Notación de múltiples índices

Notación matemática

La notación multiíndice es una notación matemática que simplifica las fórmulas utilizadas en el cálculo multivariable , las ecuaciones diferenciales parciales y la teoría de distribuciones , al generalizar el concepto de un índice entero a una tupla ordenada de índices.

Definición y propiedades básicas

Un multiíndice n -dimensional es una tupla ${\textstyle n}$

${\displaystyle \alpha =(\alpha _{1},\alpha _{2},\ldots ,\alpha _{n})}$

de números enteros no negativos (es decir, un elemento del conjunto de números naturales de dimensión - , denotado ). ${\textstyle n}$ ${\displaystyle \mathbb {N} _{0}^{n}}$

Para multiíndices y , se define: ${\displaystyle \alpha ,\beta \in \mathbb {N} _{0}^{n}}$ ${\displaystyle x=(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})\in \mathbb {R} ^{n}}$

Suma y diferencia de componentes

${\displaystyle \alpha \pm \beta =(\alpha _{1}\pm \beta _{1},\,\alpha _{2}\pm \beta _{2},\ldots ,\,\alpha _{n}\pm \beta _{n})}$

Orden parcial

${\displaystyle \alpha \leq \beta \quad \Leftrightarrow \quad \alpha _{i}\leq \beta _{i}\quad \forall \,i\in \{1,\ldots ,n\}}$

Suma de componentes (valor absoluto)

${\displaystyle |\alpha |=\alpha _{1}+\alpha _{2}+\cdots +\alpha _{n}}$

Factorial

${\displaystyle \alpha !=\alpha _{1}!\cdot \alpha _{2}!\cdots \alpha _{n}!}$

Coeficiente binomial

${\displaystyle {\binom {\alpha }{\beta }}={\binom {\alpha _{1}}{\beta _{1}}}{\binom {\alpha _{2}}{\beta _{2}}}\cdots {\binom {\alpha _{n}}{\beta _{n}}}={\frac {\alpha !}{\beta !(\alpha -\beta )!}}}$

Coeficiente multinomial

$${\displaystyle {\binom {k}{\alpha }}={\frac {k!}{\alpha _{1}!\alpha _{2}!\cdots \alpha _{n}!}}={\frac {k!}{\alpha !}}}$$dónde . ${\displaystyle k:=|\alpha |\in \mathbb {N} _{0}}$

Fuerza

${\displaystyle x^{\alpha }=x_{1}^{\alpha _{1}}x_{2}^{\alpha _{2}}\ldots x_{n}^{\alpha _{n}}}$.

Derivada parcial de orden superior

$${\displaystyle \partial ^{\alpha }=\partial _{1}^{\alpha _{1}}\partial _{2}^{\alpha _{2}}\ldots \partial _{n}^{\alpha _{n}},}$$donde (ver también 4-gradiente ). A veces también se utiliza la notación. ^[1] ${\displaystyle \partial _{i}^{\alpha _{i}}:=\partial ^{\alpha _{i}}/\partial x_{i}^{\alpha _{i}}}$ ${\displaystyle D^{\alpha }=\partial ^{\alpha }}$

Algunas aplicaciones

La notación de índices múltiples permite la extensión de muchas fórmulas del cálculo elemental al caso de múltiples variables correspondiente. A continuación se presentan algunos ejemplos. En todos los siguientes, (o ), y (o ). ${\displaystyle x,y,h\in \mathbb {C} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \alpha ,\nu \in \mathbb {N} _{0}^{n}}$ ${\displaystyle f,g,a_{\alpha }\colon \mathbb {C} ^{n}\to \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$

Teorema multinomial

${\displaystyle \left(\sum _{i=1}^{n}x_{i}\right)^{k}=\sum _{|\alpha |=k}{\binom {k}{\alpha }}\,x^{\alpha }}$

Teorema multibinomial

$${\displaystyle (x+y)^{\alpha }=\sum _{\nu \leq \alpha }{\binom {\alpha }{\nu }}\,x^{\nu }y^{\alpha -\nu }.}$$Nótese que, dado que x + y es un vector y α es un multiíndice, la expresión de la izquierda es la abreviatura de ( x ₁ + y ₁ ) ^{α ₁} ⋯( x _n + y _n ) ^{α _n} .

Fórmula de Leibniz

Para funciones fluidas y , ${\textstyle f}$ ${\textstyle g}$ $${\displaystyle \partial ^{\alpha }(fg)=\sum _{\nu \leq \alpha }{\binom {\alpha }{\nu }}\,\partial ^{\nu }f\,\partial ^{\alpha -\nu }g.}$$

Serie de Taylor

Para una función analítica en variables se tiene De hecho, para una función suficientemente suave, tenemos la expansión de Taylor similar donde el último término (el resto) depende de la versión exacta de la fórmula de Taylor. Por ejemplo, para la fórmula de Cauchy (con resto entero), se obtiene ${\textstyle f}$ ${\textstyle n}$ $${\displaystyle f(x+h)=\sum _{\alpha \in \mathbb {N} _{0}^{n}}{{\frac {\partial ^{\alpha }f(x)}{\alpha !}}h^{\alpha }}.}$$ $${\displaystyle f(x+h)=\sum _{|\alpha |\leq n}{{\frac {\partial ^{\alpha }f(x)}{\alpha !}}h^{\alpha }}+R_{n}(x,h),}$$ $${\displaystyle R_{n}(x,h)=(n+1)\sum _{|\alpha |=n+1}{\frac {h^{\alpha }}{\alpha !}}\int _{0}^{1}(1-t)^{n}\partial ^{\alpha }f(x+th)\,dt.}$$

Operador diferencial parcial lineal general

Un operador diferencial parcial lineal formal de orden -ésimo en variables se escribe como ${\textstyle N}$ ${\textstyle n}$ $${\displaystyle P(\partial )=\sum _{|\alpha |\leq N}{a_{\alpha }(x)\partial ^{\alpha }}.}$$

Integración por partes

Para funciones suaves con soporte compacto en un dominio acotado se tiene Esta fórmula se utiliza para la definición de distribuciones y derivadas débiles . ${\displaystyle \Omega \subset \mathbb {R} ^{n}}$ $${\displaystyle \int _{\Omega }u(\partial ^{\alpha }v)\,dx=(-1)^{|\alpha |}\int _{\Omega }{(\partial ^{\alpha }u)v\,dx}.}$$

Un ejemplo de teorema

Si son multiíndices y , entonces ${\displaystyle \alpha ,\beta \in \mathbb {N} _{0}^{n}}$ ${\displaystyle x=(x_{1},\ldots ,x_{n})}$ $${\displaystyle \partial ^{\alpha }x^{\beta }={\begin{cases}{\frac {\beta !}{(\beta -\alpha )!}}x^{\beta -\alpha }&{\text{if}}~\alpha \leq \beta ,\\0&{\text{otherwise.}}\end{cases}}}$$

Prueba

La prueba se sigue de la regla de potencia para la derivada ordinaria ; si α y β están en , entonces ${\textstyle \{0,1,2,\ldots \}}$

Supongamos que , y . Entonces tenemos que ${\displaystyle \alpha =(\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n})}$ ${\displaystyle \beta =(\beta _{1},\ldots ,\beta _{n})}$ ${\displaystyle x=(x_{1},\ldots ,x_{n})}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\partial ^{\alpha }x^{\beta }&={\frac {\partial ^{\vert \alpha \vert }}{\partial x_{1}^{\alpha _{1}}\cdots \partial x_{n}^{\alpha _{n}}}}x_{1}^{\beta _{1}}\cdots x_{n}^{\beta _{n}}\\&={\frac {\partial ^{\alpha _{1}}}{\partial x_{1}^{\alpha _{1}}}}x_{1}^{\beta _{1}}\cdots {\frac {\partial ^{\alpha _{n}}}{\partial x_{n}^{\alpha _{n}}}}x_{n}^{\beta _{n}}.\end{aligned}}}$$

Para cada uno en , la función sólo depende de . En lo anterior, cada diferenciación parcial se reduce por tanto a la diferenciación ordinaria correspondiente . Por lo tanto, de la ecuación ( 1 ), se deduce que se anula si para al menos uno en . Si este no es el caso, es decir, si como índices múltiples, entonces para cada y se deduce el teorema. QED ${\textstyle i}$ ${\textstyle \{1,\ldots ,n\}}$ ${\displaystyle x_{i}^{\beta _{i}}}$ ${\displaystyle x_{i}}$ ${\displaystyle \partial /\partial x_{i}}$ ${\displaystyle d/dx_{i}}$ ${\displaystyle \partial ^{\alpha }x^{\beta }}$ ${\textstyle \alpha _{i}>\beta _{i}}$ ${\textstyle i}$ ${\textstyle \{1,\ldots ,n\}}$ ${\textstyle \alpha \leq \beta }$ $${\displaystyle {\frac {d^{\alpha _{i}}}{dx_{i}^{\alpha _{i}}}}x_{i}^{\beta _{i}}={\frac {\beta _{i}!}{(\beta _{i}-\alpha _{i})!}}x_{i}^{\beta _{i}-\alpha _{i}}}$$ ${\displaystyle i}$

Véase también

• Notación de Einstein
• Notación de índice
• Cálculo de Ricci

Referencias

1. Reed, M.; Simon, B. (1980). Métodos de física matemática moderna: análisis funcional I (edición revisada y ampliada). San Diego: Academic Press. pág. 319. ISBN 0-12-585050-6.

• Saint Raymond, Xavier (1991). Introducción elemental a la teoría de operadores pseudodiferenciales . Cap. 1.1. CRC Press. ISBN 0-8493-7158-9 

Este artículo incorpora material de la derivada multiíndice de una potencia en PlanetMath , que se encuentra bajo la licencia Creative Commons Attribution/Share-Alike License .