La aproximación de Stirling

Aproximación para factoriales

Comparación de la aproximación de Stirling con el factorial

En matemáticas , la aproximación de Stirling (o fórmula de Stirling ) es una aproximación asintótica para factoriales . Es una buena aproximación que produce resultados precisos incluso para valores pequeños de . Lleva el nombre de James Stirling , aunque Abraham de Moivre afirmó por primera vez un resultado relacionado pero menos preciso . ^{[1] [2] [3]} ${\displaystyle n}$

Una forma de expresar la aproximación implica el logaritmo del factorial:

$${\displaystyle \ln(n!)=n\ln n-n+O(\ln n),}$$

notación O grandelímite inferior del peor de los casos para la clasificación por comparaciónlogaritmo binario ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \ln(n!)}$ ${\displaystyle n\ln n-n}$

$${\displaystyle \log _{2}(n!)=n\log _{2}n-n\log _{2}e+O(\log _{2}n).}$$

${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}\log(2\pi n)+O({\tfrac {1}{n}})}$

$${\displaystyle n!\sim {\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}.}$$

asintóticas ${\displaystyle \sim }$ ${\displaystyle n}$

$${\displaystyle {\sqrt {2\pi n}}\ \left({\frac {n}{e}}\right)^{n}e^{\frac {1}{12n+1}}<n!<{\sqrt {2\pi n}}\ \left({\frac {n}{e}}\right)^{n}e^{\frac {1}{12n}}.}$$

Derivación

En términos generales, la versión más simple de la fórmula de Stirling se puede obtener rápidamente aproximando la suma

$${\displaystyle \ln(n!)=\sum _{j=1}^{n}\ln j}$$

integral

$${\displaystyle \sum _{j=1}^{n}\ln j\approx \int _{1}^{n}\ln x\,{\rm {d}}x=n\ln n-n+1.}$$

La fórmula completa, junto con estimaciones precisas de su error, se puede derivar de la siguiente manera. En lugar de aproximar , se considera su logaritmo natural , ya que es una función que varía lentamente : ${\displaystyle n!}$

$${\displaystyle \ln(n!)=\ln 1+\ln 2+\cdots +\ln n.}$$

El lado derecho de esta ecuación menos

$${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}(\ln 1+\ln n)={\tfrac {1}{2}}\ln n}$$

regla del trapezoide

$${\displaystyle \ln(n!)-{\tfrac {1}{2}}\ln n\approx \int _{1}^{n}\ln x\,{\rm {d}}x=n\ln n-n+1,}$$

y el error en esta aproximación viene dado por la fórmula de Euler-Maclaurin :

$${\displaystyle {\begin{aligned}\ln(n!)-{\tfrac {1}{2}}\ln n&={\tfrac {1}{2}}\ln 1+\ln 2+\ln 3+\cdots +\ln(n-1)+{\tfrac {1}{2}}\ln n\\&=n\ln n-n+1+\sum _{k=2}^{m}{\frac {(-1)^{k}B_{k}}{k(k-1)}}\left({\frac {1}{n^{k-1}}}-1\right)+R_{m,n},\end{aligned}}}$$

donde es un número de Bernoulli y R _{m , n} es el término restante de la fórmula de Euler-Maclaurin. Toma límites para encontrar eso. ${\displaystyle B_{k}}$

$${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\left(\ln(n!)-n\ln n+n-{\tfrac {1}{2}}\ln n\right)=1-\sum _{k=2}^{m}{\frac {(-1)^{k}B_{k}}{k(k-1)}}+\lim _{n\to \infty }R_{m,n}.}$$

Denota este límite como . Debido a que el resto R _{m , n} en la fórmula de Euler-Maclaurin satisface ${\displaystyle y}$

$${\displaystyle R_{m,n}=\lim _{n\to \infty }R_{m,n}+O\left({\frac {1}{n^{m}}}\right),}$$

donde se usa la notación O grande , la combinación de las ecuaciones anteriores produce la fórmula de aproximación en su forma logarítmica:

$${\displaystyle \ln(n!)=n\ln \left({\frac {n}{e}}\right)+{\tfrac {1}{2}}\ln n+y+\sum _{k=2}^{m}{\frac {(-1)^{k}B_{k}}{k(k-1)n^{k-1}}}+O\left({\frac {1}{n^{m}}}\right).}$$

Tomando la exponencial de ambos lados y eligiendo cualquier número entero positivo , se obtiene una fórmula que involucra una cantidad desconocida . Para m = 1 , la fórmula es ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle e^{y}}$

$${\displaystyle n!=e^{y}{\sqrt {n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}\left(1+O\left({\frac {1}{n}}\right)\right).}$$

La cantidad se puede encontrar tomando el límite en ambos lados cuando tiende al infinito y usando el producto de Wallis , que muestra que . Por tanto, se obtiene la fórmula de Stirling: ${\displaystyle e^{y}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle e^{y}={\sqrt {2\pi }}}$

$${\displaystyle n!={\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}\left(1+O\left({\frac {1}{n}}\right)\right).}$$

Derivaciones alternativas

Una fórmula alternativa para usar la función gamma es ${\displaystyle n!}$

$${\displaystyle n!=\int _{0}^{\infty }x^{n}e^{-x}\,{\rm {d}}x.}$$

x = ny

$${\displaystyle n!=\int _{0}^{\infty }e^{n\ln x-x}\,{\rm {d}}x=e^{n\ln n}n\int _{0}^{\infty }e^{n(\ln y-y)}\,{\rm {d}}y.}$$

el método de Laplace

$${\displaystyle \int _{0}^{\infty }e^{n(\ln y-y)}\,{\rm {d}}y\sim {\sqrt {\frac {2\pi }{n}}}e^{-n},}$$

$${\displaystyle n!\sim e^{n\ln n}n{\sqrt {\frac {2\pi }{n}}}e^{-n}={\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}.}$$

Órdenes superiores

De hecho, también se pueden obtener correcciones adicionales utilizando el método de Laplace. Del resultado anterior sabemos que , por lo que "quitamos" este término dominante y luego realizamos un cambio de variables para obtener: ${\displaystyle \Gamma (x)\sim x^{x}e^{-x}}$

$${\displaystyle x^{-x}e^{x}\Gamma (x)=\int _{\mathbb {R} }e^{x(1+t-e^{t})}dt}$$

${\displaystyle t\mapsto 1+t-e^{t}}$ ${\displaystyle -t^{2}/2}$ ${\displaystyle 1+t-e^{t}=-\tau ^{2}/2}$ ${\displaystyle t=\tau -\tau ^{2}/6+\tau ^{3}/36+a_{4}\tau ^{4}+O(\tau ^{5})}$

$${\displaystyle x^{-x}e^{x}\Gamma (x)=\int _{\mathbb {R} }e^{-x\tau ^{2}/2}(1-\tau /3+\tau ^{2}/12+4a_{4}\tau ^{3}+O(\tau ^{4}))d\tau ={\sqrt {2\pi }}(x^{-1/2}+x^{-3/2}/12)+O(x^{-5/2})}$$

${\displaystyle a_{4}}$ ${\displaystyle t=\tau +\cdots }$

Así obtenemos la fórmula de Stirling en dos órdenes:

$${\displaystyle n!={\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}\left(1+{\frac {1}{12n}}+O\left({\frac {1}{n^{2}}}\right)\right).}$$

Versión analítica compleja

Una versión de análisis complejo de este método ^[4] consiste en considerar como un coeficiente de Taylor de la función exponencial , calculada mediante la fórmula integral de Cauchy como ${\displaystyle {\frac {1}{n!}}}$ ${\displaystyle e^{z}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {z^{n}}{n!}}}$

$${\displaystyle {\frac {1}{n!}}={\frac {1}{2\pi i}}\oint \limits _{|z|=r}{\frac {e^{z}}{z^{n+1}}}\,\mathrm {d} z.}$$

Luego, esta integral de línea se puede aproximar utilizando el método del punto de silla con una elección adecuada del radio de contorno . Luego, la porción dominante de la integral cerca del punto de silla se aproxima mediante una integral real y el método de Laplace, mientras que la porción restante de la integral se puede acotar arriba para dar un término de error. ${\displaystyle r=r_{n}}$

Velocidad de convergencia y estimaciones de error.

El error relativo en una serie de Stirling truncada frente a , de 0 a 5 términos. Los puntos en las curvas representan puntos donde la serie truncada coincide con Γ( n + 1) . ${\displaystyle n}$

La fórmula de Stirling es de hecho la primera aproximación a la siguiente serie (ahora llamada serie de Stirling ): ^[5]

$${\displaystyle n!\sim {\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}\left(1+{\frac {1}{12n}}+{\frac {1}{288n^{2}}}-{\frac {139}{51840n^{3}}}-{\frac {571}{2488320n^{4}}}+\cdots \right).}$$

G. Nemes dio una fórmula explícita para los coeficientes de esta serie. ^[6] Se enumeran más términos en la Enciclopedia en línea de secuencias enteras como A001163 y A001164. El primer gráfico de esta sección muestra el error relativo frente a , de 1 a los 5 términos enumerados anteriormente. (Bender y Orszag ^[7] p. 218) da la fórmula asintótica para los coeficientes: ${\displaystyle n}$

$${\displaystyle A_{2j+1}\sim (-1)^{j}2(2j)!/(2\pi )^{2(j+1)}}$$

la prueba de razónradio de convergencia

El error relativo en una serie de Stirling truncada frente al número de términos utilizados

Como n → ∞ , el error en la serie truncada es asintóticamente igual al primer término omitido. Este es un ejemplo de expansión asintótica . No es una serie convergente ; para cualquier valor particular de hay un número limitado de términos de la serie que mejoran la precisión, después de lo cual la precisión empeora. Esto se muestra en el siguiente gráfico, que muestra el error relativo frente al número de términos de la serie, para un número mayor de términos. Más precisamente, sea S ( n , t ) la serie de Stirling en términos evaluados en  . Los gráficos muestran ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle n}$

$${\displaystyle \left|\ln \left({\frac {S(n,t)}{n!}}\right)\right|,}$$

Escribiendo la serie de Stirling en la forma

$${\displaystyle \ln(n!)\sim n\ln n-n+{\tfrac {1}{2}}\ln(2\pi n)+{\frac {1}{12n}}-{\frac {1}{360n^{3}}}+{\frac {1}{1260n^{5}}}-{\frac {1}{1680n^{7}}}+\cdots ,}$$

Los límites más precisos, debido a Robbins, ^[8] válidos para todos los números enteros positivos son ${\displaystyle n}$

$${\displaystyle {\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}e^{\frac {1}{12n+1}}<n!<{\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}e^{\frac {1}{12n}}.}$$

${\displaystyle {\frac {n!e^{n}}{n^{n+{\frac {1}{2}}}}}\in ({\sqrt {2\pi }},e]}$ ${\displaystyle n\geq 1}$

Fórmula de Stirling para la función gamma.

Para todos los números enteros positivos,

$${\displaystyle n!=\Gamma (n+1),}$$

Γfunción gamma

Sin embargo, la función gamma, a diferencia del factorial, se define de manera más amplia para todos los números complejos distintos de los enteros no positivos; sin embargo, aún se puede aplicar la fórmula de Stirling. Si Re( z ) > 0 , entonces

$${\displaystyle \ln \Gamma (z)=z\ln z-z+{\tfrac {1}{2}}\ln {\frac {2\pi }{z}}+\int _{0}^{\infty }{\frac {2\arctan \left({\frac {t}{z}}\right)}{e^{2\pi t}-1}}\,{\rm {d}}t.}$$

La integración repetida por partes da

$${\displaystyle \ln \Gamma (z)\sim z\ln z-z+{\tfrac {1}{2}}\ln {\frac {2\pi }{z}}+\sum _{n=1}^{N-1}{\frac {B_{2n}}{2n(2n-1)z^{2n-1}}},}$$

¿Dónde está el número de Bernoulli? (tenga en cuenta que el límite de la suma no es convergente, por lo que esta fórmula es solo una expansión asintótica ). La fórmula es válida para valores suficientemente grandes en valor absoluto, cuando | arg( z ) | < π − ε , donde ε es positivo, con un término de error de O ( z ^{−2 N + 1} ) . La aproximación correspondiente ahora se puede escribir: ${\displaystyle B_{n}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle N\to \infty }$ ${\displaystyle z}$

$${\displaystyle \Gamma (z)={\sqrt {\frac {2\pi }{z}}}\,{\left({\frac {z}{e}}\right)}^{z}\left(1+O\left({\frac {1}{z}}\right)\right).}$$

donde la expansión es idéntica a la de la serie de Stirling anterior para , excepto que se reemplaza con z − 1 . ^[9] ${\displaystyle n!}$ ${\displaystyle n}$

Otra aplicación de esta expansión asintótica es para el argumento complejo z con constante Re( z ) . Véase, por ejemplo, la fórmula de Stirling aplicada en Im( z ) = t de la función theta de Riemann-Siegel en la línea recta.1/4+ eso .

Límites de error

Para cualquier número entero positivo , se introduce la siguiente notación: ${\displaystyle N}$

$${\displaystyle \ln \Gamma (z)=z\ln z-z+{\tfrac {1}{2}}\ln {\frac {2\pi }{z}}+\sum \limits _{n=1}^{N-1}{\frac {B_{2n}}{2n\left({2n-1}\right)z^{2n-1}}}+R_{N}(z)}$$

$${\displaystyle \Gamma (z)={\sqrt {\frac {2\pi }{z}}}\left({\frac {z}{e}}\right)^{z}\left({\sum \limits _{n=0}^{N-1}{\frac {a_{n}}{z^{n}}}+{\widetilde {R}}_{N}(z)}\right).}$$

Entonces ^{[10] [11]}

$${\displaystyle {\begin{aligned}|R_{N}(z)|&\leq {\frac {|B_{2N}|}{2N(2N-1)|z|^{2N-1}}}\times {\begin{cases}1&{\text{ if }}\left|\arg z\right|\leq {\frac {\pi }{4}},\\\left|\csc(\arg z)\right|&{\text{ if }}{\frac {\pi }{4}}<\left|\arg z\right|<{\frac {\pi }{2}},\\\sec ^{2N}\left({\tfrac {\arg z}{2}}\right)&{\text{ if }}\left|\arg z\right|<\pi ,\end{cases}}\\[6pt]\left|{\widetilde {R}}_{N}(z)\right|&\leq \left({\frac {\left|a_{N}\right|}{|z|^{N}}}+{\frac {\left|a_{N+1}\right|}{|z|^{N+1}}}\right)\times {\begin{cases}1&{\text{ if }}\left|\arg z\right|\leq {\frac {\pi }{4}},\\\left|\csc(2\arg z)\right|&{\text{ if }}{\frac {\pi }{4}}<\left|\arg z\right|<{\frac {\pi }{2}}.\end{cases}}\end{aligned}}}$$

Para obtener más información y otros límites de error, consulte los artículos citados.

Una versión convergente de la fórmula de Stirling.

Thomas Bayes demostró, en una carta a John Canton publicada por la Royal Society en 1763, que la fórmula de Stirling no daba una serie convergente . ^[12] Obtener una versión convergente de la fórmula de Stirling implica evaluar la fórmula de Binet :

$${\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {2\arctan \left({\frac {t}{x}}\right)}{e^{2\pi t}-1}}\,{\rm {d}}t=\ln \Gamma (x)-x\ln x+x-{\tfrac {1}{2}}\ln {\frac {2\pi }{x}}.}$$

Una forma de hacerlo es mediante una serie convergente de factoriales ascendentes invertidos . Si

$${\displaystyle z^{\bar {n}}=z(z+1)\cdots (z+n-1),}$$

$${\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {2\arctan \left({\frac {t}{x}}\right)}{e^{2\pi t}-1}}\,{\rm {d}}t=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {c_{n}}{(x+1)^{\bar {n}}}},}$$

$${\displaystyle c_{n}={\frac {1}{n}}\int _{0}^{1}x^{\bar {n}}\left(x-{\tfrac {1}{2}}\right)\,{\rm {d}}x={\frac {1}{2n}}\sum _{k=1}^{n}{\frac {k|s(n,k)|}{(k+1)(k+2)}},}$$

s ( n ,  k )números de Stirling del primer tipo

$${\displaystyle {\begin{aligned}\ln \Gamma (x)&=x\ln x-x+{\tfrac {1}{2}}\ln {\frac {2\pi }{x}}+{\frac {1}{12(x+1)}}+{\frac {1}{12(x+1)(x+2)}}+\\&\quad +{\frac {59}{360(x+1)(x+2)(x+3)}}+{\frac {29}{60(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)}}+\cdots ,\end{aligned}}}$$

Re( x ) > 0^[13]

$${\displaystyle \Gamma (x)={\sqrt {2\pi }}x^{x-{\frac {1}{2}}}e^{-x+\mu (x)}}$$

$${\displaystyle \mu \left(x\right)=\sum _{n=0}^{\infty }\left(\left(x+n+{\frac {1}{2}}\right)\ln \left(1+{\frac {1}{x+n}}\right)-1\right).}$$

Versiones adecuadas para calculadoras.

la aproximación

$${\displaystyle \Gamma (z)\approx {\sqrt {\frac {2\pi }{z}}}\left({\frac {z}{e}}{\sqrt {z\sinh {\frac {1}{z}}+{\frac {1}{810z^{6}}}}}\right)^{z}}$$

$${\displaystyle 2\ln \Gamma (z)\approx \ln(2\pi )-\ln z+z\left(2\ln z+\ln \left(z\sinh {\frac {1}{z}}+{\frac {1}{810z^{6}}}\right)-2\right)}$$

serie de potenciasen serie de Taylorseno hiperbólicaz^[14]

Gergő Nemes propuso en 2007 una aproximación que proporciona el mismo número de dígitos exactos que la aproximación de Windschitl pero es mucho más simple: ^[15]

$${\displaystyle \Gamma (z)\approx {\sqrt {\frac {2\pi }{z}}}\left({\frac {1}{e}}\left(z+{\frac {1}{12z-{\frac {1}{10z}}}}\right)\right)^{z},}$$

$${\displaystyle \ln \Gamma (z)\approx {\tfrac {1}{2}}\left(\ln(2\pi )-\ln z\right)+z\left(\ln \left(z+{\frac {1}{12z-{\frac {1}{10z}}}}\right)-1\right).}$$

Una aproximación alternativa para la función gamma establecida por Srinivasa Ramanujan ( Ramanujan 1988 ^{[ aclaración necesaria ]} ) es

$${\displaystyle \Gamma (1+x)\approx {\sqrt {\pi }}\left({\frac {x}{e}}\right)^{x}\left(8x^{3}+4x^{2}+x+{\frac {1}{30}}\right)^{\frac {1}{6}}}$$

x ≥ 0ln n ! 1/1400 norte ³

$${\displaystyle \ln n!\approx n\ln n-n+{\tfrac {1}{6}}\ln(8n^{3}+4n^{2}+n+{\tfrac {1}{30}})+{\tfrac {1}{2}}\ln \pi .}$$

La aproximación puede hacerse precisa dando límites superior e inferior emparejados; una de esas desigualdades es ^{[16] [17] [18] [19]}

$${\displaystyle {\sqrt {\pi }}\left({\frac {x}{e}}\right)^{x}\left(8x^{3}+4x^{2}+x+{\frac {1}{100}}\right)^{1/6}<\Gamma (1+x)<{\sqrt {\pi }}\left({\frac {x}{e}}\right)^{x}\left(8x^{3}+4x^{2}+x+{\frac {1}{30}}\right)^{1/6}.}$$

Historia

La fórmula fue descubierta por primera vez por Abraham de Moivre ^[2] en la forma

$${\displaystyle n!\sim [{\rm {constant}}]\cdot n^{n+{\frac {1}{2}}}e^{-n}.}$$

De Moivre dio una expresión aproximada en números racionales para el logaritmo natural de la constante. El aporte de Stirling consistió en demostrar que la constante es precisamente . ^[3] ${\displaystyle {\sqrt {2\pi }}}$

Ver también

• Aproximación de Lanczos
• La aproximación de Spouge

Referencias

1. Dutka, Jacques (1991), "La historia temprana de la función factorial", Archivo de Historia de las Ciencias Exactas , 43 (3): 225–249, doi :10.1007/BF00389433, S2CID  122237769
2. Le Cam, L. (1986), "El teorema del límite central alrededor de 1935", Statistical Science , 1 (1): 78–96, doi : 10.1214/ss/1177013818 , JSTOR  2245503, MR  0833276; ver pág. 81, "El resultado, obtenido utilizando una fórmula originalmente probada por De Moivre pero ahora llamada fórmula de Stirling, aparece en su 'Doctrina de las posibilidades' de 1733".
3. Pearson, Karl (1924), "Nota histórica sobre el origen de la curva normal de errores", Biometrika , 16 (3/4): 402–404 [p. 403], doi :10.2307/2331714, JSTOR  2331714, considero que el hecho de que Stirling haya demostrado que la constante aritmética de De Moivre era no le da derecho a reclamar el teorema, [...] ${\displaystyle {\sqrt {2\pi }}}$
4. Flajolet, Philippe; Sedgewick, Robert (2009), Combinatoria analítica , Cambridge, Reino Unido: Cambridge University Press, p. 555, doi :10.1017/CBO9780511801655, ISBN 978-0-521-89806-5, SEÑOR  2483235, S2CID  27509971
5. Olver, FWJ; Olde Daalhuis, AB; Lozier, DW; Schneider, BI; Boisvert, RF; Clark, CW; Miller, BR & Saunders, BV, "5.11 Propiedades de la función gamma: expansiones asintóticas", Biblioteca digital de funciones matemáticas del NIST , versión 1.0.13 del 16 de septiembre de 2016
6. Nemes, Gergő (2010), "Sobre los coeficientes de la expansión asintótica de ", Journal of Integer Sequences , 13 (6): 5 ${\displaystyle n!}$
7. Bender, Carl M.; Orszag, Steven A. (2009). Métodos matemáticos avanzados para científicos e ingenieros. 1: Métodos asintóticos y teoría de la perturbación (Nachdr. ed.). Nueva York, Nueva York: Springer. ISBN 978-0-387-98931-0.
8. Robbins, Herbert (1955), "Un comentario sobre la fórmula de Stirling", The American Mathematical Monthly , 62 (1): 26–29, doi :10.2307/2308012, JSTOR  2308012
9. Spiegel, MR (1999), Manual matemático de fórmulas y tablas , McGraw-Hill, p. 148
10. Schäfke, FW; Sattler, A. (1990), "Restgliedabschätzungen für die Stirlingsche Reihe", Note di Matematica , 10 (suplemento 2): 453–470, SEÑOR  1221957
11. G. Nemes, Límites de error y mejoras exponenciales para las expansiones asintóticas de la función gamma y su recíproco, Proc. Roy. Soc. Secta de Edimburgo. A 145 (2015), 571–596.
12. Bayes, Thomas (24 de noviembre de 1763), "Una carta del difunto Reverendo Sr. Thomas Bayes, FRS a John Canton, MA y FRS" (PDF) , Philosophical Transactions of the Royal Society of London, Serie I , 53 : 269 , Bibcode :1763RSPT...53..269B, archivado (PDF) desde el original el 28 de enero de 2012 , consultado el 1 de marzo de 2012
13. Artín, Emil (2015). La función gamma . Dover. pag. 24.
14. Toth, Calculadoras programables VT: Calculadoras y la función gamma (2006) Archivado el 31 de diciembre de 2005 en Wayback Machine .
15. Nemes, Gergő (2010), "Nueva expansión asintótica para la función Gamma", Archiv der Mathematik , 95 (2): 161–169, doi :10.1007/s00013-010-0146-9, S2CID  121820640
16. Karatsuba, Ekatherina A. (2001), "Sobre la representación asintótica de la función gamma de Euler por Ramanujan", Journal of Computational and Applied Mathematics , 135 (2): 225–240, Bibcode :2001JCoAM.135..225K, doi : 10.1016/S0377-0427(00)00586-0 , SEÑOR  1850542
17. Mortici, Cristinel (2011), "Estimación de Ramanujan para la función gamma mediante argumentos de monotonicidad", Ramanujan J. , 25 (2): 149–154, doi :10.1007/s11139-010-9265-y, S2CID  119530041
18. Mortici, Cristinel (2011), "Fórmulas asintóticas mejoradas para la función gamma", Comput. Matemáticas. Aplica. , 61 (11): 3364–3369, doi :10.1016/j.camwa.2011.04.036.
19. Mortici, Cristinel (2011), "Sobre la fórmula del argumento grande de Ramanujan para la función gamma", Ramanujan J. , 26 (2): 185–192, doi :10.1007/s11139-010-9281-y, S2CID  120371952.

Otras lecturas

• Abramowitz, M. y Stegun, I. (2002), Manual de funciones matemáticas
• París, RB y Kaminski, D. (2001), Asintóticas e integrales Mellin-Barnes , Nueva York: Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-79001-7
• Whittaker, ET y Watson, GN (1996), Un curso de análisis moderno (4ª ed.), Nueva York: Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-58807-2
• Romik, Dan (2000), "La aproximación de Stirling para : ¿la prueba breve definitiva?", The American Mathematical Monthly , 107 (6): 556–557, doi :10.2307/2589351, JSTOR  2589351, MR  1767064 ${\displaystyle n!}$
• Li, Yuan-Chuan (julio de 2006), "Una nota sobre la identidad de la función gamma y la fórmula de Stirling", Real Analysis Exchange , 32 (1): 267–271, SEÑOR  2329236

enlaces externos

• "Stirling_formula", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• Peter Luschny, Fórmulas de aproximación para la función factorial n!
• Weisstein, Eric W. , "Aproximación de Stirling", MathWorld
• La aproximación de Stirling en PlanetMath .