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Función G de Barnes

Gráfico de la función G de Barnes G(z) en el plano complejo desde -2-2i hasta 2+2i con colores creados con la función ComplexPlot3D de Mathematica 13.1
Gráfico de la función G(z) de Barnes G también conocida como doble gamma en el plano complejo desde -2-2i hasta 2+2i con colores creados con la función ComplexPlot3D de Mathematica 13.1
La función G de Barnes a lo largo de una parte del eje real

En matemáticas , la función G de Barnes G ( z ) es una función que es una extensión de los superfactoriales a los números complejos . Está relacionada con la función gamma , la función K y la constante de Glaisher-Kinkelin , y recibió su nombre en honor al matemático Ernest William Barnes . [1] Puede escribirse en términos de la función gamma doble .

Formalmente, la función G de Barnes se define en la siguiente forma de producto de Weierstrass :

donde es la constante de Euler-Mascheroni , exp ( x ) = e x es la función exponencial y Π denota multiplicación ( notación pi mayúscula ).

La representación integral, que puede deducirse de la relación con la función gamma doble , es

Como función completa , G es de orden dos y de tipo infinito. Esto se puede deducir de la expansión asintótica que se muestra a continuación.

Ecuación funcional y argumentos enteros

La función G de Barnes satisface la ecuación funcional

con normalización G (1) = 1. Nótese la similitud entre la ecuación funcional de la función G de Barnes y la de la función gamma de Euler :

La ecuación funcional implica que G toma los siguientes valores en argumentos enteros :

(en particular, ) y por lo tanto

donde denota la función gamma y K denota la función K. La ecuación funcional define de forma única la función G de Barnes si se cumple la condición de convexidad,

se añade. [2] Además, la función G de Barnes satisface la fórmula de duplicación, [3]

,

¿Dónde está la constante de Glaisher-Kinkelin ?

Caracterización

De manera similar al teorema de Bohr-Mollerup para la función gamma , para una constante , tenemos para [4]

y para

como .

Fórmula de reflexión

La ecuación diferencial para la función G, junto con la ecuación funcional para la función gamma , se puede utilizar para obtener la siguiente fórmula de reflexión para la función G de Barnes (probada originalmente por Hermann Kinkelin ):

La integral logaritmo-tangente del lado derecho se puede evaluar en términos de la función de Clausen (de orden 2), como se muestra a continuación:

La prueba de este resultado depende de la siguiente evaluación de la integral cotangente: introduciendo la notación para la integral logarítmica-cotangente y utilizando el hecho de que , una integración por partes da

Realizando la sustitución integral se obtiene

La función de Clausen – de segundo orden – tiene la representación integral

Sin embargo, dentro del intervalo , el signo de valor absoluto dentro del integrando se puede omitir, ya que dentro del rango la función 'semi-seno' en la integral es estrictamente positiva y estrictamente distinta de cero. Comparando esta definición con el resultado anterior para la integral logaritmo-tangente, se cumple claramente la siguiente relación:

Así, después de un ligero reordenamiento de términos, la prueba está completa:

Usando la relación y dividiendo la fórmula de reflexión por un factor de se obtiene la forma equivalente:

Adamchik (2003) ha dado una forma equivalente de la fórmula de reflexión , pero con una prueba diferente. [5]

Reemplazando z por 1/2  −  z en la fórmula de reflexión anterior da, después de cierta simplificación, la fórmula equivalente que se muestra a continuación (que involucra polinomios de Bernoulli ):

Expansión de la serie de Taylor

Por el teorema de Taylor , y considerando las derivadas logarítmicas de la función de Barnes, se puede obtener el siguiente desarrollo en serie:

Es válido para . Aquí está la función zeta de Riemann :

Exponenciando ambos lados de la expansión de Taylor obtenemos:

Comparando esto con la forma del producto de Weierstrass de la función de Barnes se obtiene la siguiente relación:

Fórmula de multiplicación

Al igual que la función gamma, la función G también tiene una fórmula de multiplicación: [6]

donde es una constante dada por:

Aquí está la derivada de la función zeta de Riemann y es la constante de Glaisher-Kinkelin .

Valor absoluto

Es cierto que , por lo tanto . A partir de esta relación y por la forma del producto de Weierstrass presentada anteriormente se puede demostrar que

Esta relación es válida para valores arbitrarios de , y . Si , entonces la siguiente fórmula es válida:

para realidad arbitraria .

Expansión asintótica

El logaritmo de G ( z + 1) tiene la siguiente expansión asintótica, según lo establecido por Barnes:

Aquí están los números de Bernoulli y es la constante de Glaisher-Kinkelin . (Nótese que, de manera algo confusa en la época de Barnes [7], el número de Bernoulli se habría escrito como , pero esta convención ya no es actual). Esta expansión es válida para en cualquier sector que no contenga el eje real negativo con grandes.

Relación con la integral log-gamma

El log-gamma paramétrico se puede evaluar en términos de la función G de Barnes: [5]

Referencias

  1. ^ EW Barnes, "La teoría de la función G", Quarterly Journ. Pure and Appl. Math. 31 (1900), 264–314.
  2. ^ MF Vignéras, L'équation fonctionelle de la fonction zêta de Selberg du groupe mudulaire SL , Astérisque 61 , 235-249 (1979).
  3. ^ Park, Junesang (1996). "Una fórmula de duplicación para la función gamma doble $Gamma_2$". Boletín de la Sociedad Matemática Coreana . 33 (2): 289–294.
  4. ^ Marichal, Jean Luc. Una generalización del teorema de Bohr-Mollerup para funciones convexas de orden superior (PDF) . Springer. pág. 218.
  5. ^ ab Adamchik, Viktor S. (2003). "Contribuciones a la teoría de la función de Barnes". arXiv : math/0308086 .
  6. ^ I. Vardi, Determinantes de laplacianos y funciones gamma múltiples , SIAM J. Math. Anal. 19 , 493–507 (1988).
  7. ^ ET Whittaker y GN Watson , " Un curso de análisis moderno ", CUP.