" Ueber die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Grösse " (traducción habitual al inglés : " Sobre el número de primos menores que una magnitud dada ") es un artículo fundamental de nueve páginas de Bernhard Riemann publicado en la edición de noviembre de 1859 del Monatsberichte der Königlich. Preußischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin .
Este artículo estudia la función de conteo de primos utilizando métodos analíticos . Aunque es el único artículo que Riemann publicó sobre teoría de números , contiene ideas que influyeron en miles de investigadores desde finales del siglo XIX hasta la actualidad. El artículo consta principalmente de definiciones , argumentos heurísticos , esbozos de pruebas y la aplicación de poderosos métodos analíticos; todos ellos se han convertido en conceptos y herramientas esenciales de la teoría analítica de números moderna .
Entre las nuevas definiciones, ideas y notaciones introducidas:
Entre las pruebas y bocetos de pruebas:
Entre las conjeturas realizadas:
Eso es,... es ist sehr wahrscheinlich, dass alle Wurzeln reell sind. Hiervon wäre allerdings ein strenger Beweis zu wünschen; ich habe indess die Aufsuchung desselben nach einigen flüchtigen vergeblichen Versuchen vorläufig bei Seite gelassen, da er für den nächsten Zweck meiner Untersuchung entbehrlich schien.
(Estaba discutiendo una versión de la función zeta, modificada para que sus raíces sean reales en lugar de estar en la línea crítica).es muy probable que todas las raíces sean reales. Sin embargo, se desearía una prueba estricta de esto; Sin embargo, después de algunos intentos fugaces e inútiles, he dejado de lado provisionalmente la búsqueda de tales objetos, ya que parece innecesario para el próximo objetivo de mi investigación.
Nuevos métodos y técnicas utilizadas en la teoría de números:
Riemann también discutió la relación entre ζ( s ) y la distribución de los números primos, usando la función J ( x ) esencialmente como una medida para la integración de Stieltjes . Luego obtuvo el resultado principal del artículo, una fórmula para J ( x ), comparándola con ln(ζ( s )). Luego, Riemann encontró una fórmula para la función de conteo de primos π ( x ) (que él llama F ( x )). Señala que su ecuación explica el hecho de que π ( x ) crece más lentamente que la integral logarítmica , como habían descubierto Carl Friedrich Gauss y Carl Wolfgang Benjamin Goldschmidt .
El artículo contiene algunas peculiaridades para los lectores modernos, como el uso de Π ( s − 1) en lugar de Γ( s ), escribir tt en lugar de t 2 y usar los límites de ∞ a ∞ para denotar una integral de contorno .