{p}^{k}(M,N)}$ ${\displaystyle C_{p}^{\infty }(M,N)}$ ${\displaystyle E_{p}^{k}}$ ${\displaystyle J_{p}^{k}(M,N)}$

Si es una función suave definida cerca de p , entonces definimos el k -jet de f en p , , como la clase de equivalencia de f módulo . ${\displaystyle f:M\rightarrow N}$ ${\displaystyle J_{p}^{k}f}$ ${\displaystyle E_{p}^{k}}$

Multijets

John Mather introdujo el concepto de multijet . En términos generales, un multijet es una lista finita de chorros sobre diferentes puntos base. Mather demostró el teorema de transversalidad de los multijets , que utilizó en su estudio de las aplicaciones estables.

Chorros de secciones

Supóngase que E es un fibrado vectorial liso de dimensión finita sobre una variedad M , con proyección . Entonces las secciones de E son funciones lisas tales que es el automorfismo identidad de M . El chorro de una sección s sobre un entorno de un punto p es justamente el chorro de esta función lisa desde M hasta E en p . ${\displaystyle \pi :E\rightarrow M}$ ${\displaystyle s:M\rightarrow E}$ ${\displaystyle \pi \circ s}$

El espacio de chorros de secciones en p se denota por . Aunque esta notación puede llevar a confusión con los espacios de chorros más generales de funciones entre dos variedades, el contexto generalmente elimina cualquier ambigüedad de ese tipo. ${\displaystyle J_{p}^{k}(M,E)}$

A diferencia de los chorros de funciones de una variedad a otra variedad, el espacio de chorros de secciones en p lleva la estructura de un espacio vectorial heredada de la estructura del espacio vectorial en las propias secciones. A medida que p varía sobre M , los espacios de chorros forman un fibrado vectorial sobre M , el fibrado de chorros de orden k de E , denotado por J ^k ( E ). ${\displaystyle J_{p}^{k}(M,E)}$

• Ejemplo: El fibrado jet de primer orden del fibrado tangente.

Trabajamos en coordenadas locales en un punto y utilizamos la notación de Einstein . Consideremos un campo vectorial

${\displaystyle v=v^{i}(x)\partial /\partial x^{i}}$

en un entorno de p en M . El 1-jet de v se obtiene tomando el polinomio de Taylor de primer orden de los coeficientes del campo vectorial:

${\displaystyle J_{0}^{1}v^{i}(x)=v^{i}(0)+x^{j}{\frac {\partial v^{i}}{\partial x^{j}}}(0)=v^{i}+v_{j}^{i}x^{j}.}$

En las coordenadas x , el 1-jet en un punto se puede identificar con una lista de números reales . De la misma manera que un vector tangente en un punto se puede identificar con la lista ( v ⁱ ), sujeto a una cierta ley de transformación bajo transiciones de coordenadas, tenemos que saber cómo la lista se ve afectada por una transición. ${\displaystyle (v^{i},v_{j}^{i})}$ ${\displaystyle (v^{i},v_{j}^{i})}$

Consideremos entonces la ley de transformación al pasar a otro sistema de coordenadas y ⁱ . Sean w ^k los coeficientes del campo vectorial v en las coordenadas y . Entonces, en las coordenadas y , el 1-jet de v es una nueva lista de números reales . Como ${\displaystyle (w^{i},w_{j}^{i})}$

${\displaystyle v=w^{k}(y)\partial /\partial y^{k}=v^{i}(x)\partial /\partial x^{i},}$

resulta que

${\displaystyle w^{k}(y)=v^{i}(x){\frac {\partial y^{k}}{\partial x^{i}}}(x).}$

Entonces

${\displaystyle w^{k}(0)+y^{j}{\frac {\partial w^{k}}{\partial y^{j}}}(0)=\left(v^{i}(0)+x^{j}{\frac {\partial v^{i}}{\partial x^{j}}}\right){\frac {\partial y^{k}}{\partial x^{i}}}(x)}$

Desarrollando mediante una serie de Taylor, tenemos

${\displaystyle w^{k}={\frac {\partial y^{k}}{\partial x^{i}}}(0)v^{i}}$

${\displaystyle w_{j}^{k}=v^{i}{\frac {\partial ^{2}y^{k}}{\partial x^{i}\,\partial x^{j}}}+v_{j}^{i}{\frac {\partial y^{k}}{\partial x^{i}}}.}$

Nótese que la ley de transformación es de segundo orden en las funciones de transición de coordenadas.

Operadores diferenciales entre fibrados vectoriales

Véase también

• Grupo de jet
• Paquete de chorro
• Sistema lagrangiano

Referencias

• Krasil'shchik, IS, Vinogradov, AM, [et al.], Simetrías y leyes de conservación para ecuaciones diferenciales de física matemática , American Mathematical Society , Providence, RI, 1999, ISBN  0-8218-0958-X .
• Kolář, I., Michor, P., Slovák, J., Operaciones naturales en geometría diferencial. Springer-Verlag: Berlín Heidelberg, 1993. ISBN 3-540-56235-4 , ISBN 0-387-56235-4 .  
• Saunders, DJ, La geometría de los haces de chorro , Cambridge University Press, 1989, ISBN 0-521-36948-7 
• Olver, PJ , Equivalencia, invariantes y simetría , Cambridge University Press, 1995, ISBN 0-521-47811-1 
• Sardanashvily, G. , Geometría diferencial avanzada para teóricos: haces de fibras, variedades de chorro y teoría lagrangiana , Lambert Academic Publishing, 2013, ISBN 978-3-659-37815-7 ; arXiv :0908.1886