Teorema multinomial

En matemáticas , el teorema multinomial describe cómo desarrollar una potencia de una suma en términos de potencias de los términos de esa suma. Es la generalización del teorema binomial de binomios a multinomiales .

Teorema

Para cualquier entero positivo $m$ y cualquier entero no negativo $n$ , el teorema multinomial describe cómo una suma con $m$ términos se expande cuando se eleva a la $n$ ésima potencia: donde es un coeficiente multinomial . La suma se toma sobre todas las combinaciones de índices enteros no negativos $k$ $1$ a $k$ $m$ tales que la suma de todos $los k$ $i$ es $n$ . Es decir, para cada término en la expansión, los exponentes de $x$ $i$ deben sumar $n$ . ^[1]^[a] $(x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{m})^{n}=\sum _{\begin{array}{c}k_{1}+k_{2}+\cdots +k_{m}=n\\k_{1},k_{2},\cdots ,k_{m}\geq 0\end{array}}{n \choose k_{1},k_{2},\ldots ,k_{m}}x_{1}^{k_{1}}\cdot x_{2}^{k_{2}}\cdots x_{m}^{k_{m}}$ ${n \choose k_{1},k_{2},\ldots ,k_{m}}={\frac {n!}{k_{1}!\,k_{2}!\cdots k_{m}!}}$

En el caso $m = 2$ , esta afirmación se reduce a la del teorema binomial . ^[1]

Ejemplo

La tercera potencia del trinomio $a + b + c$ está dada por Esto se puede calcular a mano usando la propiedad distributiva de la multiplicación sobre la suma y combinando términos iguales, pero también se puede hacer (quizás más fácilmente) con el teorema multinomial. Es posible "leer" los coeficientes multinomiales de los términos usando la fórmula del coeficiente multinomial. Por ejemplo, el término tiene coeficiente , el término tiene coeficiente , y así sucesivamente. $(a+b+c)^{3}=a^{3}+b^{3}+c^{3}+3a^{2}b+3a^{2}c+3b^{2}a+3b^{2}c+3c^{2}a+3c^{2}b+6abc.$ $Estilo de visualización a^{2}b^{0}c^{1}}$ ${3 \choose 2,0,1}={\frac {3!}{2!\cdot 0!\cdot 1!}}={\frac {6}{2\cdot 1\cdot 1}}=3$ $Estilo de visualización a^{1}b^{1}c^{1}}$ ${3 \choose 1,1,1}={\frac {3!}{1!\cdot 1!\cdot 1!}}={\frac {6}{1\cdot 1\cdot 1}}=6$

Expresión alternativa

El enunciado del teorema se puede escribir de forma concisa utilizando multiíndices :

(x_{1}+\cdots +x_{m})^{n}=\sum _{|\alpha |=n}{n \choose \alpha }x^{\alpha }

dónde

\alpha =(\alpha _{1},\alpha _{2},\puntos ,\alpha _{m})

x^{\alpha }=x_{1}^{\alpha _{1}}x_{2}^{\alpha _{2}}\cdots x_{m}^{\alpha _{m}}

Prueba

Esta prueba del teorema multinomial utiliza el teorema binomial y la inducción en $m$ .

Primero, para $m = 1$ , ambos lados son iguales $a x 1 n$ ya que solo hay un término $k 1 = n$ en la suma. Para el paso de inducción, supongamos que el teorema multinomial se cumple para $m$ . Entonces

{\begin{aligned}&(x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{m}+x_{m+1})^{n}=(x_{1}+x_{2}+\cdots +(x_{m}+x_{m+1}))^{n}\\[6pt]={}&\sum _{k_{1}+k_{2}+\cdots +k_{m-1}+K=n}{n \choose k_{1},k_{2},\ldots ,k_{m-1},K}x_{1}^{k_{1}}x_{2}^{k_{2}}\cdots x_{m-1}^{k_{m-1}}(x_{m}+x_{m+1})^{K}\end{aligned}}

por la hipótesis de inducción. Aplicando el teorema del binomio al último factor,

=\sum _{k_{1}+k_{2}+\cdots +k_{m-1}+K=n}{n \choose k_{1},k_{2},\ldots ,k_{m-1},K}x_{1}^{k_{1}}x_{2}^{k_{2}}\cdots x_{m-1}^{k_{m-1}}\sum _{k_{m}+k_{m+1}=K}{K \choose k_{m},k_{m+1}}x_{m}^{k_{m}}x_{m+1}^{k_{m+1}}

=\sum _{k_{1}+k_{2}+\cdots +k_{m-1}+k_{m}+k_{m+1}=n}{n \choose k_{1},k_{2},\ldots ,k_{m-1},k_{m},k_{m+1}}x_{1}^{k_{1}}x_{2}^{k_{2}}\cdots x_{m-1}^{k_{m-1}}x_{m}^{k_{m}}x_{m+1}^{k_{m+1}}

lo que completa la inducción. El último paso sigue porque

{n \choose k_{1},k_{2},\ldots ,k_{m-1},K}{K \choose k_{m},k_{m+1}}={n \choose k_{1},k_{2},\ldots ,k_{m-1},k_{m},k_{m+1}},

como se puede ver fácilmente escribiendo los tres coeficientes usando factoriales de la siguiente manera:

{\frac {n!}{k_{1}!k_{2}!\cdots k_{m-1}!K!}}{\frac {K!}{k_{m}!k_{m+1}!}}={\frac {n!}{k_{1}!k_{2}!\cdots k_{m+1}!}}.

Coeficientes multinomiales

Los números

{n \choose k_{1},k_{2},\ldots ,k_{m}}

En el teorema aparecen los coeficientes multinomiales , que pueden expresarse de diversas maneras, incluso como producto de coeficientes binomiales o de factoriales :

{n \choose k_{1},k_{2},\ldots ,k_{m}}={\frac {n!}{k_{1}!\,k_{2}!\cdots k_{m}!}}={k_{1} \choose k_{1}}{k_{1}+k_{2} \choose k_{2}}\cdots {k_{1}+k_{2}+\cdots +k_{m} \choose k_{m}}

Suma de todos los coeficientes multinomiales

La sustitución de $x i = 1$ por todo $i$ en el teorema multinomial

\sum _{k_{1}+k_{2}+\cdots +k_{m}=n}{n \choose k_{1},k_{2},\ldots ,k_{m}}x_{1}^{k_{1}}x_{2}^{k_{2}}\cdots x_{m}^{k_{m}}=(x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{m})^{n}

da inmediatamente que

\sum _{k_{1}+k_{2}+\cdots +k_{m}=n}{n \choose k_{1},k_{2},\ldots ,k_{m}}=m^{n}.

Número de coeficientes multinomiales

El número de términos en una suma multinomial, $# n, m$ , es igual al número de monomios de grado $n$ en las variables $x 1, \dots, x m$ :

\#_{n,m}={n+m-1 \choose m-1}.

El recuento se puede realizar fácilmente utilizando el método de estrellas y barras .

Valoración de coeficientes multinomiales

La mayor potencia de un primo $p$ que divide un coeficiente multinomial se puede calcular utilizando una generalización del teorema de Kummer .

Asintóticos

Por la aproximación de Stirling , o equivalentemente la expansión asintótica de la función log-gamma , por ejemplo, $\log {\binom {kn}{n,n,\cdots ,n}}=kn\log(k)+{\frac {1}{2}}\left(\log(k)-(k-1)\log(2\pi n)\right)-{\frac {k^{2}-1}{12kn}}+{\frac {k^{4}-1}{360k^{3}n^{3}}}-{\frac {k^{6}-1}{1260k^{5}n^{5}}}+O\left({\frac {1}{n^{6}}}\right)$ ${\binom {2n}{n}}\sim {\frac {2^{2n}}{\sqrt {n\pi }}}$

Interpretaciones

Formas de colocar objetos en los contenedores

Los coeficientes multinomiales tienen una interpretación combinatoria directa, como el número de formas de depositar $n$ objetos distintos en $m$ contenedores distintos, con $k 1$ objetos en el primer contenedor, $k 2$ objetos en el segundo contenedor, y así sucesivamente. ^[2]

Número de formas de seleccionar según una distribución

En mecánica estadística y combinatoria , si se tiene una distribución numérica de etiquetas, los coeficientes multinomiales surgen naturalmente de los coeficientes binomiales. Dada una distribución numérica ${n i}$ en un conjunto de $N$ elementos totales, $n i$ representa el número de elementos a los que se les dará la etiqueta $i$ . (En mecánica estadística, $i$ es la etiqueta del estado energético).

El número de arreglos se encuentra por

Elegir $n 1$ del total $de N$ para etiquetarlo como 1. Esto se puede hacer de varias maneras. ${\tbinom {N}{n_{1}}}$
De los $N - n 1$ elementos restantes, elija $n 2$ para etiquetar 2. Esto se puede hacer de varias maneras. ${\tbinom {N-n_{1}}{n_{2}}}$
De los $N - n 1 - n 2$ elementos restantes, elija $n 3$ para etiquetar 3. Nuevamente, esto se puede hacer de varias maneras. ${\tbinom {N-n_{1}-n_{2}}{n_{3}}}$

Multiplicando el número de opciones en cada paso se obtiene:

{N \choose n_{1}}{N-n_{1} \choose n_{2}}{N-n_{1}-n_{2} \choose n_{3}}\cdots ={\frac {N!}{(N-n_{1})!n_{1}!}}\cdot {\frac {(N-n_{1})!}{(N-n_{1}-n_{2})!n_{2}!}}\cdot {\frac {(N-n_{1}-n_{2})!}{(N-n_{1}-n_{2}-n_{3})!n_{3}!}}\cdots .

La cancelación da como resultado la fórmula indicada anteriormente.

Número de permutaciones únicas de palabras

El coeficiente multinomial

{\binom {n}{k_{1},\ldots ,k_{m}}}

es también el número de formas distintas de permutar un multiconjunto de $n$ elementos, donde $k i$ es la multiplicidad de cada uno de los elementos $i$ . Por ejemplo, el número de permutaciones distintas de las letras de la palabra MISSISSIPPI, que tiene 1 M, 4 Is, 4 Ss y 2 Ps, es

{11 \choose 1,4,4,2}={\frac {11!}{1!\,4!\,4!\,2!}}=34650.

Triángulo de Pascal generalizado

Se puede utilizar el teorema multinomial para generalizar el triángulo o la pirámide de Pascal al símplex de Pascal . Esto proporciona una forma rápida de generar una tabla de búsqueda para coeficientes multinomiales.

Véase también

Referencias

^ Al igual que en el teorema del binomio , las cantidades de la forma $x 0$ que aparecen se toman como iguales a 1, incluso cuando $x$ es igual a cero .

^ ab Stanley, Richard (2012), Combinatoria enumerativa , vol. 1 (2.ª ed.), Cambridge University Press, §1.2
^ Instituto Nacional de Estándares y Tecnología (11 de mayo de 2010). "Biblioteca digital de funciones matemáticas del NIST". Sección 26.4 . Consultado el 30 de agosto de 2010 .