Constante de Glaisher-Kinkelin

En matemáticas , la constante de Glaisher-Kinkelin o constante de Glaisher , normalmente denotada como A , es una constante matemática , relacionada con la función K y la función G de Barnes . La constante aparece en varias sumas e integrales , especialmente aquellas que involucran funciones gamma y funciones zeta . Lleva el nombre de los matemáticos James Whitbread Lee Glaisher y Hermann Kinkelin .

Su valor aproximado es:

Una =1.282 427 129 100 622 636 87 ... (secuencia A074962 en la OEIS ).

La constante A de Glaisher-Kinkelin puede estar dada por el límite :

${\displaystyle A=\lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {K(n+1)}{n^{{\frac {n^{2}}{2}}+{\frac {n}{2}}+{\frac {1}{12}}}\,e^{-{\frac {n^{2}}{4}}}}}}$

donde K ( norte ) = Π^n-1
_{k =1} k ^k es el hiperfactorial . Esta fórmula muestra una similitud entre A y π que quizás se ilustra mejor observando la fórmula de Stirling :

${\displaystyle {\sqrt {2\pi }}=\lim _{n\to \infty }{\frac {n!}{n^{n+{\frac {1}{2}}}\,e^{-n}}}}$

lo que muestra que así como π se obtiene a partir de la aproximación de los factoriales , A también se puede obtener a partir de una aproximación similar a los hiperfactoriales.

Una definición equivalente para A que involucra la función G de Barnes , dada por G ( n ) = Π^{norte −2}
_{k = 1} ¡k ! =[Γ( norte )] ^{norte −1}/k ( n )donde Γ( n ) es la función gamma es:

${\displaystyle A=\lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {\left(2\pi \right)^{\frac {n}{2}}n^{{\frac {n^{2}}{2}}-{\frac {1}{12}}}e^{-{\frac {3n^{2}}{4}}+{\frac {1}{12}}}}{G(n+1)}}}$.

La constante de Glaisher-Kinkelin también aparece en evaluaciones de las derivadas de la función zeta de Riemann , como por ejemplo:

${\displaystyle \zeta '(-1)={\tfrac {1}{12}}-\ln A}$

${\displaystyle \sum _{k=2}^{\infty }{\frac {\ln k}{k^{2}}}=-\zeta '(2)={\frac {\pi ^{2}}{6}}\left(12\ln A-\gamma -\ln 2\pi \right)}$

donde γ es la constante de Euler-Mascheroni . La última fórmula conduce directamente al siguiente producto encontrado por Glaisher :

${\displaystyle \prod _{k=1}^{\infty }k^{\frac {1}{k^{2}}}=\left({\frac {A^{12}}{2\pi e^{\gamma }}}\right)^{\frac {\pi ^{2}}{6}}}$

Una fórmula de producto alternativa, definida sobre los números primos , dice ^[1]

${\displaystyle \prod _{k=1}^{\infty }p_{k}^{\frac {1}{p_{k}^{2}-1}}={\frac {A^{12}}{2\pi e^{\gamma }}},}$

donde p _k denota el k ésimo número primo .

Las siguientes son algunas integrales que involucran esta constante:

${\displaystyle \int _{0}^{\frac {1}{2}}\ln \Gamma (x)\,dx={\tfrac {3}{2}}\ln A+{\frac {5}{24}}\ln 2+{\tfrac {1}{4}}\ln \pi }$

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {x\ln x}{e^{2\pi x}-1}}\,dx={\tfrac {1}{2}}\zeta '(-1)={\tfrac {1}{24}}-{\tfrac {1}{2}}\ln A}$

Una representación en serie de esta constante se deriva de una serie para la función zeta de Riemann dada por Helmut Hasse .

${\displaystyle \ln A={\tfrac {1}{8}}-{\tfrac {1}{2}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n+1}}\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}{\binom {n}{k}}(k+1)^{2}\ln(k+1)}$

Referencias

1. Van Gorder, Robert A. (2012). "Productos tipo Glaisher sobre los números primos". Revista Internacional de Teoría de Números . 08 (2): 543–550. doi :10.1142/S1793042112500297.

• Guillera, Jesús; Sondow, Jonathan (2008). "Integrales dobles y productos infinitos para algunas constantes clásicas mediante continuaciones analíticas de la trascendente de Lerch". El diario Ramanujan . 16 (3): 247–270. arXiv : math.NT/0506319 . doi :10.1007/s11139-007-9102-0. S2CID  14910435.
• Guillera, Jesús; Sondow, Jonathan (2008). "Integrales dobles y productos infinitos para algunas constantes clásicas mediante continuaciones analíticas de la trascendente de Lerch". Diario Ramanujan . 16 (3): 247–270. arXiv : matemáticas/0506319 . doi :10.1007/s11139-007-9102-0. S2CID  14910435.(Proporciona una variedad de relaciones).
• Weisstein, Eric W. "Constante de Glaisher-Kinkelin". MundoMatemático .
• Weisstein, Eric W. "Función Zeta de Riemann". MundoMatemático .

enlaces externos

• La constante de Glaisher-Kinkelin hasta 20.000 decimales