Función gamma múltiple

Generalización de la función gamma de Euler y la función G de Barnes

Gráfico de la función G(z) de Barnes G, también conocida como doble gamma, en el plano complejo desde -2-2i hasta 2+2i con colores creados con la función ComplexPlot3D de Mathematica 13.1

En matemáticas, la función gamma múltiple es una generalización de la función gamma de Euler y de la función G de Barnes . La función gamma doble fue estudiada por Barnes (1901). Al final de este artículo mencionó la existencia de múltiples funciones gamma que la generalizan, y las estudió más a fondo en Barnes (1904). ${\displaystyle \Gamma _{N}}$

Las funciones gamma dobles están estrechamente relacionadas con la función q-gamma , y ​​las funciones gamma triples están relacionadas con la función gamma elíptica . ${\displaystyle \Gamma _{2}}$ ${\displaystyle \Gamma _{3}}$

Definición

Para , dejar ${\displaystyle \Re a_{i}>0}$

${\displaystyle \Gamma _{N}(w\mid a_{1},\ldots ,a_{N})=\exp \left(\left.{\frac {\partial }{\partial s}}\zeta _{N}(s,w\mid a_{1},\ldots ,a_{N})\right|_{s=0}\right)\ ,}$

donde es la función zeta de Barnes . (Esto difiere en una constante de la definición original de Barnes). ${\displaystyle \zeta _{N}}$

Propiedades

Considerada como una función meromórfica de , no tiene ceros. Tiene polos en para números enteros no negativos . Estos polos son simples a menos que alguno de ellos coincida. Hasta la multiplicación por la exponencial de un polinomio, es la única función meromórfica de orden finito con estos ceros y polos. ${\displaystyle w}$ ${\displaystyle \Gamma _{N}(w\mid a_{1},\ldots ,a_{N})}$ ${\displaystyle w=-\sum _{i=1}^{N}n_{i}a_{i}}$ ${\displaystyle n_{i}}$ ${\displaystyle \Gamma _{N}(w\mid a_{1},\ldots ,a_{N})}$

• ${\displaystyle \Gamma _{0}(w\mid )={\frac {1}{w}}\ ,}$
• ${\displaystyle \Gamma _{1}(w\mid a)={\frac {a^{a^{-1}w-{\frac {1}{2}}}}{\sqrt {2\pi }}}\Gamma \left(a^{-1}w\right)\ ,}$
• ${\displaystyle \Gamma _{N}(w\mid a_{1},\ldots ,a_{N})=\Gamma _{N-1}(w\mid a_{1},\ldots ,a_{N-1})\Gamma _{N}(w+a_{N}\mid a_{1},\ldots ,a_{N})\ .}$

En el caso de la función Gamma doble, se conoce el comportamiento asintótico para y el factor principal es ^[1] ${\displaystyle w\to \infty }$

${\displaystyle \Gamma _{2}(w|a_{1},a_{2})\ {\underset {w\to \infty }{\sim }}\ w^{\frac {w^{2}}{2a_{1}a_{2}}}\quad {\text{for}}\quad \left\{{\begin{array}{l}{\frac {a_{1}}{a_{2}}}\in \mathbb {C} \backslash (-\infty ,0]\ ,\\w\in \mathbb {C} \backslash \left(\mathbb {R} _{+}a_{1}+\mathbb {R} _{+}a_{2}\right)\ .\end{array}}\right.}$

Representación infinita de productos

La función gamma múltiple tiene una representación de producto infinito que hace manifiesto que es meromórfica, y que también hace manifiesto las posiciones de sus polos. En el caso de la función gamma doble, esta representación es ^[2]

${\displaystyle \Gamma _{2}(w\mid a_{1},a_{2})={\frac {e^{\lambda _{1}w+\lambda _{2}w^{2}}}{w}}\prod _{\begin{array}{c}(n_{1},n_{2})\in \mathbb {N} ^{2}\\(n_{1},n_{2})\neq (0,0)\end{array}}{\frac {e^{{\frac {w}{n_{1}a_{1}+n_{2}a_{2}}}-{\frac {1}{2}}{\frac {w^{2}}{(n_{1}a_{1}+n_{2}a_{2})^{2}}}}}{1+{\frac {w}{n_{1}a_{1}+n_{2}a_{2}}}}}\ ,}$

donde definimos los coeficientes independientes ${\displaystyle w}$

${\displaystyle \lambda _{1}=-{\underset {s=1}{\operatorname {Res} _{0}}}\zeta _{2}(s,0\mid a_{1},a_{2})\ ,}$

${\displaystyle \lambda _{2}={\frac {1}{2}}{\underset {s=2}{\operatorname {Res} _{0}}}\zeta _{2}(s,0\mid a_{1},a_{2})+{\frac {1}{2}}{\underset {s=2}{\operatorname {Res} _{1}}}\zeta _{2}(s,0\mid a_{1},a_{2})\ ,}$

donde es un residuo de orden -ésimo en . ${\displaystyle {\underset {s=s_{0}}{\operatorname {Res} _{n}}}f(s)={\frac {1}{2\pi i}}\oint _{s_{0}}(s-s_{0})^{n-1}f(s)\,ds}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle s_{0}}$

Otra representación como producto conduce a un algoritmo para calcular numéricamente la función Gamma doble. ^[1] ${\displaystyle \mathbb {N} }$

Reducción a la función G de Barnes

La función gamma doble con parámetros obedece a las relaciones ^[2] ${\displaystyle 1,1}$

${\displaystyle \Gamma _{2}(w+1|1,1)={\frac {\sqrt {2\pi }}{\Gamma (w)}}\Gamma _{2}(w|1,1)\quad ,\quad \Gamma _{2}(1|1,1)={\sqrt {2\pi }}\ .}$

Está relacionada con la función G de Barnes por

${\displaystyle \Gamma _{2}(w|\alpha ,\alpha )=(2\pi )^{\frac {w}{2\alpha }}\alpha ^{-{\frac {w^{2}}{2\alpha ^{2}}}+{\frac {w}{\alpha }}-1}G(w/\alpha )^{-1}\ .}$

La función gamma doble y la teoría de campos conformes

Para y , la función ${\displaystyle \Re b>0}$ ${\displaystyle Q=b+b^{-1}}$

${\displaystyle \Gamma _{b}(w)={\frac {\Gamma _{2}(w\mid b,b^{-1})}{\Gamma _{2}\left({\frac {Q}{2}}\mid b,b^{-1}\right)}}\ ,}$

es invariante bajo , y obedece las relaciones ${\displaystyle b\to b^{-1}}$

${\displaystyle \Gamma _{b}(w+b)={\sqrt {2\pi }}{\frac {b^{bw-{\frac {1}{2}}}}{\Gamma (bw)}}\Gamma _{b}(w)\quad ,\quad \Gamma _{b}(w+b^{-1})={\sqrt {2\pi }}{\frac {b^{-b^{-1}w+{\frac {1}{2}}}}{\Gamma (b^{-1}w)}}\Gamma _{b}(w)\ .}$

Para , tiene la representación integral ${\displaystyle \Re w>0}$

${\displaystyle \log \Gamma _{b}(w)=\int _{0}^{\infty }{\frac {dt}{t}}\left[{\frac {e^{-wt}-e^{-{\frac {Q}{2}}t}}{(1-e^{-bt})(1-e^{-b^{-1}t})}}-{\frac {\left({\frac {Q}{2}}-w\right)^{2}}{2}}e^{-t}-{\frac {{\frac {Q}{2}}-w}{t}}\right]\ .}$

A partir de la función , definimos la función seno doble y la función Úpsilon mediante ${\displaystyle \Gamma _{b}(w)}$ ${\displaystyle S_{b}(w)}$ ${\displaystyle \Upsilon _{b}(w)}$

${\displaystyle S_{b}(w)={\frac {\Gamma _{b}(w)}{\Gamma _{b}(Q-w)}}\quad ,\quad \Upsilon _{b}(w)={\frac {1}{\Gamma _{b}(w)\Gamma _{b}(Q-w)}}\ .}$

Estas funciones obedecen a las relaciones

${\displaystyle S_{b}(w+b)=2\sin(\pi bw)S_{b}(w)\quad ,\quad \Upsilon _{b}(w+b)={\frac {\Gamma (bw)}{\Gamma (1-bw)}}b^{1-2bw}\Upsilon _{b}(w)\ ,}$

más las relaciones que se obtienen por . Porque tienen las representaciones integrales ${\displaystyle b\to b^{-1}}$ ${\displaystyle 0<\Re w<\Re Q}$

${\displaystyle \log S_{b}(w)=\int _{0}^{\infty }{\frac {dt}{t}}\left[{\frac {\sinh \left({\frac {Q}{2}}-w\right)t}{2\sinh \left({\frac {1}{2}}bt\right)\sinh \left({\frac {1}{2}}b^{-1}t\right)}}-{\frac {Q-2w}{t}}\right]\ ,}$

${\displaystyle \log \Upsilon _{b}(w)=\int _{0}^{\infty }{\frac {dt}{t}}\left[\left({\frac {Q}{2}}-w\right)^{2}e^{-t}-{\frac {\sinh ^{2}{\frac {1}{2}}\left({\frac {Q}{2}}-w\right)t}{\sinh \left({\frac {1}{2}}bt\right)\sinh \left({\frac {1}{2}}b^{-1}t\right)}}\right]\ .}$

Las funciones y aparecen en funciones de correlación de la teoría de campos conforme bidimensional , con el parámetro relacionado con la carga central del álgebra de Virasoro subyacente . ^[3] En particular, la función de tres puntos de la teoría de Liouville se escribe en términos de la función . ${\displaystyle \Gamma _{b},S_{b}}$ ${\displaystyle \Upsilon _{b}}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle \Upsilon _{b}}$

Referencias

1. Alexanian, Shahen; Kuznetsov, Alexey (29 de agosto de 2022). "Sobre la función doble gamma de Barnes". arXiv : 2208.13876v1 [math.NT].
2. Spreafico, Mauro (2009). "Sobre las funciones dobles zeta y gamma de Barnes". Journal of Number Theory . 129 (9): 2035–2063. doi : 10.1016/j.jnt.2009.03.005 .
3. Ponsot, B. Avances recientes en la teoría de campos de Liouville (Tesis). arXiv : hep-th/0301193 . Bibcode :2003PhDT.......180P.

Lectura adicional

• Barnes, EW (1899), "La génesis de las funciones gamma dobles", Proc. London Math. Soc. , s1-31: 358–381, doi :10.1112/plms/s1-31.1.358
• Barnes, EW (1899), "La teoría de la función gamma doble", Actas de la Royal Society de Londres , 66 (424–433): 265–268, doi :10.1098/rspl.1899.0101, ISSN  0370-1662, JSTOR  116064, S2CID  186213903
• Barnes, EW (1901), "La teoría de la función gamma doble", Philosophical Transactions of the Royal Society of London. Serie A, que contiene artículos de carácter matemático o físico , 196 (274–286): 265–387, Bibcode :1901RSPTA.196..265B, doi :10.1098/rsta.1901.0006, ISSN  0264-3952, JSTOR  90809
• Barnes, EW (1904), "Sobre la teoría de la función gamma múltiple", Trans. Camb. Philos. Soc. , 19 : 374–425
• Friedman, Eduardo; Ruijsenaars, Simon (2004), "Funciones zeta y gamma de Shintani–Barnes", Advances in Mathematics , 187 (2): 362–395, doi :10.1016/j.aim.2003.07.020, ISSN  0001-8708, MR  2078341
• Ruijsenaars, SNM (2000), "Sobre las funciones zeta y gamma múltiples de Barnes", Advances in Mathematics , 156 (1): 107–132, doi : 10.1006/aima.2000.1946 , ISSN  0001-8708, MR  1800255