Función gamma

Extensión de la función factorial

En matemáticas , la función gamma (representada por Γ , la letra gamma mayúscula del alfabeto griego ) es una extensión de uso común de la función factorial para números complejos . La función gamma se define para todos los números complejos excepto los enteros no positivos. Para cada entero positivo n , $${\displaystyle \Gamma (n)=(n-1)!\,.}$$

Derivada por Daniel Bernoulli , para números complejos con una parte real positiva, la función gamma se define mediante una integral impropia convergente :

$${\displaystyle \Gamma (z)=\int _{0}^{\infty }t^{z-1}e^{-t}{\text{ d}}t,\ \qquad \Re (z)>0\,.}$$

La función gamma se define entonces como la continuación analítica de esta función integral a una función meromórfica que es holomorfa en todo el plano complejo excepto cero y los enteros negativos, donde la función tiene polos simples . ^{[ aclaración necesaria ]}

La función gamma no tiene ceros, por lo que la función gamma recíproca ⁠1/Γ( z )⁠ es una función entera . De hecho, la función gamma corresponde a la transformada de Mellin de la función exponencial negativa :

$${\displaystyle \Gamma (z)={\mathcal {M}}\{e^{-x}\}(z)\,.}$$

Existen otras extensiones de la función factorial, pero la función gamma es la más popular y útil. Es un componente de varias funciones de distribución de probabilidad y, como tal, es aplicable en los campos de la probabilidad y la estadística , así como en la combinatoria .

Motivación

${\displaystyle \Gamma (x+1)}$interpola la función factorial a valores no enteros.

La función gamma puede verse como una solución al problema de interpolación de encontrar una curva suave que conecte los puntos de la secuencia factorial: para todos los valores enteros positivos de . La fórmula simple para el factorial, x ! = 1 × 2 × ⋯ × x solo es válida cuando x es un entero positivo, y ninguna función elemental tiene esta propiedad, pero una buena solución es la función gamma . ^[1] ${\displaystyle y=f(x)}$ ${\displaystyle (x,y)=(n,n!)}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle f(x)=\Gamma (x+1)}$

La función gamma no sólo es suave sino también analítica (excepto en los enteros no positivos), y puede definirse de varias maneras explícitas. Sin embargo, no es la única función analítica que extiende el factorial, ya que se puede añadir cualquier función analítica que sea cero en los enteros positivos, como por ejemplo para un entero . ^[1] Una función de este tipo se conoce como función pseudogamma , siendo la más famosa la función de Hadamard . ^[2] ${\displaystyle k\sin(m\pi x)}$ ${\displaystyle m}$

La función gamma, Γ( z ) en azul, representada gráficamente junto con Γ( z ) + sin(π z ) en verde. Observe la intersección en números enteros positivos. Ambas son extensiones válidas de los factoriales para una función meromórfica en el plano complejo.

Un requisito más restrictivo es la ecuación funcional que interpola el factorial desplazado  : ^{[3] [4]} ${\displaystyle f(n)=(n{-}1)!}$ $${\displaystyle f(x+1)=xf(x)\ {\text{ for any }}x>0,\qquad f(1)=1.}$$

Pero esto todavía no da una solución única, ya que permite la multiplicación por cualquier función periódica con y , como . Una forma de resolver la ambigüedad es el teorema de Bohr-Mollerup , que muestra que es la única función de interpolación sobre los reales positivos que es logarítmicamente convexa (superconvexa), ^[5] lo que significa que es convexa (donde es el logaritmo natural ). ^[6] ${\displaystyle g(x)}$ ${\displaystyle g(x)=g(x+1)}$ ${\displaystyle g(0)=1}$ ${\displaystyle g(x)=e^{k\sin(m\pi x)}}$ ${\displaystyle f(x)=\Gamma (x)}$ ${\displaystyle y=\log f(x)}$ ${\displaystyle \log }$

Definición

Definición principal

La notación se debe a Legendre . ^[1] Si la parte real del número complejo  z es estrictamente positiva ( ), entonces la integral converge absolutamente , y se conoce como la integral de Euler de segundo tipo . (La integral de Euler de primer tipo es la función beta . ^[1] ) Usando la integración por partes , se ve que: ${\displaystyle \Gamma (z)}$ ${\displaystyle \Re (z)>0}$ $${\displaystyle \Gamma (z)=\int _{0}^{\infty }t^{z-1}e^{-t}\,dt}$$

Valor absoluto (vertical) y argumento (color) de la función gamma en el plano complejo

$${\displaystyle {\begin{aligned}\Gamma (z+1)&=\int _{0}^{\infty }t^{z}e^{-t}\,dt\\&={\Bigl [}-t^{z}e^{-t}{\Bigr ]}_{0}^{\infty }+\int _{0}^{\infty }zt^{z-1}e^{-t}\,dt\\&=\lim _{t\to \infty }\left(-t^{z}e^{-t}\right)-\left(-0^{z}e^{-0}\right)+z\int _{0}^{\infty }t^{z-1}e^{-t}\,dt.\end{aligned}}}$$

Reconociendo que como ${\displaystyle -t^{z}e^{-t}\to 0}$ ${\displaystyle t\to \infty ,}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\Gamma (z+1)&=z\int _{0}^{\infty }t^{z-1}e^{-t}\,dt\\&=z\Gamma (z).\end{aligned}}}$$

Podemos calcular : ${\displaystyle \Gamma (1)}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\Gamma (1)&=\int _{0}^{\infty }t^{1-1}e^{-t}\,dt\\&=\int _{0}^{\infty }e^{-t}\,dt\\&=1.\end{aligned}}}$$

Por lo tanto, podemos demostrar que para cualquier entero positivo n por inducción . Específicamente, el caso base es que , y el paso de inducción es que ${\displaystyle \Gamma (n)=(n-1)!}$ ${\displaystyle \Gamma (1)=1=0!}$ ${\displaystyle \Gamma (n+1)=n\Gamma (n)=n(n-1)!=n!.}$

La identidad se puede utilizar (o, obteniendo el mismo resultado, se puede utilizar la continuación analítica ) para extender de forma única la formulación integral para una función meromórfica definida para todos los números complejos z , excepto los enteros menores o iguales a cero. ^[1] Esta versión extendida es la que comúnmente se conoce como función gamma. ^[1] ${\textstyle \Gamma (z)={\frac {\Gamma (z+1)}{z}}}$ ${\displaystyle \Gamma (z)}$

Definiciones alternativas

Hay muchas definiciones equivalentes.

La definición de Euler como producto infinito

Para un entero fijo , a medida que el entero aumenta, tenemos que ^[7] ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle n}$ $${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {n!\,\left(n+1\right)^{m}}{(n+m)!}}=1\,.}$$

Si no es un entero, entonces no es posible decir si esta ecuación es verdadera porque todavía no hemos definido (en esta sección) la función factorial para números no enteros. Sin embargo, obtenemos una extensión única de la función factorial para los números no enteros al insistir en que esta ecuación sigue siendo válida cuando el entero arbitrario se reemplaza por un número complejo arbitrario . ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle z}$

$${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {n!\,\left(n+1\right)^{z}}{(n+z)!}}=1\,.}$$Multiplicando ambos lados por se obtiene Este producto infinito , que se debe a Euler, ^[8] converge para todos los números complejos excepto los enteros no positivos, que fallan debido a una división por cero. Intuitivamente, esta fórmula indica que es aproximadamente el resultado de calcular para algún entero grande , multiplicar por para aproximar , y usar la relación hacia atrás para obtener una aproximación para ; y además que esta aproximación se vuelve exacta a medida que aumenta hasta el infinito. ${\displaystyle (z-1)!}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\Gamma (z)&=(z-1)!\\[8pt]&={\frac {1}{z}}\lim _{n\to \infty }n!{\frac {z!}{(n+z)!}}(n+1)^{z}\\[8pt]&={\frac {1}{z}}\lim _{n\to \infty }(1\cdots n){\frac {1}{(1+z)\cdots (n+z)}}\left({\frac {2}{1}}\cdot {\frac {3}{2}}\cdots {\frac {n+1}{n}}\right)^{z}\\[8pt]&={\frac {1}{z}}\prod _{n=1}^{\infty }\left[{\frac {1}{1+{\frac {z}{n}}}}\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{z}\right].\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle \Gamma (z)}$ ${\displaystyle \Gamma (n+1)=n!}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle (n+1)^{z}}$ ${\displaystyle \Gamma (n+z+1)}$ ${\displaystyle \Gamma (x+1)=x\Gamma (x)}$ ${\displaystyle n+1}$ ${\displaystyle \Gamma (z)}$ ${\displaystyle n}$

El producto infinito del recíproco es una función entera , que converge para cada número complejo z . $${\displaystyle {\frac {1}{\Gamma (z)}}=z\prod _{n=1}^{\infty }\left[\left(1+{\frac {z}{n}}\right)/{\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{z}}\right]}$$

Definición de Weierstrass

La definición de la función gamma de Weierstrass también es válida para todos los números complejos  z excepto los enteros no positivos: donde es la constante de Euler-Mascheroni . ^[1] Este es el producto de Hadamard de en una forma reescrita. La utilidad de esta definición no se puede exagerar ya que aparece en una cierta identidad que involucra a pi. ^{[ cita requerida ]} $${\displaystyle \Gamma (z)={\frac {e^{-\gamma z}}{z}}\prod _{n=1}^{\infty }\left(1+{\frac {z}{n}}\right)^{-1}e^{z/n},}$$ ${\displaystyle \gamma \approx 0.577216}$ ${\displaystyle 1/\Gamma (z)}$

Propiedades

General

Además de la propiedad fundamental discutida anteriormente: otras ecuaciones funcionales importantes para la función gamma son la fórmula de reflexión de Euler , que implica y la fórmula de duplicación de Legendre $${\displaystyle \Gamma (z+1)=z\ \Gamma (z)}$$ $${\displaystyle \Gamma (1-z)\Gamma (z)={\frac {\pi }{\sin \pi z}},\qquad z\not \in \mathbb {Z} }$$ $${\displaystyle \Gamma (z-n)=(-1)^{n-1}\;{\frac {\Gamma (-z)\Gamma (1+z)}{\Gamma (n+1-z)}},\qquad n\in \mathbb {Z} }$$ $${\displaystyle \Gamma (z)\Gamma \left(z+{\tfrac {1}{2}}\right)=2^{1-2z}\;{\sqrt {\pi }}\;\Gamma (2z).}$$

La fórmula de duplicación es un caso especial del teorema de multiplicación (ver  ^[9] Ec. 5.5.6): $${\displaystyle \prod _{k=0}^{m-1}\Gamma \left(z+{\frac {k}{m}}\right)=(2\pi )^{\frac {m-1}{2}}\;m^{{\frac {1}{2}}-mz}\;\Gamma (mz).}$$

Una propiedad simple pero útil, que se puede ver en la definición del límite, es: $${\displaystyle {\overline {\Gamma (z)}}=\Gamma ({\overline {z}})\;\Rightarrow \;\Gamma (z)\Gamma ({\overline {z}})\in \mathbb {R} .}$$

En particular, con z = a + bi , este producto es $${\displaystyle |\Gamma (a+bi)|^{2}=|\Gamma (a)|^{2}\prod _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{1+{\frac {b^{2}}{(a+k)^{2}}}}}}$$

Si la parte real es un entero o un semientero, esto se puede expresar de forma finita en forma cerrada : $${\displaystyle {\begin{aligned}|\Gamma (bi)|^{2}&={\frac {\pi }{b\sinh \pi b}}\\[1ex]\left|\Gamma \left({\tfrac {1}{2}}+bi\right)\right|^{2}&={\frac {\pi }{\cosh \pi b}}\\[1ex]\left|\Gamma \left(1+bi\right)\right|^{2}&={\frac {\pi b}{\sinh \pi b}}\\[1ex]\left|\Gamma \left(1+n+bi\right)\right|^{2}&={\frac {\pi b}{\sinh \pi b}}\prod _{k=1}^{n}\left(k^{2}+b^{2}\right),\quad n\in \mathbb {N} \\[1ex]\left|\Gamma \left(-n+bi\right)\right|^{2}&={\frac {\pi }{b\sinh \pi b}}\prod _{k=1}^{n}\left(k^{2}+b^{2}\right)^{-1},\quad n\in \mathbb {N} \\[1ex]\left|\Gamma \left({\tfrac {1}{2}}\pm n+bi\right)\right|^{2}&={\frac {\pi }{\cosh \pi b}}\prod _{k=1}^{n}\left(\left(k-{\tfrac {1}{2}}\right)^{2}+b^{2}\right)^{\pm 1},\quad n\in \mathbb {N} \\[-1ex]&\end{aligned}}}$$

Quizás el valor más conocido de la función gamma en un argumento no entero es que se puede encontrar estableciendo en las fórmulas de reflexión o duplicación, utilizando la relación con la función beta que se da a continuación con , o simplemente haciendo la sustitución en la definición integral de la función gamma, lo que da como resultado una integral gaussiana . En general, para valores enteros no negativos de tenemos: donde el factorial doble . Consulte Valores particulares de la función gamma para obtener valores calculados. $${\displaystyle \Gamma \left({\tfrac {1}{2}}\right)={\sqrt {\pi }},}$$ ${\textstyle z={\frac {1}{2}}}$ ${\textstyle z_{1}=z_{2}={\frac {1}{2}}}$ ${\displaystyle u={\sqrt {z}}}$ ${\displaystyle n}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\Gamma \left({\tfrac {1}{2}}+n\right)&={(2n)! \over 4^{n}n!}{\sqrt {\pi }}={\frac {(2n-1)!!}{2^{n}}}{\sqrt {\pi }}={\binom {n-{\frac {1}{2}}}{n}}n!{\sqrt {\pi }}\\[8pt]\Gamma \left({\tfrac {1}{2}}-n\right)&={(-4)^{n}n! \over (2n)!}{\sqrt {\pi }}={\frac {(-2)^{n}}{(2n-1)!!}}{\sqrt {\pi }}={\frac {\sqrt {\pi }}{{\binom {-1/2}{n}}n!}}\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle (2n-1)!!=(2n-1)(2n-3)\cdots (3)(1)}$

Puede resultar tentador generalizar el resultado de que al buscar una fórmula para otros valores individuales donde es racional, especialmente porque según el teorema de digamma de Gauss , es posible hacerlo para la función digamma estrechamente relacionada en cada valor racional. Sin embargo, no se sabe que estos números sean expresables por sí mismos en términos de funciones elementales. Se ha demostrado que es un número trascendental y algebraicamente independiente de para cualquier entero y cada una de las fracciones . ^[10] En general, al calcular valores de la función gamma, debemos conformarnos con aproximaciones numéricas. ${\textstyle \Gamma \left({\frac {1}{2}}\right)={\sqrt {\pi }}}$ ${\displaystyle \Gamma (r)}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle \Gamma (r)}$ ${\displaystyle \Gamma (n+r)}$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle n}$ ${\textstyle r={\frac {1}{6}},{\frac {1}{4}},{\frac {1}{3}},{\frac {2}{3}},{\frac {3}{4}},{\frac {5}{6}}}$

Las derivadas de la función gamma se describen en términos de la función poligamma ,  ψ ⁽⁰⁾ ( z ) : Para un entero positivo  m, la derivada de la función gamma se puede calcular de la siguiente manera: $${\displaystyle \Gamma '(z)=\Gamma (z)\psi ^{(0)}(z).}$$

Colores que muestran el argumento de la función gamma en el plano complejo desde −2 − 2 i hasta 6 + 2 i

$${\displaystyle \Gamma '(m+1)=m!\left(-\gamma +\sum _{k=1}^{m}{\frac {1}{k}}\right)=m!\left(-\gamma +H(m)\right)\,,}$$donde H(m) es el m-ésimo número armónico y γ es la constante de Euler-Mascheroni .

Para la derivada n de la función gamma es: (Esto se puede derivar diferenciando la forma integral de la función gamma con respecto a , y utilizando la técnica de diferenciación bajo el signo integral .) ${\displaystyle \Re (z)>0}$ ${\displaystyle n}$ $${\displaystyle {\frac {d^{n}}{dz^{n}}}\Gamma (z)=\int _{0}^{\infty }t^{z-1}e^{-t}(\log t)^{n}\,dt.}$$ ${\displaystyle z}$

Usando la identidad donde es la función zeta de Riemann , y es el -ésimo polinomio de Bell , tenemos en particular la expansión en serie de Laurent de la función gamma ^[11] $${\displaystyle \Gamma ^{(n)}(1)=(-1)^{n}B_{n}(\gamma ,1!\zeta (2),\ldots ,(n-1)!\zeta (n))}$$ ${\displaystyle \zeta (z)}$ ${\displaystyle B_{n}}$ ${\displaystyle n}$ $${\displaystyle \Gamma (z)={\frac {1}{z}}-\gamma +{\frac {1}{2}}\left(\gamma ^{2}+{\frac {\pi ^{2}}{6}}\right)z-{\frac {1}{6}}\left(\gamma ^{3}+{\frac {\gamma \pi ^{2}}{2}}+2\zeta (3)\right)z^{2}+O(z^{3}).}$$

Desigualdades

Cuando se limita a los números reales positivos, la función gamma es una función estrictamente logarítmica y convexa . Esta propiedad puede expresarse de cualquiera de las tres formas equivalentes siguientes:

• Para cualesquiera dos números reales positivos y , y para cualquier , ${\displaystyle x_{1}}$ ${\displaystyle x_{2}}$ ${\displaystyle t\in [0,1]}$ $${\displaystyle \Gamma (tx_{1}+(1-t)x_{2})\leq \Gamma (x_{1})^{t}\Gamma (x_{2})^{1-t}.}$$
• Para dos números reales positivos cualesquiera y , y > ${\displaystyle x_{1}}$ ${\displaystyle x_{2}}$ ${\displaystyle x_{2}}$ ${\displaystyle x_{1}}$ $${\displaystyle \left({\frac {\Gamma (x_{2})}{\Gamma (x_{1})}}\right)^{\frac {1}{x_{2}-x_{1}}}>\exp \left({\frac {\Gamma '(x_{1})}{\Gamma (x_{1})}}\right).}$$
• Para cualquier número real positivo , ${\displaystyle x}$ $${\displaystyle \Gamma ''(x)\Gamma (x)>\Gamma '(x)^{2}.}$$

La última de estas afirmaciones es, esencialmente por definición, la misma que la afirmación de que , donde es la función poligamma de orden 1. Para demostrar la convexidad logarítmica de la función gamma, basta observar que tiene una representación en serie que, para x real positivo , consta únicamente de términos positivos. ${\displaystyle \psi ^{(1)}(x)>0}$ ${\displaystyle \psi ^{(1)}}$ ${\displaystyle \psi ^{(1)}}$

La convexidad logarítmica y la desigualdad de Jensen juntas implican, para cualquier número real positivo y , ${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}}$ ${\displaystyle a_{1},\ldots ,a_{n}}$ $${\displaystyle \Gamma \left({\frac {a_{1}x_{1}+\cdots +a_{n}x_{n}}{a_{1}+\cdots +a_{n}}}\right)\leq {\bigl (}\Gamma (x_{1})^{a_{1}}\cdots \Gamma (x_{n})^{a_{n}}{\bigr )}^{\frac {1}{a_{1}+\cdots +a_{n}}}.}$$

También existen límites para las razones de las funciones gamma. La más conocida es la desigualdad de Gautschi , que dice que para cualquier número real positivo x y cualquier s ∈ (0, 1) , $${\displaystyle x^{1-s}<{\frac {\Gamma (x+1)}{\Gamma (x+s)}}<\left(x+1\right)^{1-s}.}$$

Fórmula de Stirling

Representación de la función gamma en el plano complejo. Cada punto se colorea según el argumento de . También se muestra el gráfico de contorno del módulo . ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle \Gamma (z)}$ ${\displaystyle |\Gamma (z)|}$

Gráfico tridimensional del valor absoluto de la función gamma compleja

El comportamiento de para una variable real positiva creciente está dado por la fórmula de Stirling donde el símbolo significa convergencia asintótica: la relación de los dos lados converge a 1 en el límite . ^[1] Este crecimiento es más rápido que el exponencial, , para cualquier valor fijo de . ${\displaystyle \Gamma (x)}$ $${\displaystyle \Gamma (x+1)\sim {\sqrt {2\pi x}}\left({\frac {x}{e}}\right)^{x},}$$ ${\displaystyle \sim }$ ${\textstyle x\to +\infty }$ ${\displaystyle \exp(\beta x)}$ ${\displaystyle \beta }$

Otro límite útil para aproximaciones asintóticas es: ${\displaystyle x\to +\infty }$ $${\displaystyle {\Gamma (x+\alpha )}\sim {\Gamma (x)x^{\alpha }},\qquad \alpha \in \mathbb {C} .}$$

Al escribir el término de error como un producto infinito, se puede utilizar la fórmula de Stirling para definir la función gamma: ^[12] $${\displaystyle \Gamma \left(x\right)={\sqrt {\frac {2\pi }{x}}}\left({\frac {x}{e}}\right)^{x}\prod _{n=0}^{\infty }e^{-1}\left(1+{\frac {1}{x+n}}\right)^{{\frac {1}{2}}+x+n}}$$

Residuos

El comportamiento para los no positivos es más intrincado. La integral de Euler no converge para , pero la función que define en el semiplano complejo positivo tiene una continuación analítica única en el semiplano negativo. Una forma de encontrar esa continuación analítica es usar la integral de Euler para argumentos positivos y extender el dominio a números negativos mediante la aplicación repetida de la fórmula de recurrencia, ^[1] eligiendo tal que sea positivo. El producto en el denominador es cero cuando es igual a cualquiera de los números enteros . Por lo tanto, la función gamma debe estar indefinida en esos puntos para evitar la división por cero ; es una función meromórfica con polos simples en los números enteros no positivos. ^[1] ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle \Re (z)\leq 0}$ $${\displaystyle \Gamma (z)={\frac {\Gamma (z+n+1)}{z(z+1)\cdots (z+n)}},}$$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle z+n}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle 0,-1,-2,\ldots }$

Para una función de variable compleja , en un polo simple , el residuo de está dado por: ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle f}$ $${\displaystyle \operatorname {Res} (f,c)=\lim _{z\to c}(z-c)f(z).}$$

Para el polo simple reescribimos la fórmula de recurrencia como: El numerador en es y el denominador Por lo tanto, los residuos de la función gamma en esos puntos son: ^[13] La función gamma no es cero en todas partes a lo largo de la línea real, aunque se acerca arbitrariamente a cero cuando z → −∞ . De hecho, no hay ningún número complejo para el cual , y por lo tanto la función gamma recíproca es una función entera , con ceros en . ^[1] ${\displaystyle z=-n,}$ $${\displaystyle (z+n)\Gamma (z)={\frac {\Gamma (z+n+1)}{z(z+1)\cdots (z+n-1)}}.}$$ ${\displaystyle z=-n,}$ $${\displaystyle \Gamma (z+n+1)=\Gamma (1)=1}$$ $${\displaystyle z(z+1)\cdots (z+n-1)=-n(1-n)\cdots (n-1-n)=(-1)^{n}n!.}$$ $${\displaystyle \operatorname {Res} (\Gamma ,-n)={\frac {(-1)^{n}}{n!}}.}$$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle \Gamma (z)=0}$ ${\textstyle {\frac {1}{\Gamma (z)}}}$ ${\displaystyle z=0,-1,-2,\ldots }$

Mínimos y máximos

En la recta real, la función gamma tiene un mínimo local en z _min ≈ +1.46163 21449 68362 34126 ^[14] donde alcanza el valor Γ( z _min ) ≈ +0.88560 31944 10888 70027 . ^[15] La función gamma se eleva a ambos lados de este mínimo. La solución para Γ( z − 0.5) = Γ( z + 0.5) es z = +1.5 y el valor común es Γ(1) = Γ(2) = +1 . La solución positiva de Γ( z − 1) = Γ( z + 1) es z = φ ≈ +1,618 , la proporción áurea , y el valor común es Γ( φ − 1) = Γ( φ + 1) = φ ! ≈ +1,44922 96022 69896 60037 . ^[16]

La función gamma debe alternar el signo entre sus polos en los números enteros no positivos porque el producto en la recurrencia hacia adelante contiene un número impar de factores negativos si el número de polos entre y es impar, y un número par si el número de polos es par. ^[13] Los valores en los extremos locales de la función gamma a lo largo del eje real entre los números enteros no positivos son: ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle z+n}$

Γ( −0,50408 30082 64455 40925... ^[17] ) = −3,54464 36111 55005 08912... ,

Γ( −1,57349 84731 62390 45877... ^[18] ) = 2,30240 72583 39680 13582... ,

Γ( −2,61072 08684 44144 65000... ^[19] ) = −0,88813 63584 01241 92009... ,

Γ( −3,63529 33664 36901 09783... ^[20] ) = 0,24512 75398 34366 25043... ,

Γ( −4,65323 77617 43142 44171... ^[21] ) = −0,05277 96395 87319 40076... , etc.

Representaciones integrales

Existen muchas fórmulas, además de la integral de Euler de segunda especie, que expresan la función gamma como una integral. Por ejemplo, cuando la parte real de z es positiva, ^[22] y ^[23] donde las tres integrales se siguen respectivamente de las sustituciones , ^[24] y ^[25] en la segunda integral de Euler. La última integral en particular deja en claro la conexión entre la función gamma en argumentos de seminúmero entero y la integral gaussiana : si dejamos que , obtenemos $${\displaystyle \Gamma (z)=\int _{-\infty }^{\infty }e^{zt-e^{t}}\,dt}$$ $${\displaystyle \Gamma (z)=\int _{0}^{1}\left(\log {\frac {1}{t}}\right)^{z-1}\,dt,}$$ $${\displaystyle \Gamma (z)=2c^{z}\int _{0}^{\infty }t^{2z-1}e^{-ct^{2}}\,dt\,,\;c>0}$$ ${\displaystyle t=e^{-x}}$ ${\displaystyle t=-\log x}$ ${\displaystyle t=cx^{2}}$ ${\displaystyle z=1/2,\;c=1}$ $${\displaystyle \Gamma (1/2)=2\int _{0}^{\infty }e^{-t^{2}}\,dt={\sqrt {\pi }}\;.}$$

La primera fórmula integral de Binet para la función gamma establece que, cuando la parte real de z es positiva, entonces: ^[26] La integral del lado derecho puede interpretarse como una transformada de Laplace . Es decir, $${\displaystyle \operatorname {log\Gamma } (z)=\left(z-{\frac {1}{2}}\right)\log z-z+{\frac {1}{2}}\log(2\pi )+\int _{0}^{\infty }\left({\frac {1}{2}}-{\frac {1}{t}}+{\frac {1}{e^{t}-1}}\right){\frac {e^{-tz}}{t}}\,dt.}$$ $${\displaystyle \log \left(\Gamma (z)\left({\frac {e}{z}}\right)^{z}{\sqrt {\frac {z}{2\pi }}}\right)={\mathcal {L}}\left({\frac {1}{2t}}-{\frac {1}{t^{2}}}+{\frac {1}{t(e^{t}-1)}}\right)(z).}$$

La segunda fórmula integral de Binet establece que, nuevamente cuando la parte real de z es positiva, entonces: ^[27] $${\displaystyle \operatorname {log\Gamma } (z)=\left(z-{\frac {1}{2}}\right)\log z-z+{\frac {1}{2}}\log(2\pi )+2\int _{0}^{\infty }{\frac {\arctan(t/z)}{e^{2\pi t}-1}}\,dt.}$$

Sea C un contorno de Hankel , es decir, un camino que empieza y termina en el punto ∞ de la esfera de Riemann , cuyo vector tangente unitario converge a −1 al principio del camino y a 1 al final, que tiene el número de vueltas 1 alrededor de 0 , y que no corta [0, ∞) . Fijemos una rama de tomando una rama cortada a lo largo de [0, ∞) y tomando como real cuando t está en el eje real negativo. Supongamos que z no es un entero. Entonces la fórmula de Hankel para la función gamma es: ^[28] donde se interpreta como . La fórmula de reflexión conduce a la expresión estrechamente relacionada nuevamente válida siempre que z no sea un entero. ${\displaystyle \log(-t)}$ ${\displaystyle \log(-t)}$ $${\displaystyle \Gamma (z)=-{\frac {1}{2i\sin \pi z}}\int _{C}(-t)^{z-1}e^{-t}\,dt,}$$ ${\displaystyle (-t)^{z-1}}$ ${\displaystyle \exp((z-1)\log(-t))}$ $${\displaystyle {\frac {1}{\Gamma (z)}}={\frac {i}{2\pi }}\int _{C}(-t)^{-z}e^{-t}\,dt,}$$

Representación de fracciones continuas

La función gamma también se puede representar mediante la suma de dos fracciones continuas : ^{[29] [30]} donde . $${\displaystyle {\begin{aligned}\Gamma (z)&={\cfrac {e^{-1}}{2+0-z+1{\cfrac {z-1}{2+2-z+2{\cfrac {z-2}{2+4-z+3{\cfrac {z-3}{2+6-z+4{\cfrac {z-4}{2+8-z+5{\cfrac {z-5}{2+10-z+\ddots }}}}}}}}}}}}\\&+\ {\cfrac {e^{-1}}{z+0-{\cfrac {z+0}{z+1+{\cfrac {1}{z+2-{\cfrac {z+1}{z+3+{\cfrac {2}{z+4-{\cfrac {z+2}{z+5+{\cfrac {3}{z+6-\ddots }}}}}}}}}}}}}}\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle z\in \mathbb {C} }$

Expansión de la serie de Fourier

El logaritmo de la función gamma tiene la siguiente expansión de la serie de Fourier , que durante mucho tiempo se atribuyó a Ernst Kummer , quien la derivó en 1847. ^{[31] [32]} Sin embargo, Iaroslav Blagouchine descubrió que Carl Johan Malmsten fue el primero en derivar esta serie en 1842. ^{[33] [34]} ${\displaystyle 0<z<1:}$ $${\displaystyle \operatorname {log\Gamma } (z)=\left({\frac {1}{2}}-z\right)(\gamma +\log 2)+(1-z)\log \pi -{\frac {1}{2}}\log \sin(\pi z)+{\frac {1}{\pi }}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\log n}{n}}\sin(2\pi nz),}$$

La fórmula de Raabe

En 1840 Joseph Ludwig Raabe demostró que En particular, si entonces $${\displaystyle \int _{a}^{a+1}\operatorname {log\Gamma } (z)\,dz={\tfrac {1}{2}}\log 2\pi +a\log a-a,\quad a>0.}$$ ${\displaystyle a=0}$ $${\displaystyle \int _{0}^{1}\operatorname {log\Gamma } (z)\,dz={\tfrac {1}{2}}\log 2\pi .}$$

Este último se puede derivar tomando el logaritmo en la fórmula de multiplicación anterior, que da una expresión para la suma de Riemann del integrando. Tomando el límite para se obtiene la fórmula. ${\displaystyle a\to \infty }$

Función Pi

Una notación alternativa que fue introducida originalmente por Gauss es la función , que, en términos de la función gamma, es tal que para cada entero no negativo . ${\displaystyle \Pi }$ $${\displaystyle \Pi (z)=\Gamma (z+1)=z\Gamma (z)=\int _{0}^{\infty }e^{-t}t^{z}\,dt,}$$ ${\displaystyle \Pi (n)=n!}$ ${\displaystyle n}$

Usando la función pi la fórmula de reflexión toma la forma donde sinc es la función sinc normalizada , mientras que el teorema de multiplicación toma la forma $${\displaystyle \Pi (z)\Pi (-z)={\frac {\pi z}{\sin(\pi z)}}={\frac {1}{\operatorname {sinc} (z)}}}$$ $${\displaystyle \Pi \left({\frac {z}{m}}\right)\,\Pi \left({\frac {z-1}{m}}\right)\cdots \Pi \left({\frac {z-m+1}{m}}\right)=(2\pi )^{\frac {m-1}{2}}m^{-z-{\frac {1}{2}}}\Pi (z)\ .}$$

También encontramos a veces que es una función entera , definida para cada número complejo, al igual que la función gamma recíproca . Es decir, entera implica que no tiene polos, por lo que , al igual que , no tiene ceros . $${\displaystyle \pi (z)={\frac {1}{\Pi (z)}}\ ,}$$ ${\displaystyle \pi (z)}$ ${\displaystyle \Pi \left(z\right)}$ ${\displaystyle \Gamma \left(z\right)}$

El volumen de un elipsoide n con radios r ₁ , …, r _n se puede expresar como $${\displaystyle V_{n}(r_{1},\dotsc ,r_{n})={\frac {\pi ^{\frac {n}{2}}}{\Pi \left({\frac {n}{2}}\right)}}\prod _{k=1}^{n}r_{k}.}$$

Relación con otras funciones

• En la primera integral anterior, que define la función gamma, los límites de integración son fijos. Las funciones gamma incompletas superior e inferior son las funciones que se obtienen al permitir que varíe el límite de integración inferior o superior (respectivamente).
• La función gamma está relacionada con la función beta por la fórmula $${\displaystyle \mathrm {B} (z_{1},z_{2})=\int _{0}^{1}t^{z_{1}-1}(1-t)^{z_{2}-1}\,dt={\frac {\Gamma (z_{1})\,\Gamma (z_{2})}{\Gamma (z_{1}+z_{2})}}.}$$
• La derivada logarítmica de la función gamma se llama función digamma ; las derivadas superiores son funciones poligamma .
• El análogo de la función gamma sobre un campo finito o un anillo finito son las sumas gaussianas , un tipo de suma exponencial .
• La función gamma recíproca es una función completa y ha sido estudiada como un tema específico.
• La función gamma también aparece en una relación importante con la función zeta de Riemann , . También aparece en la siguiente fórmula: que es válida solo para . ${\displaystyle \zeta (z)}$ $${\displaystyle \pi ^{-{\frac {z}{2}}}\;\Gamma \left({\frac {z}{2}}\right)\zeta (z)=\pi ^{-{\frac {1-z}{2}}}\;\Gamma \left({\frac {1-z}{2}}\right)\;\zeta (1-z).}$$ $${\displaystyle \zeta (z)\Gamma (z)=\int _{0}^{\infty }{\frac {u^{z}}{e^{u}-1}}\,{\frac {du}{u}},}$$ ${\displaystyle \Re (z)>1}$
  El logaritmo de la función gamma satisface la siguiente fórmula de Lerch: donde es la función zeta de Hurwitz , es la función zeta de Riemann y el primo ( ′ ) denota diferenciación en la primera variable. $${\displaystyle \operatorname {log\Gamma } (z)=\zeta _{H}'(0,z)-\zeta '(0),}$$ ${\displaystyle \zeta _{H}}$ ${\displaystyle \zeta }$
• La función gamma está relacionada con la función exponencial estirada . Por ejemplo, los momentos de esa función son $${\displaystyle \langle \tau ^{n}\rangle \equiv \int _{0}^{\infty }t^{n-1}\,e^{-\left({\frac {t}{\tau }}\right)^{\beta }}\,\mathrm {d} t={\frac {\tau ^{n}}{\beta }}\Gamma \left({n \over \beta }\right).}$$

Valores particulares

Incluyendo hasta los primeros 20 dígitos después del punto decimal, algunos valores particulares de la función gamma son: (Estos números se pueden encontrar en la OEIS . ^{[35] [36] [37] [38] [39] [40]} Los valores presentados aquí están truncados en lugar de redondeados). La función gamma de valor complejo no está definida para números enteros no positivos, pero en estos casos el valor se puede definir en la esfera de Riemann como ∞ . La función gamma recíproca está bien definida y es analítica en estos valores (y en todo el plano complejo ): $${\displaystyle {\begin{array}{rcccl}\Gamma \left(-{\tfrac {3}{2}}\right)&=&{\tfrac {4{\sqrt {\pi }}}{3}}&\approx &+2.36327\,18012\,07354\,70306\\\Gamma \left(-{\tfrac {1}{2}}\right)&=&-2{\sqrt {\pi }}&\approx &-3.54490\,77018\,11032\,05459\\\Gamma \left({\tfrac {1}{2}}\right)&=&{\sqrt {\pi }}&\approx &+1.77245\,38509\,05516\,02729\\\Gamma (1)&=&0!&=&+1\\\Gamma \left({\tfrac {3}{2}}\right)&=&{\tfrac {\sqrt {\pi }}{2}}&\approx &+0.88622\,69254\,52758\,01364\\\Gamma (2)&=&1!&=&+1\\\Gamma \left({\tfrac {5}{2}}\right)&=&{\tfrac {3{\sqrt {\pi }}}{4}}&\approx &+1.32934\,03881\,79137\,02047\\\Gamma (3)&=&2!&=&+2\\\Gamma \left({\tfrac {7}{2}}\right)&=&{\tfrac {15{\sqrt {\pi }}}{8}}&\approx &+3.32335\,09704\,47842\,55118\\\Gamma (4)&=&3!&=&+6\end{array}}}$$ $${\displaystyle {\frac {1}{\Gamma (-3)}}={\frac {1}{\Gamma (-2)}}={\frac {1}{\Gamma (-1)}}={\frac {1}{\Gamma (0)}}=0.}$$

Función log-gamma

La función analítica logΓ( z )

Debido a que las funciones gamma y factorial crecen tan rápidamente para argumentos moderadamente grandes, muchos entornos informáticos incluyen una función que devuelve el logaritmo natural de la función gamma, a la que a menudo se le da el nombre lgammaen lngammaentornos de programación o gammalnen hojas de cálculo. Esta crece mucho más lentamente y, para los cálculos combinatorios, permite sumar y restar valores logarítmicos en lugar de multiplicar y dividir valores muy grandes. A menudo se define como ^[41] $${\displaystyle \operatorname {log\Gamma } (z)=-\gamma z-\log z+\sum _{k=1}^{\infty }\left[{\frac {z}{k}}-\log \left(1+{\frac {z}{k}}\right)\right].}$$

La función digamma , que es la derivada de esta función, también se ve con frecuencia. En el contexto de aplicaciones técnicas y físicas, por ejemplo, en la propagación de ondas, la ecuación funcional $${\displaystyle \operatorname {log\Gamma } (z)=\operatorname {log\Gamma } (z+1)-\log z}$$

Función gamma logarítmica en el plano complejo desde −2 − 2i hasta 2 + 2i con colores

Se utiliza a menudo porque permite determinar valores de funciones en una franja de ancho 1 en z a partir de la franja vecina. En particular, comenzando con una buena aproximación para una  z con una parte real grande, se puede ir paso a paso hasta llegar a la  z deseada . Siguiendo una indicación de Carl Friedrich Gauss , Rocktaeschel (1922) propuso para logΓ( z ) una aproximación para Re( z ) grande : $${\displaystyle \operatorname {log\Gamma } (z)\approx (z-{\tfrac {1}{2}})\log z-z+{\tfrac {1}{2}}\log(2\pi ).}$$

Esto se puede utilizar para aproximar con precisión logΓ( z ) para z con un Re( z ) más pequeño a través de (PEBöhmer, 1939) $${\displaystyle \operatorname {log\Gamma } (z-m)=\operatorname {log\Gamma } (z)-\sum _{k=1}^{m}\log(z-k).}$$

Se puede obtener una aproximación más precisa utilizando más términos de las expansiones asintóticas de logΓ( z ) y Γ( z ) , que se basan en la aproximación de Stirling. $${\displaystyle \Gamma (z)\sim z^{z-{\frac {1}{2}}}e^{-z}{\sqrt {2\pi }}\left(1+{\frac {1}{12z}}+{\frac {1}{288z^{2}}}-{\frac {139}{51\,840z^{3}}}-{\frac {571}{2\,488\,320z^{4}}}\right)}$$

como | z | → ∞ en constante | arg( z ) | < π . (Véase las secuencias A001163 y A001164 en la OEIS .)

En una presentación más "natural": $${\displaystyle \operatorname {log\Gamma } (z)=z\log z-z-{\tfrac {1}{2}}\log z+{\tfrac {1}{2}}\log 2\pi +{\frac {1}{12z}}-{\frac {1}{360z^{3}}}+{\frac {1}{1260z^{5}}}+o\left({\frac {1}{z^{5}}}\right)}$$

como | z | → ∞ en constante | arg( z ) | < π . (Véase las secuencias A046968 y A046969 en la OEIS .)

Los coeficientes de los términos con k > 1 de z ^{1− k} en la última expansión son simplemente donde B _k son los números de Bernoulli . $${\displaystyle {\frac {B_{k}}{k(k-1)}}}$$

La función gamma también tiene la serie Stirling (derivada por Charles Hermite en 1900) igual a ^[42] $${\displaystyle \operatorname {log\Gamma } (1+x)={\frac {x(x-1)}{2!}}\log(2)+{\frac {x(x-1)(x-2)}{3!}}(\log(3)-2\log(2))+\cdots ,\quad \Re (x)>0.}$$

Propiedades

El teorema de Bohr-Mollerup establece que entre todas las funciones que extienden las funciones factoriales a los números reales positivos, solo la función gamma es log-convexa , es decir, su logaritmo natural es convexo en el eje real positivo. Otra caracterización la proporciona el teorema de Wielandt .

La función gamma es la única función que satisface simultáneamente

1. ${\displaystyle \Gamma (1)=1}$,
2. ${\displaystyle \Gamma (z+1)=z\Gamma (z)}$para todos los números complejos excepto los enteros no positivos, y, ${\displaystyle z}$
3. para el entero n , para todos los números complejos . ^[1] ${\textstyle \lim _{n\to \infty }{\frac {\Gamma (n+z)}{\Gamma (n)\;n^{z}}}=1}$ ${\displaystyle z}$

En cierto sentido, la función log-gamma es la forma más natural; hace que algunos atributos intrínsecos de la función sean más claros. Un ejemplo sorprendente es la serie de Taylor de logΓ alrededor de 1: donde ζ ( k ) denota la función zeta de Riemann en k . $${\displaystyle \operatorname {log\Gamma } (z+1)=-\gamma z+\sum _{k=2}^{\infty }{\frac {\zeta (k)}{k}}\,(-z)^{k}\qquad \forall \;|z|<1}$$

Entonces, utilizando la siguiente propiedad: podemos encontrar una representación integral para la función log-gamma: o, estableciendo z = 1 para obtener una integral para γ , podemos reemplazar el término γ con su integral e incorporarlo en la fórmula anterior, para obtener: $${\displaystyle \zeta (s)\Gamma (s)=\int _{0}^{\infty }{\frac {t^{s}}{e^{t}-1}}\,{\frac {dt}{t}}}$$ $${\displaystyle \operatorname {log\Gamma } (z+1)=-\gamma z+\int _{0}^{\infty }{\frac {e^{-zt}-1+zt}{t\left(e^{t}-1\right)}}\,dt}$$ $${\displaystyle \operatorname {log\Gamma } (z+1)=\int _{0}^{\infty }{\frac {e^{-zt}-ze^{-t}-1+z}{t\left(e^{t}-1\right)}}\,dt\,.}$$

También existen fórmulas especiales para el logaritmo de la función gamma para z racional . Por ejemplo, si y son números enteros con y entonces ^[43] Esta fórmula se utiliza a veces para el cálculo numérico, ya que el integrando decrece muy rápidamente. ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle k<n}$ ${\displaystyle k\neq n/2\,,}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {log\Gamma } \left({\frac {k}{n}}\right)={}&{\frac {\,(n-2k)\log 2\pi \,}{2n}}+{\frac {1}{2}}\left\{\,\log \pi -\log \sin {\frac {\pi k}{n}}\,\right\}+{\frac {1}{\pi }}\!\sum _{r=1}^{n-1}{\frac {\,\gamma +\log r\,}{r}}\cdot \sin {\frac {\,2\pi rk\,}{n}}\\&{}-{\frac {1}{2\pi }}\sin {\frac {2\pi k}{n}}\cdot \!\int _{0}^{\infty }\!\!{\frac {\,e^{-nx}\!\cdot \log x\,}{\,\cosh x-\cos(2\pi k/n)\,}}\,{\mathrm {d} }x.\end{aligned}}}$$

Integración sobre log-gamma

La integral se puede expresar en términos de la función G de Barnes ^{[44] [45]} (ver función G de Barnes para una prueba): donde Re( z ) > −1 . $${\displaystyle \int _{0}^{z}\operatorname {log\Gamma } (x)\,dx}$$ $${\displaystyle \int _{0}^{z}\operatorname {log\Gamma } (x)\,dx={\frac {z}{2}}\log(2\pi )+{\frac {z(1-z)}{2}}+z\operatorname {log\Gamma } (z)-\log G(z+1)}$$

También se puede escribir en términos de la función zeta de Hurwitz : ^{[46] [47]} $${\displaystyle \int _{0}^{z}\operatorname {log\Gamma } (x)\,dx={\frac {z}{2}}\log(2\pi )+{\frac {z(1-z)}{2}}-\zeta '(-1)+\zeta '(-1,z).}$$

Cuando se sigue que y esto es también una consecuencia de la fórmula de Raabe , O. Espinosa y V. Moll derivaron una fórmula similar para la integral del cuadrado de : ^[48] donde es . ${\displaystyle z=1}$ $${\displaystyle \int _{0}^{1}\operatorname {log\Gamma } (x)\,dx={\frac {1}{2}}\log(2\pi ),}$$ ${\displaystyle \operatorname {log\Gamma } }$ $${\displaystyle \int _{0}^{1}\log ^{2}\Gamma (x)dx={\frac {\gamma ^{2}}{12}}+{\frac {\pi ^{2}}{48}}+{\frac {1}{3}}\gamma L_{1}+{\frac {4}{3}}L_{1}^{2}-\left(\gamma +2L_{1}\right){\frac {\zeta ^{\prime }(2)}{\pi ^{2}}}+{\frac {\zeta ^{\prime \prime }(2)}{2\pi ^{2}}},}$$ ${\displaystyle L_{1}}$ ${\displaystyle {\frac {1}{2}}\log(2\pi )}$

DH Bailey y sus coautores ^[49] dieron una evaluación de cuándo en términos de la función zeta de Tornheim-Witten y sus derivadas. $${\displaystyle L_{n}:=\int _{0}^{1}\log ^{n}\Gamma (x)\,dx}$$ ${\displaystyle n=1,2}$

Además, también se sabe que ^[50] $${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {L_{n}}{n!}}=1.}$$

Aproximaciones

Comparación de gamma (línea azul) con el factorial (puntos azules) y la aproximación de Stirling (línea roja)

Los valores complejos de la función gamma se pueden aproximar utilizando la aproximación de Stirling o la aproximación de Lanczos . Esto es preciso en el sentido de que la relación entre la aproximación y el valor verdadero se acerca a 1 en el límite cuando | z | tiende a infinito. $${\displaystyle \Gamma (z)\sim {\sqrt {2\pi }}z^{z-1/2}e^{-z}\quad {\hbox{as }}z\to \infty {\hbox{ in }}\left|\arg(z)\right|<\pi .}$$

La función gamma se puede calcular con precisión fija aplicando la integración por partes a la integral de Euler. Para cualquier número positivo  x la función gamma se puede escribir ${\displaystyle \operatorname {Re} (z)\in [1,2]}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\Gamma (z)&=\int _{0}^{x}e^{-t}t^{z}\,{\frac {dt}{t}}+\int _{x}^{\infty }e^{-t}t^{z}\,{\frac {dt}{t}}\\&=x^{z}e^{-x}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{z(z+1)\cdots (z+n)}}+\int _{x}^{\infty }e^{-t}t^{z}\,{\frac {dt}{t}}.\end{aligned}}}$$

Cuando Re( z ) ∈ [1,2] y , el valor absoluto de la última integral es menor que . Si se elige un valor suficientemente grande , esta última expresión puede hacerse menor que para cualquier valor deseado . Por lo tanto, la función gamma puede evaluarse con precisión de bits con la serie anterior. ${\displaystyle x\geq 1}$ ${\displaystyle (x+1)e^{-x}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle 2^{-N}}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle N}$

EA Karatsuba construyó un algoritmo rápido para el cálculo de la función gamma de Euler para cualquier argumento algebraico (incluido el racional). ^{[51] [52] [53]}

Para argumentos que son múltiplos enteros de ⁠1/24⁠ , la función gamma también se puede evaluar rápidamente utilizando iteraciones de media aritmética-geométrica (ver valores particulares de la función gamma ). ^[54]

Implementaciones prácticas

A diferencia de muchas otras funciones, como una distribución normal , no se encuentra fácilmente una implementación obvia, rápida y precisa que sea fácil de implementar para la función gamma . Por lo tanto, vale la pena investigar posibles soluciones. Para el caso en que la velocidad sea más importante que la precisión, las tablas publicadas para se encuentran fácilmente en una búsqueda en Internet, como la biblioteca Wiley en línea. Dichas tablas se pueden utilizar con interpolación lineal . Se puede obtener una mayor precisión con el uso de la interpolación cúbica a costa de una mayor sobrecarga computacional. Dado que las tablas generalmente se publican para valores de argumento entre 1 y 2, la propiedad se puede utilizar para traducir rápida y fácilmente todos los valores reales y en el rango , de modo que solo se necesiten utilizar valores tabulados de entre 1 y 2. ^[55] ${\displaystyle \Gamma (z)}$ ${\displaystyle \Gamma (z)}$ ${\displaystyle \Gamma (z)}$ ${\displaystyle \Gamma (z+1)=z\ \Gamma (z)}$ ${\displaystyle z<1}$ ${\displaystyle z>2}$ ${\displaystyle 1\leq z\leq 2}$ ${\displaystyle z}$

Si no se desean utilizar tablas de interpolación, la aproximación de Lanczos mencionada anteriormente funciona bien con una precisión de entre 1 y 2 dígitos para valores pequeños y de uso común de z. Si la aproximación de Lanczos no es lo suficientemente precisa, se puede utilizar la fórmula de Stirling para la función gamma .

Aplicaciones

Un autor describe la función gamma como "posiblemente la función especial más común, o la menos 'especial' de ellas. Las otras funciones trascendentales [...] se denominan 'especiales' porque es posible evitar algunas de ellas si se mantiene alejado de muchos temas matemáticos especializados. Por otro lado, la función gamma Γ( z ) es la más difícil de evitar". ^[56]

Problemas de integración

La función gamma se utiliza en áreas tan diversas como la física cuántica , la astrofísica y la dinámica de fluidos . ^[57] La ​​distribución gamma , que se formula en términos de la función gamma, se utiliza en estadística para modelar una amplia gama de procesos; por ejemplo, el tiempo entre la ocurrencia de terremotos. ^[58]

La razón principal de la utilidad de la función gamma en tales contextos es la prevalencia de expresiones del tipo que describen procesos que decaen exponencialmente en el tiempo o el espacio. Las integrales de tales expresiones pueden ocasionalmente resolverse en términos de la función gamma cuando no existe una solución elemental. Por ejemplo, si f es una función de potencia y g es una función lineal, un simple cambio de variables da la evaluación ${\displaystyle f(t)e^{-g(t)}}$ ${\displaystyle u:=a\cdot t}$

$${\displaystyle \int _{0}^{\infty }t^{b}e^{-at}\,dt={\frac {1}{a^{b}}}\int _{0}^{\infty }u^{b}e^{-u}d\left({\frac {u}{a}}\right)={\frac {\Gamma (b+1)}{a^{b+1}}}.}$$

El hecho de que la integración se realice a lo largo de toda la línea real positiva podría significar que la función gamma describe la acumulación de un proceso dependiente del tiempo que continúa indefinidamente, o el valor podría ser el total de una distribución en un espacio infinito.

Por supuesto, a menudo resulta útil tomar límites de integración distintos de 0 e ∞ para describir la acumulación de un proceso finito, en cuyo caso la función gamma ordinaria ya no es una solución; la solución se denomina entonces función gamma incompleta . (La función gamma ordinaria, obtenida mediante la integración a lo largo de toda la línea real positiva, a veces se denomina función gamma completa para fines de contraste).

Una categoría importante de funciones que decaen exponencialmente es la de las funciones gaussianas y sus integrales, como la función de error . Existen muchas interrelaciones entre estas funciones y la función gamma; en particular, el factor obtenido al evaluar es el "mismo" que el que se encuentra en el factor de normalización de la función de error y la distribución normal . $${\displaystyle ae^{-{\frac {(x-b)^{2}}{c^{2}}}}}$$ ${\displaystyle {\sqrt {\pi }}}$ ${\textstyle \Gamma \left({\frac {1}{2}}\right)}$

Las integrales que hemos discutido hasta ahora involucran funciones trascendentales , pero la función gamma también surge de integrales de funciones puramente algebraicas. En particular, las longitudes de arco de las elipses y de la lemniscata , que son curvas definidas por ecuaciones algebraicas, están dadas por integrales elípticas que en casos especiales pueden evaluarse en términos de la función gamma. La función gamma también puede usarse para calcular el "volumen" y el "área" de hiperesferas n -dimensionales .

Cálculo de productos

La capacidad de la función gamma para generalizar productos factoriales conduce inmediatamente a aplicaciones en muchas áreas de las matemáticas; en combinatoria y, por extensión, en áreas como la teoría de la probabilidad y el cálculo de series de potencias . Muchas expresiones que implican productos de números enteros sucesivos pueden escribirse como alguna combinación de factoriales, siendo el ejemplo más importante quizás el del coeficiente binomial . Por ejemplo, para cualquier número complejo z y n , con | z | < 1 , podemos escribir que se parece mucho al coeficiente binomial cuando n es un entero no negativo, $${\displaystyle (1+z)^{n}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {\Gamma (n+1)}{k!\Gamma (n-k+1)}}z^{k},}$$ $${\displaystyle (1+z)^{n}=\sum _{k=0}^{n}{\frac {n!}{k!(n-k)!}}z^{k}=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}z^{k}.}$$

El ejemplo de los coeficientes binomiales explica por qué las propiedades de la función gamma cuando se extienden a números negativos son naturales. Un coeficiente binomial da el número de maneras de elegir k elementos de un conjunto de n elementos; si k > n , por supuesto que no hay maneras. Si k > n , ( n − k )! es el factorial de un entero negativo y, por lo tanto, infinito si usamos la definición de factoriales de la función gamma: dividir por infinito da el valor esperado de 0.

Podemos reemplazar el factorial por una función gamma para extender cualquier fórmula de este tipo a los números complejos. En general, esto funciona para cualquier producto en el que cada factor sea una función racional de la variable índice, factorizando la función racional en expresiones lineales. Si P y Q son polinomios mónicos de grado m y n con raíces respectivas p ₁ , …, p _m y q ₁ , …, q _n , tenemos $${\displaystyle \prod _{i=a}^{b}{\frac {P(i)}{Q(i)}}=\left(\prod _{j=1}^{m}{\frac {\Gamma (b-p_{j}+1)}{\Gamma (a-p_{j})}}\right)\left(\prod _{k=1}^{n}{\frac {\Gamma (a-q_{k})}{\Gamma (b-q_{k}+1)}}\right).}$$

Si tenemos una manera de calcular numéricamente la función gamma, es muy sencillo calcular los valores numéricos de dichos productos. La cantidad de funciones gamma en el lado derecho depende únicamente del grado de los polinomios, por lo que no importa si b − a es igual a 5 o 10 ⁵ . Si tomamos los límites apropiados, la ecuación también puede cumplirse incluso cuando el producto del lado izquierdo contiene ceros o polos.

Tomando límites, ciertos productos racionales con infinitos factores pueden evaluarse también en términos de la función gamma. Debido al teorema de factorización de Weierstrass , las funciones analíticas pueden escribirse como productos infinitos, y estos a veces pueden representarse como productos finitos o cocientes de la función gamma. Ya hemos visto un ejemplo llamativo: la fórmula de reflexión representa esencialmente la función seno como el producto de dos funciones gamma. A partir de esta fórmula, la función exponencial, así como todas las funciones trigonométricas e hiperbólicas, pueden expresarse en términos de la función gamma.

Más funciones aún, incluida la función hipergeométrica y casos especiales de la misma, se pueden representar por medio de integrales de contorno complejas de productos y cocientes de la función gamma, llamadas integrales de Mellin-Barnes .

Teoría analítica de números

Una aplicación de la función gamma es el estudio de la función zeta de Riemann . Una propiedad fundamental de la función zeta de Riemann es su ecuación funcional : $${\displaystyle \Gamma \left({\frac {s}{2}}\right)\zeta (s)\pi ^{-{\frac {s}{2}}}=\Gamma \left({\frac {1-s}{2}}\right)\zeta (1-s)\pi ^{-{\frac {1-s}{2}}}.}$$

Entre otras cosas, esto proporciona una forma explícita para la continuación analítica de la función zeta en una función meromórfica en el plano complejo y conduce a una prueba inmediata de que la función zeta tiene infinitos ceros denominados "triviales" en la línea real. Borwein et al. llaman a esta fórmula "uno de los hallazgos más hermosos en matemáticas". ^[59] Otro candidato para ese título podría ser $${\displaystyle \zeta (s)\;\Gamma (s)=\int _{0}^{\infty }{\frac {t^{s}}{e^{t}-1}}\,{\frac {dt}{t}}.}$$

Ambas fórmulas fueron derivadas por Bernhard Riemann en su artículo fundamental de 1859 " Ueber die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Größe " ("Sobre el número de primos menores que una magnitud dada"), uno de los hitos en el desarrollo de la teoría analítica de números , la rama de las matemáticas que estudia los números primos utilizando las herramientas del análisis matemático.

Historia

La función gamma ha despertado el interés de algunos de los matemáticos más destacados de todos los tiempos. Su historia, documentada en particular por Philip J. Davis en un artículo que le valió el Premio Chauvenet en 1963 , refleja muchos de los principales avances en matemáticas desde el siglo XVIII. En palabras de Davis, "cada generación ha encontrado algo interesante que decir sobre la función gamma. Tal vez la próxima generación también lo haga". ^[1]

Siglo XVIII: Euler y Stirling

Carta de Daniel Bernoulli a Christian Goldbach , 6 de octubre de 1729

El problema de extender el factorial a argumentos no enteros fue aparentemente considerado por primera vez por Daniel Bernoulli y Christian Goldbach en la década de 1720. En particular, en una carta de Bernoulli a Goldbach fechada el 6 de octubre de 1729, Bernoulli introdujo la representación del producto ^[60] que está bien definida para valores reales de x distintos de los números enteros negativos. $${\displaystyle x!=\lim _{n\to \infty }\left(n+1+{\frac {x}{2}}\right)^{x-1}\prod _{k=1}^{n}{\frac {k+1}{k+x}}}$$

Leonhard Euler dio posteriormente dos definiciones diferentes: la primera no era su integral sino un producto infinito que está bien definido para todos los números complejos n distintos de los enteros negativos, de lo que informó a Goldbach en una carta fechada el 13 de octubre de 1729. Escribió a Goldbach de nuevo el 8 de enero de 1730, para anunciar su descubrimiento de la representación integral que es válida cuando la parte real del número complejo n es estrictamente mayor que −1 (es decir, ). Por el cambio de variables t = −ln s , esto se convierte en la familiar integral de Euler. Euler publicó sus resultados en el artículo "De progressibus transcendentibus seu quarum termini generales algebraice dari nequeunt" ("Sobre las progresiones trascendentales, es decir, aquellas cuyos términos generales no pueden darse algebraicamente"), presentado a la Academia de San Petersburgo el 28 de noviembre de 1729. ^[61] Euler descubrió además algunas de las propiedades funcionales importantes de la función gamma, incluida la fórmula de reflexión. $${\displaystyle n!=\prod _{k=1}^{\infty }{\frac {\left(1+{\frac {1}{k}}\right)^{n}}{1+{\frac {n}{k}}}}\,,}$$ $${\displaystyle n!=\int _{0}^{1}(-\log s)^{n}\,ds\,,}$$ ${\displaystyle \Re (n)>-1}$

James Stirling , un contemporáneo de Euler, también intentó encontrar una expresión continua para el factorial y se le ocurrió lo que ahora se conoce como la fórmula de Stirling . Aunque la fórmula de Stirling da una buena estimación de n !, también para números no enteros, no proporciona el valor exacto. Las extensiones de su fórmula que corrigen el error fueron dadas por el propio Stirling y por Jacques Philippe Marie Binet .

Siglo XIX: Gauss, Weierstrass y Legendre

La primera página del artículo de Euler

Carl Friedrich Gauss reescribió el producto de Euler como y utilizó esta fórmula para descubrir nuevas propiedades de la función gamma. Aunque Euler fue un pionero en la teoría de variables complejas, no parece haber considerado el factorial de un número complejo, como lo hizo primero Gauss. ^[62] Gauss también demostró el teorema de multiplicación de la función gamma e investigó la conexión entre la función gamma y las integrales elípticas . $${\displaystyle \Gamma (z)=\lim _{m\to \infty }{\frac {m^{z}m!}{z(z+1)(z+2)\cdots (z+m)}}}$$

Karl Weierstrass estableció además el papel de la función gamma en el análisis complejo , a partir de otra representación del producto, donde γ es la constante de Euler-Mascheroni . Weierstrass escribió originalmente su producto como uno para ⁠ $${\displaystyle \Gamma (z)={\frac {e^{-\gamma z}}{z}}\prod _{k=1}^{\infty }\left(1+{\frac {z}{k}}\right)^{-1}e^{\frac {z}{k}},}$$1/Γ⁠ , en cuyo caso se toma sobre los ceros de la función en lugar de sobre sus polos. Inspirado por este resultado, demostró lo que se conoce como el teorema de factorización de Weierstrass : cualquier función entera puede escribirse como un producto sobre sus ceros en el plano complejo; una generalización del teorema fundamental del álgebra .

El nombre de función gamma y el símbolo Γ fueron introducidos por Adrien-Marie Legendre alrededor de 1811; Legendre también reescribió la definición integral de Euler en su forma moderna. Aunque el símbolo es una gamma griega en mayúscula, no hay un estándar aceptado para si el nombre de la función debe escribirse "función gamma" o "función Gamma" (algunos autores simplemente escriben " Γ -función"). La notación alternativa de "función pi" Π( z ) = z ! debido a Gauss se encuentra a veces en la literatura más antigua, pero la notación de Legendre es dominante en las obras modernas.

Está justificado preguntar por qué distinguimos entre el "factorial ordinario" y la función gamma mediante el uso de símbolos distintos, y en particular por qué la función gamma debería normalizarse a Γ( n + 1) = n ! en lugar de simplemente usar " Γ( n ) = n ! ". Considérese que la notación para exponentes, x ⁿ , se ha generalizado de números enteros a números complejos x ^z sin ningún cambio. La motivación de Legendre para la normalización no parece ser conocida, y ha sido criticada por algunos como engorrosa (el matemático del siglo XX Cornelius Lanczos , por ejemplo, la llamó "vacía de cualquier racionalidad" y en su lugar usaría z ! ). ^[63] La normalización de Legendre simplifica algunas fórmulas, pero complica otras. Desde un punto de vista moderno, la normalización de Legendre de la función gamma es la integral del carácter aditivo e ^{− x} contra el carácter multiplicativo x ^z con respecto a la medida de Haar en el grupo de Lie R ⁺ . De esta forma, esta normalización deja más claro que la función gamma es un análogo continuo de una suma de Gauss . ^[64] ${\textstyle {\frac {dx}{x}}}$

Siglos XIX y XX: caracterización de la función gamma

Resulta un tanto problemático que se hayan dado numerosas definiciones de la función gamma. Aunque describen la misma función, no es del todo sencillo demostrar su equivalencia. Stirling nunca demostró que su fórmula extendida se corresponde exactamente con la función gamma de Euler; Charles Hermite fue el primero en dar una prueba en 1900. ^[65] En lugar de encontrar una prueba especializada para cada fórmula, sería deseable tener un método general para identificar la función gamma.

Una forma de demostrar la equivalencia sería encontrar una ecuación diferencial que caracterice a la función gamma. La mayoría de las funciones especiales en matemáticas aplicadas surgen como soluciones de ecuaciones diferenciales, cuyas soluciones son únicas. Sin embargo, la función gamma no parece satisfacer ninguna ecuación diferencial simple. Otto Hölder demostró en 1887 que la función gamma al menos no satisface ninguna ecuación diferencial algebraica al mostrar que una solución a tal ecuación no podría satisfacer la fórmula de recurrencia de la función gamma, lo que la convierte en una función trascendentalmente trascendental . Este resultado se conoce como teorema de Hölder .

Hasta 1922 no se dio una caracterización definitiva y de aplicación general de la función gamma. Harald Bohr y Johannes Mollerup demostraron entonces lo que se conoce como el teorema de Bohr-Mollerup : la función gamma es la única solución de la relación de recurrencia factorial que es positiva y logarítmicamente convexa para z positiva y cuyo valor en 1 es 1 (una función es logarítmicamente convexa si su logaritmo es convexo). Otra caracterización la da el teorema de Wielandt .

El teorema de Bohr-Mollerup es útil porque es relativamente fácil demostrar la convexidad logarítmica para cualquiera de las diferentes fórmulas utilizadas para definir la función gamma. Llevando las cosas más lejos, en lugar de definir la función gamma mediante una fórmula particular, podemos elegir las condiciones del teorema de Bohr-Mollerup como definición y luego elegir cualquier fórmula que nos guste que satisfaga las condiciones como punto de partida para estudiar la función gamma. Este enfoque fue utilizado por el grupo de Bourbaki .

Borwein y Corless ^[66] revisan tres siglos de trabajo sobre la función gamma.

Tablas de referencia y software

Aunque la función gamma se puede calcular con una computadora moderna (incluso con una calculadora de bolsillo programable) de manera prácticamente tan sencilla como cualquier otra función matemáticamente más sencilla, por supuesto, no siempre fue así. Hasta mediados del siglo XX, los matemáticos dependían de tablas hechas a mano; en el caso de la función gamma, en particular, una tabla calculada por Gauss en 1813 y otra calculada por Legendre en 1825. ^[67]

Un gráfico dibujado a mano del valor absoluto de la función gamma compleja, de las Tablas de funciones superiores de Jahnke y Emde  [de] .

Las tablas de valores complejos de la función gamma, así como gráficos dibujados a mano, se dieron en Tablas de funciones con fórmulas y curvas de Jahnke y Emde  [de] , publicadas por primera vez en Alemania en 1909. Según Michael Berry , "la publicación en J&E de un gráfico tridimensional que muestra los polos de la función gamma en el plano complejo adquirió un estatus casi icónico". ^[68]

De hecho, hasta la década de 1930, cuando se descubrieron aplicaciones de la función gamma compleja en la física teórica, no había prácticamente ninguna necesidad de nada más que valores reales de la función gamma. A medida que en la década de 1950 se empezaron a disponer de ordenadores electrónicos para la producción de tablas, se publicaron varias tablas extensas para la función gamma compleja para satisfacer la demanda, incluida una tabla precisa hasta 12 decimales de la Oficina Nacional de Normas de los Estados Unidos . ^[1]

Reproducción de un famoso gráfico complejo de Janhke y Emde (Tablas de funciones con fórmulas y curvas, 4.ª ed., Dover, 1945) de la función gamma desde −4,5 − 2,5i hasta 4,5 + 2,5i

Las implementaciones de punto flotante de doble precisión de la función gamma y su logaritmo están ahora disponibles en la mayoría del software de computación científica y bibliotecas de funciones especiales, por ejemplo, TK Solver , Matlab , GNU Octave y la Biblioteca Científica GNU . La función gamma también se agregó a la biblioteca estándar de C ( math.h ). Las implementaciones de precisión arbitraria están disponibles en la mayoría de los sistemas de álgebra computacional , como Mathematica y Maple . PARI/GP , MPFR y MPFUN contienen implementaciones de precisión arbitraria gratuitas. En algunas calculadoras de software , por ejemplo, Calculadora de Windows y Calculadora de GNOME , la función factorial devuelve Γ( x + 1) cuando la entrada x es un valor no entero. ^{[69] [70]}

Véase también

• Factorial ascendente
• Integral de Cahen-Mellin
• Función gamma elíptica
• Constante lemniscata
• Función pseudogamma
• Función gamma de Hadamard
• Función gamma inversa
• Aproximación de Lanczos
• Función gamma múltiple
• Función gamma multivariante
• Función gamma p -ádica
• Símbolo k del martillo perforador
• función q -gamma
• Teorema maestro de Ramanujan
• Aproximación de Spouge
• Aproximación de Stirling

Notas

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39. Sloane, N. J. A. (ed.). "Secuencia A245884 (Expansión decimal de Gamma(5/2), donde Gamma es la función gamma de Euler)". La enciclopedia en línea de secuencias de números enteros . Fundación OEIS.
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• Este artículo incorpora material del artículo de Citizendium "Función Gamma", que se encuentra bajo la licencia Creative Commons Attribution-ShareAlike 3.0 Unported pero no bajo la GFDL .

Lectura adicional

• Abramowitz, Milton; Stegun, Irene A., eds. (1972). "Capítulo 6". Manual de funciones matemáticas con fórmulas, gráficos y tablas matemáticas . Nueva York: Dover.
• Andrews, GE ; Askey, R.; Roy, R. (1999). "Capítulo 1 (Funciones gamma y beta)". Funciones especiales . Nueva York: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-78988-2.
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• Askey, R .; Roy, R. (2010), "Función gamma", en Olver, Frank WJ ; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F.; Clark, Charles W. (eds.), Manual del NIST de funciones matemáticas , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-19225-5, Sr.  2723248.
• Birkhoff, George D. (1913). "Nota sobre la función gamma". Bull. Amer. Math. Soc . 20 (1): 1–10. doi : 10.1090/s0002-9904-1913-02429-7 . MR  1559418.
• Böhmer, PE (1939). Differenzengleichungen und bestimmte Integrale [ Ecuaciones diferenciales e integrales definidas ] . Leipzig: Köhler Verlag.
• Davis, Philip J. (1959). "La integral de Leonhard Euler: un perfil histórico de la función gamma". American Mathematical Monthly . 66 (10): 849–869. doi :10.2307/2309786. JSTOR  2309786.
• Post, Emil (1919). «Las funciones gamma generalizadas». Anales de matemáticas . Segunda serie. 20 (3): 202–217. doi :10.2307/1967871. JSTOR  1967871. Consultado el 5 de marzo de 2021 .
• Press, WH; Teukolsky, SA; Vetterling, WT; Flannery, BP (2007). "Sección 6.1. Función gamma". Recetas numéricas: el arte de la computación científica (3.ª ed.). Nueva York: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-88068-8.
• Rocktäschel, Oregón (1922). Methoden zur Berechnung der Gammafunktion für komplexes Argument [ Métodos para calcular la función gamma para argumentos complejos ]. Dresde: Universidad Técnica de Dresde .
• Temme, Nico M. (1996). Funciones especiales: Introducción a las funciones clásicas de la física matemática . Nueva York: John Wiley & Sons. ISBN 978-0-471-11313-3.
• Whittaker, ET ; Watson, GN (1927). Un curso de análisis moderno . Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-58807-2.

Enlaces externos

• Biblioteca digital de funciones matemáticas del NIST: Función gamma
• Pascal Sebah y Xavier Gourdon. Introducción a la función gamma . En formatos PostScript y HTML.
• Referencia de C++ para std::tgamma
• Se pueden encontrar ejemplos de problemas que involucran la función gamma en Exampleproblems.com.
• "Función gamma", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• Evaluador de funciones gamma de Wolfram (precisión arbitraria)
• "Gamma". Sitio de funciones Wolfram .
• Volumen de n-esferas y la función gamma en MathPages