El error de aproximación en un valor de datos es la discrepancia entre un valor exacto y alguna aproximación al mismo. Este error se puede expresar como un error absoluto (la cantidad numérica de la discrepancia) o como un error relativo (el error absoluto dividido por el valor de los datos).
Un error de aproximación puede ocurrir por una variedad de razones, entre ellas una precisión de una computadora o un error de medición (por ejemplo, la longitud de una hoja de papel es de 4,53 cm pero la regla solo le permite estimarla al 0,1 cm más cercano, por lo que mide es de 4,5 cm).
En el campo matemático del análisis numérico , la estabilidad numérica de un algoritmo indica hasta qué punto los errores en la entrada del algoritmo conducirán a grandes errores en la salida; algoritmos numéricamente estables para no producir un error significativo en la salida cuando la entrada tiene un formato incorrecto y viceversa. [1]
Dado algún valor v , decimos que v approx se aproxima a v con error absoluto ε >0 si [2] [3]
donde las barras verticales indican el valor absoluto .
Decimos que v approx se aproxima a v con error relativo η >0 si
.
Si v ≠ 0, entonces
El error porcentual (una expresión del error relativo) es [3]
Un límite de error es un límite superior del tamaño relativo o absoluto de un error de aproximación. [4]
Por ejemplo, si el valor exacto es 50 y la aproximación es 49,9, entonces el error absoluto es 0,1 y el error relativo es 0,1/50 = 0,002 = 0,2%. Como ejemplo práctico, al medir un vaso de precipitados de 6 mL, el valor leído fue de 5 mL. La lectura correcta es de 6 ml, lo que significa que el porcentaje de error en esa situación particular es, redondeado, 16,7 %.
El error relativo se utiliza a menudo para comparar aproximaciones de números de tamaños muy diferentes; por ejemplo, aproximar el número 1.000 con un error absoluto de 3 es, en la mayoría de las aplicaciones, mucho peor que aproximar el número 1.000.000 con un error absoluto de 3; en el primer caso el error relativo es 0,003 mientras que en el segundo es sólo 0,000003.
Hay dos características del error relativo que deben tenerse en cuenta. Primero, el error relativo no está definido cuando el valor verdadero es cero tal como aparece en el denominador (ver más abajo). En segundo lugar, el error relativo sólo tiene sentido cuando se mide en una escala de razón (es decir, una escala que tiene un cero verdaderamente significativo); de lo contrario, es sensible a las unidades de medida. Por ejemplo, cuando un error absoluto en una medición de temperatura dada en la escala Celsius es de 1 °C y el valor verdadero es de 2 °C, el error relativo es de 0,5. Pero si se hace exactamente la misma aproximación con la escala Kelvin , un error absoluto de 1 K con el mismo valor verdadero de 275,15 K = 2 °C da un error relativo de 3,63 × 10−3 .
Las afirmaciones sobre errores relativos son sensibles a la suma de constantes, pero no a la multiplicación por constantes. Para los errores absolutos ocurre lo contrario: son sensibles a la multiplicación por constantes, pero no a la suma de constantes. [5] : 34
Decimos que un valor real v es computable polinomialmente con error absoluto a partir de una entrada si, para cada número racional ε >0, es posible calcular un número racional v approx que se aproxima a v con error absoluto ε , en tiempo polinomio en el tamaño de la entrada y el tamaño de codificación de ε (que es O(log(1/ ε )). De manera análoga, v es computable polinomialmente con error relativo si, para cada número racional η >0, es posible calcular un número racional v approx que se aproxima a v con error relativo η , en tiempo polinomio en el tamaño de la entrada y el tamaño de codificación de η .
Si v es polinomialmente computable con error relativo (mediante algún algoritmo llamado REL), entonces también es polinomialmente computable con error absoluto. Prueba . Sea ε >0 el error absoluto deseado. Primero, use REL con error relativo η= 1/2; encuentre un número racional r 1 tal que | v - r 1 | ≤ | v |/2, y por tanto |v| ≤ 2 | r 1 |. Si r 1 =0, entonces v =0 y terminamos. Dado que REL es polinomio, la longitud de codificación de r 1 es polinomio en la entrada. Ahora, ejecute REL nuevamente con un error relativo η=ε/ (2 |r 1 |). Esto produce un número racional r 2 que satisface | v - r 2 | ≤ ε|v | / (2 r 1 ) ≤ ε , por lo que tiene error absoluto ε como se desea. [5] : 34
La implicación inversa no suele ser cierta. Pero, si asumimos que existe algún límite inferior positivo en |v| se puede calcular en tiempo polinómico, por ejemplo | v | > b > 0, y v es polinomialmente computable con error absoluto (mediante algún algoritmo llamado ABS), entonces también es polinomialmente computable con error relativo, ya que simplemente podemos llamar a ABS con error absoluto ε = η b.
Un algoritmo que, para cada número racional η >0, calcula un número racional v approx que se aproxima a v con error relativo η , en tiempo polinómico en el tamaño de la entrada y 1/ η (en lugar de log(1/ η )), se llama FPTAS .
En la mayoría de los instrumentos indicadores, la precisión está garantizada hasta un cierto porcentaje de la lectura a escala completa. Los límites de estas desviaciones de los valores especificados se denominan errores límite o errores de garantía. [6]
Las definiciones se pueden extender al caso en que y son vectores n -dimensionales , reemplazando el valor absoluto con una n -norma . [7]
