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Matriz de Pascal

En teoría de matrices y combinatoria , una matriz de Pascal es una matriz (posiblemente infinita ) que contiene los coeficientes binomiales como sus elementos. Es, por tanto, una codificación del triángulo de Pascal en forma matricial. Hay tres formas naturales de lograrlo: como una matriz triangular inferior , una matriz triangular superior o una matriz simétrica . Por ejemplo, las matrices de 5 × 5 son:

Hay otras formas en las que el triángulo de Pascal puede expresarse en forma matricial, pero no se pueden extender fácilmente hasta el infinito. [1]

Definición

Los elementos distintos de cero de una matriz de Pascal están dados por los coeficientes binomiales :

de modo que los índices i , j comienzan en 0 y ! denota el factorial .

Propiedades

Las matrices tienen la agradable relación S n = L n U n . De esto se ve fácilmente que las tres matrices tienen determinante 1, ya que el determinante de una matriz triangular es simplemente el producto de sus elementos diagonales, que son todos 1 tanto para L n como para U n . En otras palabras, las matrices S n , L n y U n son unimodulares , y L n y U n tienen traza n .

La traza de S n está dada por

con los primeros términos dados por la secuencia 1, 3, 9, 29, 99, 351, 1275, ... (secuencia A006134 en la OEIS ).

Construcción

En realidad, una matriz de Pascal se puede construir tomando la exponencial matricial de una matriz subdiagonal o superdiagonal especial . El ejemplo siguiente construye una matriz de Pascal de 7 × 7, pero el método funciona para cualquier matriz de Pascal de n  ×  n deseada . Los puntos en las siguientes matrices representan cero elementos.

No se puede simplemente suponer que exp( A ) exp( B ) = exp( A  +  B ), para matrices n  ×  n A y B ; esta igualdad solo es verdadera cuando AB = BA (es decir, cuando las matrices A y B conmutan ). En la construcción de matrices de Pascal simétricas como la anterior, las matrices subdiagonales y superdiagonales no conmutan, por lo que no se puede realizar la simplificación (quizás) tentadora que implica la adición de las matrices.

Una propiedad útil de las matrices subdiagonales y superdiagonales utilizadas para la construcción es que ambas son nilpotentes ; es decir, cuando se elevan a una potencia entera suficientemente grande , degeneran en la matriz cero . (Ver matriz de desplazamiento para más detalles). Como las matrices de desplazamiento generalizadas n  ×  n que estamos utilizando se vuelven cero cuando se elevan a la potencia n , al calcular la exponencial matricial solo necesitamos considerar los primeros n  + 1 términos de la serie infinita para obtener un resultado exacto.

Variantes

Se pueden obtener variantes interesantes mediante la modificación obvia de la matriz logarítmica PL 7 y la posterior aplicación de la matriz exponencial.

El primer ejemplo a continuación utiliza los cuadrados de los valores de la matriz logarítmica y construye una matriz de "Laguerre" de 7 × 7 (o matriz de coeficientes de polinomios de Laguerre) .

La matriz de Laguerre se utiliza actualmente con otras escalas y/o con el esquema de signos alternados. (Aún no se ha encontrado literatura sobre generalizaciones a potencias superiores)

El segundo ejemplo a continuación utiliza los productos v ( v  + 1) de los valores de la matriz logarítmica y construye una matriz "Lah" de 7 × 7 (o matriz de coeficientes de números Lah ).

El uso de v ( v  − 1) en cambio proporciona un desplazamiento diagonal hacia la parte inferior derecha.

El tercer ejemplo a continuación utiliza el cuadrado de la matriz PL 7 original , dividido por 2, en otras palabras: los binomios de primer orden (binomial( k , 2)) en la segunda subdiagonal y construye una matriz, que aparece en el contexto de las derivadas e integrales de la función de error gaussiana :

Si se invierte esta matriz (utilizando, por ejemplo, la matriz logarítmica negativa), entonces esta matriz tiene signos alternos y da los coeficientes de las derivadas (y por extensión, las integrales) de la función de error de Gauss. (Aún no se ha encontrado literatura sobre generalizaciones a potencias mayores).

Otra variante se puede obtener extendiendo la matriz original a valores negativos :

Véase también

Referencias

  1. ^ Birregah, Babiga; Doh, Prosper K.; Adjallah, Kondo H. (1 de julio de 2010). "Un enfoque sistemático de las formas matriciales del triángulo de Pascal: las doce formas matriciales triangulares y sus relaciones". Revista Europea de Combinatoria . 31 (5): 1205–1216. doi :10.1016/j.ejc.2009.10.009. ISSN  0195-6698.

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