El símplex de Pascal

Las primeras cinco capas del 3-símplex de Pascal ( la pirámide de Pascal ). Cada cara (cuadrícula naranja) es el 2-símplex de Pascal ( el triángulo de Pascal ). Las flechas muestran la derivación de dos términos de ejemplo.

En matemáticas , el símplex de Pascal es una generalización del triángulo de Pascal en un número arbitrario de dimensiones , basado en el teorema multinomial .

Pascal genéricometro-simplex

Sea m ( m > 0 ) un número de términos de un polinomio y n ( n ≥ 0 ) una potencia a la que se eleva el polinomio.

Sea m ${\displaystyle \wedge }$^un símplex de Pascal . Cada símplex de Pascal es un objeto semiinfinito , que consta de una serie infinita de sus componentes.

Dejar ⁠ ⁠ ${\displaystyle \wedge }$^m
_-ndenota su componente n º , en sí mismo un símplex finito ( m − 1) con una longitud de arista n , con un equivalente de notacional . ${\displaystyle \vartriangle _{n}^{m-1}}$

norteel componente

${\displaystyle \wedge _{n}^{m}=\vartriangle _{n}^{m-1}}$consiste en los coeficientes de expansión multinomial de un polinomio con m términos elevados a la potencia n :

${\displaystyle |x|^{n}=\sum _{|k|=n}{{\binom {n}{k}}x^{k}};\ \ x\in \mathbb {R} ^{m},\ k\in \mathbb {N} _{0}^{m},\ n\in \mathbb {N} _{0},\ m\in \mathbb {N} }$

dónde . ${\displaystyle \textstyle |x|=\sum _{i=1}^{m}{x_{i}},\ |k|=\sum _{i=1}^{m}{k_{i}},\ x^{k}=\prod _{i=1}^{m}{x_{i}^{k_{i}}}}$

Ejemplo para ⋀4

4-símplex de Pascal (secuencia A189225 en la OEIS ), cortado a lo largo de k ₄ . Todos los puntos del mismo color pertenecen al mismo componente n º , desde rojo (para n = 0 ) hasta azul (para n = 3 ).

Simples específicos de Pascal

1-símplex de Pascal

1 no es conocido ${\displaystyle \wedge }$^por ningún nombre especial .

norteel componente

${\displaystyle \wedge _{n}^{1}=\vartriangle _{n}^{0}}$(un punto) es el coeficiente de expansión multinomial de un polinomio con 1 término elevado a la potencia de n :

${\displaystyle (x_{1})^{n}=\sum _{k_{1}=n}{n \choose k_{1}}x_{1}^{k_{1}};\ \ k_{1},n\in \mathbb {N} _{0}}$

Disposición de ${\displaystyle \vartriangle _{n}^{0}}$

${\displaystyle \textstyle {n \choose n}}$

que es igual a 1 para todo  n .

2-símplex de Pascal

${\displaystyle \wedge ^{2}}$se conoce como triángulo de Pascal (secuencia A007318 en la OEIS ).

norteel componente

${\displaystyle \wedge _{n}^{2}=\vartriangle _{n}^{1}}$(una línea) consiste en los coeficientes de expansión binomial de un polinomio con 2 términos elevados a la potencia de n :

${\displaystyle (x_{1}+x_{2})^{n}=\sum _{k_{1}+k_{2}=n}{n \choose k_{1},k_{2}}x_{1}^{k_{1}}x_{2}^{k_{2}};\ \ k_{1},k_{2},n\in \mathbb {N} _{0}}$

Disposición de ${\displaystyle \vartriangle _{n}^{1}}$

${\displaystyle \textstyle {n \choose n,0},{n \choose n-1,1},\cdots ,{n \choose 1,n-1},{n \choose 0,n}}$

El 3-símplex de Pascal

${\displaystyle \wedge ^{3}}$se conoce como tetraedro de Pascal (secuencia A046816 en la OEIS ).

norteel componente

${\displaystyle \wedge _{n}^{3}=\vartriangle _{n}^{2}}$(un triángulo) consiste en los coeficientes de la expansión trinomial de un polinomio con 3 términos elevado a la potencia de n :

${\displaystyle (x_{1}+x_{2}+x_{3})^{n}=\sum _{k_{1}+k_{2}+k_{3}=n}{n \choose k_{1},k_{2},k_{3}}x_{1}^{k_{1}}x_{2}^{k_{2}}x_{3}^{k_{3}};\ \ k_{1},k_{2},k_{3},n\in \mathbb {N} _{0}}$

Disposición de ${\displaystyle \vartriangle _{n}^{2}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\textstyle {n \choose n,0,0}&,\textstyle {n \choose n-1,1,0},\cdots \cdots ,{n \choose 1,n-1,0},{n \choose 0,n,0}\\\textstyle {n \choose n-1,0,1}&,\textstyle {n \choose n-2,1,1},\cdots \cdots ,{n \choose 0,n-1,1}\\&\vdots \\\textstyle {n \choose 1,0,n-1}&,\textstyle {n \choose 0,1,n-1}\\\textstyle {n \choose 0,0,n}\end{aligned}}}$

Propiedades

Herencia de componentes

${\displaystyle \wedge _{n}^{m}=\vartriangle _{n}^{m-1}}$es numéricamente igual a cada ( m − 1) -cara (hay m + 1 de ellas) de , o: ${\displaystyle \vartriangle _{n}^{m}=\wedge _{n}^{m+1}}$

${\displaystyle \wedge _{n}^{m}=\vartriangle _{n}^{m-1}\subset \ \vartriangle _{n}^{m}=\wedge _{n}^{m+1}}$

De esto se deduce que el total está ( m + 1) veces incluido en , o: ${\displaystyle \wedge ^{m}}$ ${\displaystyle \wedge ^{m+1}}$

${\displaystyle \wedge ^{m}\subset \wedge ^{m+1}}$

Ejemplo

Para conocer más términos en la matriz anterior, consulte (secuencia A191358 en la OEIS )

Igualdad de subcaras

Por el contrario, es ( m + 1) -veces acotado por , o: ${\displaystyle \wedge _{n}^{m+1}=\vartriangle _{n}^{m}}$ ${\displaystyle \vartriangle _{n}^{m-1}=\wedge _{n}^{m}}$

${\displaystyle \wedge _{n}^{m+1}=\vartriangle _{n}^{m}\supset \vartriangle _{n}^{m-1}=\wedge _{n}^{m}}$

De esto se deduce que, para n dado , todas las i -caras son numéricamente iguales en los n -ésimos componentes de todos los ( m > i )-símplices de Pascal , o:

${\displaystyle \wedge _{n}^{i+1}=\vartriangle _{n}^{i}\subset \vartriangle _{n}^{m>i}=\wedge _{n}^{m>i+1}}$

Ejemplo

El tercer componente (2-símplex) del 3-símplex de Pascal está limitado por 3 caras 1 iguales (líneas). Cada cara 1 (línea) está limitada por 2 caras 0 iguales (vértices):

2-simplex 1-caras de 2-simplex 0-caras de 1-cara 1 3 3 1 1 . . . . . . 1 1 3 3 1 1 . . . . . . 1 3 6 3 3 . . . . 3 . . . 3 3 3 . . 3 . . 1 1 1 .

Además, para todos los m y todos los n :

${\displaystyle 1=\wedge _{n}^{1}=\vartriangle _{n}^{0}\subset \vartriangle _{n}^{m-1}=\wedge _{n}^{m}}$

Número de coeficientes

Para el componente n -ésimo ( ( m − 1) -simplex) del m -simplex de Pascal , el número de coeficientes de expansión multinomial que lo componen viene dado por:

${\displaystyle {(n-1)+(m-1) \choose (m-1)}+{n+(m-2) \choose (m-2)}={n+(m-1) \choose (m-1)}=\left(\!\!{\binom {m}{n}}\!\!\right),}$

(donde este último es la notación de elección múltiple ). Podemos ver esto como una suma del número de coeficientes de un ( n − 1) -ésimo componente ( ( m − 1) -simplex) del m -simplex de Pascal con el número de coeficientes de un n ésimo componente ( ( m − 2) -simplex) del ( m − 1) -simplex de Pascal , o por un número de todas las particiones posibles de una n ésima potencia entre m exponentes.

Ejemplo

Los términos de esta tabla comprenden un triángulo de Pascal en el formato de una matriz de Pascal simétrica .

Simetría

Un componente n -ésimo ( ( m − 1) -símplex) del m -símplex de Pascal tiene la simetría espacial ( m !)-pliegue.

Geometría

Ejes ortogonales k ₁ , ..., k _m en el espacio m -dimensional, vértices del componente en n en cada eje, la punta en [0, ..., 0] para n = 0 .

Construcción numérica

La n - ésima potencia de un número grande da instantáneamente el n- ésimo componente de un símplex de Pascal.

${\displaystyle \left|b^{dp}\right|^{n}=\sum _{|k|=n}{{\binom {n}{k}}b^{dp\cdot k}};\ \ b,d\in \mathbb {N} ,\ n\in \mathbb {N} _{0},\ k,p\in \mathbb {N} _{0}^{m},\ p:\ p_{1}=0,p_{i}=(n+1)^{i-2}}$

dónde . ${\displaystyle \textstyle b^{dp}=(b^{dp_{1}},\cdots ,b^{dp_{m}})\in \mathbb {N} ^{m},\ p\cdot k={\sum _{i=1}^{m}{p_{i}k_{i}}}\in \mathbb {N} _{0}}$