Función logarítmicamente convexa

Función cuya composición con el logaritmo es convexa

En matemáticas , una función f es logarítmicamente convexa o superconvexa ^[1] si la composición del logaritmo con f es en sí misma una función convexa . ${\displaystyle {\log }\circ f}$

Definición

Sea X un subconjunto convexo de un espacio vectorial real y sea f  : X → R una función que toma valores no negativos . Entonces f es:

• Logarítmicamente convexo si es convexo, y ${\displaystyle {\log }\circ f}$
• Estrictamente logarítmicamente convexo si es estrictamente convexo. ${\displaystyle {\log }\circ f}$

Aquí interpretamos como . ${\displaystyle \log 0}$ ${\displaystyle -\infty }$

Explícitamente, f es logarítmicamente convexa si y solo si, para todo x ₁ , x ₂ ∈ X y todo t ∈ [0, 1] , se cumplen las dos condiciones equivalentes siguientes:

${\displaystyle {\begin{aligned}\log f(tx_{1}+(1-t)x_{2})&\leq t\log f(x_{1})+(1-t)\log f(x_{2}),\\f(tx_{1}+(1-t)x_{2})&\leq f(x_{1})^{t}f(x_{2})^{1-t}.\end{aligned}}}$

De manera similar, f es estrictamente logarítmicamente convexa si y solo si, en las dos expresiones anteriores, la desigualdad estricta se cumple para todo t ∈ (0, 1) .

La definición anterior permite que f sea cero, pero si f es logarítmicamente convexa y se desvanece en cualquier lugar de X , entonces se desvanece en todas partes en el interior de X.

Condiciones equivalentes

Si f es una función diferenciable definida en un intervalo I ⊆ R , entonces f es logarítmicamente convexa si y solo si se cumple la siguiente condición para todas las x e y en I :

${\displaystyle \log f(x)\geq \log f(y)+{\frac {f'(y)}{f(y)}}(x-y).}$

Esto es equivalente a la condición de que, siempre que x e y estén en I y x > y ,

${\displaystyle \left({\frac {f(x)}{f(y)}}\right)^{\frac {1}{x-y}}\geq \exp \left({\frac {f'(y)}{f(y)}}\right).}$

Además, f es estrictamente logarítmicamente convexa si y sólo si estas desigualdades son siempre estrictas.

Si f es dos veces diferenciable, entonces es logarítmicamente convexa si y sólo si, para todo x en I ,

${\displaystyle f''(x)f(x)\geq f'(x)^{2}.}$

Si la desigualdad es siempre estricta, entonces f es estrictamente logarítmicamente convexa. Sin embargo, la inversa es falsa: es posible que f sea estrictamente logarítmicamente convexa y que, para algún x , tengamos . Por ejemplo, si , entonces f es estrictamente logarítmicamente convexa, pero . ${\displaystyle f''(x)f(x)=f'(x)^{2}}$ ${\displaystyle f(x)=\exp(x^{4})}$ ${\displaystyle f''(0)f(0)=0=f'(0)^{2}}$

Además, es logarítmicamente convexo si y sólo si es convexo para todo . ^{[2] [3]} ${\displaystyle f\colon I\to (0,\infty )}$ ${\displaystyle e^{\alpha x}f(x)}$ ${\displaystyle \alpha \in \mathbb {R} }$

Condiciones suficientes

Si son logarítmicamente convexos, y si son números reales no negativos, entonces es logarítmicamente convexo. ${\displaystyle f_{1},\ldots ,f_{n}}$ ${\displaystyle w_{1},\ldots ,w_{n}}$ ${\displaystyle f_{1}^{w_{1}}\cdots f_{n}^{w_{n}}}$

Si es cualquier familia de funciones logarítmicamente convexas, entonces es logarítmicamente convexa. ${\displaystyle \{f_{i}\}_{i\in I}}$ ${\displaystyle g=\sup _{i\in I}f_{i}}$

Si es convexo y es logarítmicamente convexo y no decreciente, entonces es logarítmicamente convexo. ${\displaystyle f\colon X\to I\subseteq \mathbf {R} }$ ${\displaystyle g\colon I\to \mathbf {R} _{\geq 0}}$ ${\displaystyle g\circ f}$

Propiedades

Una función logarítmicamente convexa f es una función convexa ya que es la combinación de la función convexa creciente y la función , que es por definición convexa. Sin embargo, ser logarítmicamente convexo es una propiedad estrictamente más fuerte que ser convexo. Por ejemplo, la función al cuadrado es convexa, pero su logaritmo no lo es. Por lo tanto, la función al cuadrado no es logarítmicamente convexa. ${\displaystyle \exp }$ ${\displaystyle \log \circ f}$ ${\displaystyle f(x)=x^{2}}$ ${\displaystyle \log f(x)=2\log |x|}$

Ejemplos

• ${\displaystyle f(x)=\exp(|x|^{p})}$es logarítmicamente convexo cuando y estrictamente logarítmicamente convexo cuando . ${\displaystyle p\geq 1}$ ${\displaystyle p>1}$
• ${\displaystyle f(x)={\frac {1}{x^{p}}}}$es estrictamente logarítmicamente convexo para todos ${\displaystyle (0,\infty )}$ ${\displaystyle p>0.}$
• La función gamma de Euler es estrictamente logarítmicamente convexa cuando se limita a los números reales positivos. De hecho, mediante el teorema de Bohr-Mollerup , esta propiedad se puede utilizar para caracterizar la función gamma de Euler entre las posibles extensiones de la función factorial a argumentos reales.

Véase también

• Función logarítmicamente cóncava

Notas

1. Kingman, JFC 1961. Una propiedad de convexidad de matrices positivas. Quart. J. Math. Oxford (2) 12,283-284.
2. Montel 1928.
3. NiculescuPersson 2006, pag. 70.

Referencias

• John B. Conway. Funciones de una variable compleja I , segunda edición. Springer-Verlag, 1995. ISBN  0-387-90328-3 .
• "Convexidad logarítmica", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• Niculescu, Constantin; Persson, Lars-Erik (2006), Funciones convexas y sus aplicaciones: un enfoque contemporáneo (1.ª ed.), Springer , doi :10.1007/0-387-31077-0, ISBN 978-0-387-24300-9, ISSN  1613-5237.

• Montel, Paul (1928), "Sur les fonctions convexes et les fonctions sousharmoniques", Journal de Mathématiques Pures et Appliquées (en francés), 7 : 29–60.

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