Teorema de Peetre

En matemáticas , el teorema de Peetre (lineal) , llamado así por Jaak Peetre , es un resultado del análisis funcional que proporciona una caracterización de los operadores diferenciales en términos de su efecto sobre los espacios de funciones generalizados , y sin mencionar la diferenciación en términos explícitos. El teorema de Peetre es un ejemplo de un teorema de orden finito en el que una función o un funtor , definido de una manera muy general, puede de hecho demostrarse que es un polinomio debido a alguna condición extraña o simetría impuesta sobre él.

En este artículo se tratan dos formas del teorema de Peetre. La primera es la versión original, que, aunque es bastante útil por sí misma, en realidad es demasiado general para la mayoría de las aplicaciones.

El teorema original de Peetre

Sea M una variedad suave y sean E y F dos fibrados vectoriales en M .

${\displaystyle \Gamma ^{\infty }(E),\ {\hbox{and}}\ \Gamma ^{\infty }(F)}$

sean los espacios de secciones suaves de E y F . Un operador

${\displaystyle D:\Gamma ^{\infty }(E)\rightarrow \Gamma ^{\infty }(F)}$

es un morfismo de haces que es lineal en secciones tales que el soporte de D no es creciente : supp Ds ⊆ supp s para cada sección lisa s de E. El teorema original de Peetre afirma que, para cada punto p en M , existe un entorno U de p y un entero k (dependiente de U ) tal que D es un operador diferencial de orden k sobre U. Esto significa que D se factoriza a través de una aplicación lineal i _D desde el k - jet de secciones de E al espacio de secciones lisas de F :

${\displaystyle D=i_{D}\circ j^{k}}$

dónde

${\displaystyle j^{k}:\Gamma ^{\infty }E\rightarrow J^{k}E}$

es el operador k -jet y

${\displaystyle i_{D}:J^{k}E\rightarrow F}$

es un mapeo lineal de fibrados vectoriales.

Prueba

El problema es invariante bajo difeomorfismo local, por lo que es suficiente probarlo cuando M es un conjunto abierto en R ⁿ y E y F son fibrados triviales. En este punto, se basa principalmente en dos lemas:

• Lema 1. Si se satisfacen las hipótesis del teorema, entonces para todo x ∈ M y C > 0, existe un entorno V de x y un entero positivo k tal que para cualquier y ∈ V \{ x } y para cualquier sección s de E cuyo k -jet se anula en y ( j ^k s ( y )=0), tenemos | Ds ( y )|<C.
• Lema 2. El primer lema es suficiente para demostrar el teorema.

Comenzamos con la demostración del Lema 1.

Supongamos que el lema es falso. Entonces hay una secuencia x _k que tiende a x , y una secuencia de bolas muy disjuntas B _k alrededor de x _k (lo que significa que la distancia geodésica entre dos bolas cualesquiera de este tipo no es cero), y secciones s _k de E sobre cada B _k tales que j ^k s _k ( x _k )=0 pero | Ds _k ( x _k )|≥C>0.

Sea ρ( x ) una función de protuberancia estándar para la bola unitaria en el origen: una función suave de valor real que es igual a 1 en B _1/2 (0), que se desvanece hasta un orden infinito en el límite de la bola unitaria.

Considere cada otra sección s _2k . En x _2k , estos satisfacen

j ^2k s _2k ( x _2k )=0.

Supongamos que se da 2k . Entonces, como estas funciones son suaves y cada una satisface j ^2k ( s _2k )( x _2k )=0, es posible especificar una bola más pequeña B′ _δ ( x _2k ) tal que las derivadas de orden superior obedezcan la siguiente estimación:

${\displaystyle \sum _{|\alpha |\leq k}\ \sup _{y\in B'_{\delta }(x_{2k})}|\nabla ^{\alpha }s_{k}(y)|\leq {\frac {1}{M_{k}}}\left({\frac {\delta }{2}}\right)^{k}}$

dónde

${\displaystyle M_{k}=\sum _{|\alpha |\leq k}\sup |\nabla ^{\alpha }\rho |.}$

Ahora

${\displaystyle \rho _{2k}(y):=\rho \left({\frac {y-x_{2k}}{\delta }}\right)}$

es una función de relieve estándar admitida en B′ _δ ( x _2k ), y la derivada del producto s _2k ρ _2k está acotada de tal manera que

${\displaystyle \max _{|\alpha |\leq k}\ \sup _{y\in B'_{\delta }(x_{2k})}|\nabla ^{\alpha }(\rho _{2k}s_{2k})|\leq 2^{-k}.}$

Como resultado, debido a que la siguiente serie y todas las sumas parciales de sus derivadas convergen uniformemente

${\displaystyle q(y)=\sum _{k=1}^{\infty }\rho _{2k}(y)s_{2k}(y),}$

q ( ​​y ) es una función suave en todos los V .

Ahora observamos que como s _2k y _2k s _2k son iguales en un entorno de x _2k , ${\displaystyle \rho }$

${\displaystyle \lim _{k\rightarrow \infty }|Dq(x_{2k})|\geq C}$

Por lo tanto, por continuidad | Dq ( x )|≥ C>0. Por otra parte,

${\displaystyle \lim _{k\rightarrow \infty }Dq(x_{2k+1})=0}$

ya que Dq ( x _2k+1 )=0 porque q es idénticamente cero en B _2k+1 y D es un soporte no creciente. Por lo tanto, Dq ( x )=0. Esto es una contradicción.

Ahora demostramos el lema 2.

En primer lugar, prescindamos de la constante C del primer lema. Demostramos que, bajo las mismas hipótesis que el Lema 1, |Ds(y)|=0. Elijamos una y en V \{ x } tal que j ^k s (y)=0 pero | Ds ( y )|= g >0. Reescalemos s por un factor de 2 C /g. Entonces, si g no es cero, por la linealidad de D , | Ds ( y )|=2 C > C , lo cual es imposible por el Lema 1. Esto demuestra el teorema en el entorno perforado V \{ x }.

Ahora, debemos continuar el operador diferencial hasta el punto central x en el entorno perforado. D es un operador diferencial lineal con coeficientes suaves. Además, envía gérmenes de funciones suaves a gérmenes de funciones suaves en x también. Por lo tanto, los coeficientes de D también son suaves en x .

Una aplicación especializada

Sea M una variedad compacta y suave (posiblemente con borde ), y E y F sean fibrados vectoriales de dimensión finita en M . Sea

${\displaystyle \Gamma ^{\infty }(E)}$sea ​​la colección de secciones suaves de E . Un operador

${\displaystyle D:\Gamma ^{\infty }(E)\rightarrow \Gamma ^{\infty }(F)}$

es una función suave (de variedades de Fréchet ) que es lineal en las fibras y respeta el punto base en M :

${\displaystyle \pi \circ D_{p}=p.}$

El teorema de Peetre afirma que para cada operador D existe un entero k tal que D es un operador diferencial de orden k . En concreto, podemos descomponer

${\displaystyle D=i_{D}\circ j^{k}}$

donde es una aplicación de los chorros de las secciones de E al fibrado F . Véase también operadores diferenciales intrínsecos . ${\displaystyle i_{D}}$

Ejemplo: Laplaciano

Considere el siguiente operador:

${\displaystyle (Lf)(x_{0})=\lim _{r\to 0}{\frac {2d}{r^{2}}}{\frac {1}{|S_{r}|}}\int _{S_{r}}(f(x)-f(x_{0}))dx}$

donde y es la esfera centrada en con radio . De hecho, este es el laplaciano. Demostramos que es un operador diferencial según el teorema de Peetre. La idea principal es que, dado que se define solo en términos del comportamiento de cerca de , es de naturaleza local; en particular, si es localmente cero, entonces lo es y, por lo tanto, el soporte no puede crecer. ${\displaystyle f\in C^{\infty }(\mathbb {R} ^{d})}$ ${\displaystyle S_{r}}$ ${\displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle Lf(x_{0})}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle Lf}$

La prueba técnica es la siguiente:

Sean y y los paquetes triviales de rango . ${\displaystyle M=\mathbb {R} ^{d}}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle 1}$

Entonces y son simplemente el espacio de funciones suaves en . Como haz, es el conjunto de funciones suaves en el conjunto abierto y la restricción es la restricción de la función. ${\displaystyle \Gamma ^{\infty }(E)}$ ${\displaystyle \Gamma ^{\infty }(F)}$ ${\displaystyle C^{\infty }(\mathbb {R} ^{d})}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}(U)}$ ${\displaystyle U}$

Para ver si efectivamente es un morfismo, necesitamos comprobar si hay conjuntos abiertos y tales que y . Esto es claro porque para , tanto y son simplemente , ya que el eventualmente se encuentra dentro de ambos y de todos modos. ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle (Lu)|V=L(u|V)}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V\subseteq U}$ ${\displaystyle u\in C^{\infty }(U)}$ ${\displaystyle x\in V}$ ${\displaystyle [(Lu)|V](x)}$ ${\displaystyle [L(u|V)](x)}$ ${\displaystyle \lim _{r\to 0}{\frac {2d}{r^{2}}}{\frac {1}{|S_{r}|}}\int _{S_{r}}(u(y)-u(x))dy}$ ${\displaystyle S_{r}}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle V}$

Es fácil comprobar que es lineal: ${\displaystyle L}$

${\displaystyle L(f+g)=L(f)+L(g)}$y ${\displaystyle L(af)=aL(f)}$

Finalmente, comprobamos que es local en el sentido de que . Si , entonces tal que en la bola de radio centrada en . Por lo tanto, para , ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle suppLf\subseteq suppf}$ ${\displaystyle x_{0}\notin supp(f)}$ ${\displaystyle \exists r>0}$ ${\displaystyle f=0}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle x\in B(x_{0},r)}$

${\displaystyle \int _{S_{r'}}(f(y)-f(x))dy=0}$

para , y por lo tanto . Por lo tanto, . ${\displaystyle r'<r-|x-x_{0}|}$ ${\displaystyle (Lf)(x)=0}$ ${\displaystyle x_{0}\notin suppLf}$

Entonces, según el teorema de Peetre, es un operador diferencial. ${\displaystyle L}$

Referencias

• Peetre, J., Une caractérisation abstraite des opérateurs différentiels, Math. Escanear. 7 (1959), 211-218.
• Peetre, J., Rectificación del artículo Une caractérisation abstraite des opérateurs différentiels , Math. Escanear. 8 (1960), 116-120.
• Terng, CL , Fibrados vectoriales naturales y operadores diferenciales naturales , Am. J. Math. 100 (1978), 775-828.