Cálculo diferencial sobre álgebras conmutativas

En matemáticas, el cálculo diferencial sobre álgebras conmutativas es parte del álgebra conmutativa basada en la observación de que la mayoría de los conceptos conocidos del cálculo diferencial clásico pueden formularse en términos puramente algebraicos. Ejemplos de esto son:

1. Toda la información topológica de una variedad suave está codificada en las propiedades algebraicas de su álgebra de funciones suaves como en el teorema de Banach-Stone . ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle A=C^{\infty }(M),}$
2. Los haces de vectores corresponden a módulos proyectivos generados finitamente a través del funtor que asocia a un haz de vectores su módulo de secciones. ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle A,}$ ${\displaystyle \Gamma }$
3. Los campos vectoriales se identifican naturalmente con derivaciones del álgebra . ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle A}$
4. De manera más general, un operador diferencial lineal de orden k, que envía secciones de un paquete de vectores a secciones de otro paquete, se considera un mapa lineal entre los módulos asociados, de modo que para cualquier elemento : ${\displaystyle E\rightarrow M}$ ${\displaystyle F\rightarrow M}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \Delta :\Gamma (E)\to \Gamma (F)}$ ${\displaystyle k+1}$ ${\displaystyle f_{0},\ldots ,f_{k}\in A}$

$${\displaystyle \left[f_{k}\left[f_{k-1}\left[\cdots \left[f_{0},\Delta \right]\cdots \right]\right]\right]=0}$$

${\displaystyle [f,\Delta ]:\Gamma (E)\to \Gamma (F)}$

$${\displaystyle [f,\Delta ](s)=\Delta (f\cdot s)-f\cdot \Delta (s).}$$

Al denotar el conjunto de operadores diferenciales lineales de orden ^th de un módulo a un módulo obtenemos un bifunctor con valores en la categoría de módulos. Luego se obtienen otros conceptos naturales del cálculo, como espacios en chorro , formas diferenciales que representan objetos de los functores y functores relacionados. ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle \mathrm {Diff} _{k}(P,Q)}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \mathrm {Diff} _{k}}$

Visto desde este punto de vista, el cálculo puede de hecho entenderse como la teoría de estos functores y sus objetos representativos.

Reemplazar los números reales con cualquier anillo conmutativo y el álgebra con cualquier álgebra conmutativa, lo dicho anteriormente sigue siendo significativo, por lo tanto, se puede desarrollar cálculo diferencial para álgebras conmutativas arbitrarias. Muchos de estos conceptos se utilizan ampliamente en geometría algebraica , geometría diferencial y cálculo secundario . Además, la teoría se generaliza naturalmente al ámbito del álgebra conmutativa graduada , lo que permite una base natural del cálculo en supervariedades , variedades graduadas y conceptos asociados como la integral de Berezin . ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle C^{\infty }(M)}$

Ver también

• Cálculo secundario y física cohomológica.
• Álgebra diferencial  - Estudio algebraico de ecuaciones diferenciales
• Espectro de un anillo  : conjunto de ideales principales de un anillo.

Referencias

• J. Nestruev, Múltiples suaves y observables , Textos de posgrado en matemáticas 220 , Springer, 2002.
• Nestruev, Jet (10 de septiembre de 2020). Colectores suaves y observables . Textos de Posgrado en Matemáticas . vol. 220. Cham, Suiza: Springer Nature . ISBN 978-3-030-45649-8. OCLC  1195920718.
• IS Krasil'shchik, "Conferencias sobre operadores diferenciales lineales sobre álgebras conmutativas". Impresión electrónica DIPS-01/99.
• IS Krasil'shchik, AM Vinogradov (eds) "Aspectos algebraicos del cálculo diferencial", Acta Appl. Matemáticas. 49 (1997), Eprints: DIPS-01/96, DIPS-02/96, DIPS-03/96, DIPS-04/96, DIPS-05/96, DIPS-06/96, DIPS-07/96, DIPS -08/96.
• IS Krasil'shchik, AM Verbovetsky, "Métodos homológicos en ecuaciones de física matemática", edición abierta. y Ciencias, Opava (República Checa), 1998; Impresión electrónica arXiv:math/9808130v2.
• G. Sardanashvily, Conferencias sobre geometría diferencial de módulos y anillos , Lambert Academic Publishing, 2012; Eprint arXiv:0910.1515 [math-ph] 137 páginas.
• AM Vinogradov, "El álgebra lógica para la teoría de operadores diferenciales lineales", Dokl. Akád. Nauk SSSR , 295 (5) (1972) 1025-1028; Traducción al inglés. en matemáticas soviéticas. Dokl. 13 (4) (1972), 1058-1062.
• Vinogradov, AM (2001). Análisis cohomológico de ecuaciones diferenciales parciales y cálculo secundario . Sociedad Matemática Estadounidense. ISBN 9780821897997.
• AM Vinogradov, "Algunos nuevos sistemas homológicos asociados con el cálculo diferencial sobre álgebras conmutativas" (ruso), Uspechi Mat.Nauk, 1979, 34 (6), 145-150; traducción al inglés. en matemáticas rusas. Encuestas , 34 (6) (1979), 250-255.