teorema de kummer

Describe la potencia más alta de los números primos que dividen un coeficiente binomial.

En matemáticas , el teorema de Kummer es una fórmula para el exponente de la potencia más alta de un número primo p que divide un coeficiente binomial dado. En otras palabras, da la valoración p -ádica de un coeficiente binomial . El teorema lleva el nombre de Ernst Kummer , quien lo demostró en un artículo (Kummer 1852).

Declaración

El teorema de Kummer establece que para números enteros dados n  ≥  m  ≥ 0 y un número primo p , la valoración p -ádica del coeficiente binomial es igual al número de acarreos cuando m se suma a n  −  m en base p . ${\displaystyle \nu _{p}\left({\tbinom {n}{m}}\right)}$ ${\displaystyle {\tbinom {n}{m}}}$ 

Una formación equivalente del teorema es la siguiente:

Escriba la expansión de base del número entero como y defina como la suma de los dígitos de base. Entonces ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n=n_{0}+n_{1}p+n_{2}p^{2}+\cdots +n_{r}p^{r}}$ ${\displaystyle S_{p}(n):=n_{0}+n_{1}+\cdots +n_{r}}$ ${\displaystyle p}$

${\displaystyle \nu _{p}\left({\binom {n}{m}}\right)={\dfrac {S_{p}(m)+S_{p}(n-m)-S_{p}(n)}{p-1}}.}$

El teorema se puede demostrar escribiendo como y usando la fórmula de Legendre . ^[1] ${\displaystyle {\tbinom {n}{m}}}$ ${\displaystyle {\tfrac {n!}{m!(n-m)!}}}$

Ejemplos

Para calcular la potencia más grande de 2 dividiendo el coeficiente binomial, escriba m = 3 y n − m = 7 en base p = 2 como 3 = 11 ₂ y 7 = 111 ₂ . Realizar la suma 11 ₂ + 111 ₂ = 1010 ₂ en base 2 requiere tres acarreos: ${\displaystyle {\tbinom {10}{3}}}$

Por lo tanto la mayor potencia de 2 que divide es 3. ${\displaystyle {\tbinom {10}{3}}=120=2^{3}\cdot 15}$

Alternativamente, se puede utilizar la forma que involucra sumas de dígitos. Las sumas de los dígitos de 3, 7 y 10 en base 2 son , y respectivamente. Entonces ${\displaystyle S_{2}(3)=1+1=2}$ ${\displaystyle S_{2}(7)=1+1+1=3}$ ${\displaystyle S_{2}(10)=1+0+1+0=2}$

${\displaystyle \nu _{2}\left({\binom {10}{3}}\right)={\dfrac {S_{2}(3)+S_{2}(7)-S_{2}(10)}{2-1}}={\dfrac {2+3-2}{2-1}}=3.}$

Generalización de coeficientes multinomiales

El teorema de Kummer se puede generalizar a coeficientes multinomiales de la siguiente manera: ${\displaystyle {\tbinom {n}{m_{1},\ldots ,m_{k}}}={\tfrac {n!}{m_{1}!\cdots m_{k}!}}}$

${\displaystyle \nu _{p}\left({\binom {n}{m_{1},\ldots ,m_{k}}}\right)={\dfrac {1}{p-1}}\left({\Bigl (}\sum _{i=1}^{k}S_{p}(m_{i}){\Bigr )}-S_{p}(n)\right).}$

Ver también

• teorema de lucas

Referencias

1. Mihet, Dorel (diciembre de 2010). "Otra vez los teoremas de Legendre y Kummer". Resonancia . 15 (12): 1111-1121.

• Kummer, Ernst (1852). "Über die Ergänzungssätze zu den allgemeinen Reciprocitätsgesetzen". Journal für die reine und angewandte Mathematik . 1852 (44): 93-146. doi :10.1515/crll.1852.44.93.
• Teorema de Kummer en PlanetMath .