Teorema del valor medio

Sobre la existencia de una tangente a un arco paralelo a la recta que pasa por sus extremos

En matemáticas , el teorema del valor medio (o teorema del valor medio de Lagrange ) establece, a grandes rasgos, que para un arco plano dado entre dos puntos extremos, hay al menos un punto en el que la tangente al arco es paralela a la secante que pasa por sus puntos extremos. Es uno de los resultados más importantes del análisis real . Este teorema se utiliza para demostrar afirmaciones sobre una función en un intervalo a partir de hipótesis locales sobre derivadas en puntos del intervalo.

Historia

Un caso especial de este teorema para la interpolación inversa del seno fue descrito por primera vez por Parameshvara (1380-1460), de la Escuela de Astronomía y Matemáticas de Kerala en la India , en sus comentarios sobre Govindasvāmi y Bhāskara II . ^[1] Una forma restringida del teorema fue demostrada por Michel Rolle en 1691; el resultado fue lo que ahora se conoce como el teorema de Rolle , y fue demostrado solo para polinomios, sin las técnicas del cálculo. El teorema del valor medio en su forma moderna fue enunciado y demostrado por Augustin Louis Cauchy en 1823. ^[2] Muchas variaciones de este teorema han sido demostradas desde entonces. ^{[3] [4]}

Declaración

La función obtiene la pendiente de la secante entre y como derivada en el punto . ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle \xi \in (a,b)}$

También es posible que haya múltiples tangentes paralelas a la secante.

Sea una función continua en el intervalo cerrado y diferenciable en el intervalo abierto , donde . Entonces existe alguna en tal que: [ ^5] ${\displaystyle f:[a,b]\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle [a,b]}$ ${\displaystyle (a,b)}$ ${\displaystyle a<b}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle (a,b)}$

${\displaystyle f'(c)={\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}.}$

El teorema del valor medio es una generalización del teorema de Rolle , que supone que , de modo que el lado derecho anterior es cero. ${\displaystyle f(a)=f(b)}$

El teorema del valor medio sigue siendo válido en un contexto un poco más general. Solo hay que suponer que es continua en , y que para cada en el límite ${\displaystyle f:[a,b]\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle [a,b]}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle (a,b)}$

${\displaystyle \lim _{h\to 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}}$

existe como un número finito o es igual a o . Si es finito, ese límite es igual a . Un ejemplo en el que se aplica esta versión del teorema lo da la función raíz cúbica de valor real que mapea , cuya derivada tiende a infinito en el origen. ${\displaystyle \infty }$ ${\displaystyle -\infty }$ ${\displaystyle f'(x)}$ ${\displaystyle x\mapsto x^{1/3}}$

Prueba

La expresión da la pendiente de la línea que une los puntos y , que es una cuerda del gráfico de , mientras que da la pendiente de la tangente a la curva en el punto . Por lo tanto, el teorema del valor medio dice que dada cualquier cuerda de una curva suave, podemos encontrar un punto en la curva que se encuentre entre los puntos finales de la cuerda de modo que la tangente de la curva en ese punto sea paralela a la cuerda. La siguiente prueba ilustra esta idea. ${\textstyle {\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}}$ ${\displaystyle (a,f(a))}$ ${\displaystyle (b,f(b))}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f'(x)}$ ${\displaystyle (x,f(x))}$

Defina , donde es una constante. Como es continua en y diferenciable en , lo mismo es cierto para . Ahora queremos elegir de modo que satisfaga las condiciones del teorema de Rolle . Es decir ${\displaystyle g(x)=f(x)-rx}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle [a,b]}$ ${\displaystyle (a,b)}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle g}$

${\displaystyle {\begin{aligned}g(a)=g(b)&\iff f(a)-ra=f(b)-rb\\&\iff r(b-a)=f(b)-f(a)\\&\iff r={\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}.\end{aligned}}}$

Por el teorema de Rolle , dado que es diferenciable y , hay algún en para el cual , y se sigue de la igualdad que, ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle g(a)=g(b)}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle (a,b)}$ ${\displaystyle g'(c)=0}$ ${\displaystyle g(x)=f(x)-rx}$

${\displaystyle {\begin{aligned}&g'(x)=f'(x)-r\\&g'(c)=0\\&g'(c)=f'(c)-r=0\\&\Rightarrow f'(c)=r={\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}\end{aligned}}}$

Trascendencia

Teorema 1: Supóngase que es una función continua de valor real, definida en un intervalo arbitrario de la recta real. Si la derivada de en cada punto interior del intervalo existe y es cero, entonces es constante en el interior. ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle f}$

Demostración: Supongamos que la derivada de en cada punto interior del intervalo existe y es cero. Sea un intervalo abierto arbitrario en . Por el teorema del valor medio, existe un punto en tal que ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle (a,b)}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle (a,b)}$

${\displaystyle 0=f'(c)={\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}.}$

Esto implica que . Por lo tanto, es constante en el interior de y, por lo tanto, es constante en por continuidad. (Véase más abajo una versión multivariable de este resultado). ${\displaystyle f(a)=f(b)}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle I}$

Observaciones:

• En los extremos del intervalo , sólo se necesita la continuidad de , no la diferenciabilidad . No es necesario formular ninguna hipótesis de continuidad si es un intervalo abierto , ya que la existencia de una derivada en un punto implica la continuidad en ese punto. (Véase la sección continuidad y diferenciabilidad del artículo derivada .) ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle I}$
• La diferenciabilidad de puede relajarse a diferenciabilidad unilateral , se da una prueba en el artículo sobre semidiferenciabilidad . ${\displaystyle f}$

Teorema 2: Si para todo en un intervalo del dominio de estas funciones, entonces es constante, es decir donde es una constante en . ${\displaystyle f'(x)=g'(x)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle (a,b)}$ ${\displaystyle f-g}$ ${\displaystyle f=g+c}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle (a,b)}$

Prueba: Sea , entonces en el intervalo , por lo que el teorema 1 anterior indica que es una constante o . ${\displaystyle F(x)=f(x)-g(x)}$ ${\displaystyle F'(x)=f'(x)-g'(x)=0}$ ${\displaystyle (a,b)}$ ${\displaystyle F(x)=f(x)-g(x)}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle f=g+c}$

Teorema 3: Si es una antiderivada de en un intervalo , entonces la antiderivada más general de en es donde es una constante. ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle F(x)+c}$ ${\displaystyle c}$

Demostración: Se deduce directamente del teorema 2 anterior.

Teorema del valor medio de Cauchy

El teorema del valor medio de Cauchy , también conocido como teorema del valor medio extendido , es una generalización del teorema del valor medio. ^{[6] [7]} Afirma: si las funciones y son ambas continuas en el intervalo cerrado y diferenciables en el intervalo abierto , entonces existe alguna , tal que ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle [a,b]}$ ${\displaystyle (a,b)}$ ${\displaystyle c\in (a,b)}$

Significado geométrico del teorema de Cauchy

${\displaystyle (f(b)-f(a))g'(c)=(g(b)-g(a))f'(c).}$

Por supuesto, si y , esto es equivalente a: ${\displaystyle g(a)\neq g(b)}$ ${\displaystyle g'(c)\neq 0}$

${\displaystyle {\frac {f'(c)}{g'(c)}}={\frac {f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}}.}$

Geométricamente, esto significa que hay cierta tangente a la gráfica de la curva ^[8].

${\displaystyle {\begin{cases}[a,b]\to \mathbb {R} ^{2}\\t\mapsto (f(t),g(t))\end{cases}}}$

que es paralela a la recta definida por los puntos y . Sin embargo, el teorema de Cauchy no afirma la existencia de dicha tangente en todos los casos en que y son puntos distintos, ya que podría cumplirse solo para algún valor con , en otras palabras, un valor para el cual la curva mencionada sea estacionaria ; en tales puntos no es probable que se defina ninguna tangente a la curva. Un ejemplo de esta situación es la curva dada por ${\displaystyle (f(a),g(a))}$ ${\displaystyle (f(b),g(b))}$ ${\displaystyle (f(a),g(a))}$ ${\displaystyle (f(b),g(b))}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle f'(c)=g'(c)=0}$

${\displaystyle t\mapsto \left(t^{3},1-t^{2}\right),}$

que en el intervalo va del punto a , pero nunca tiene una tangente horizontal; sin embargo tiene un punto estacionario (de hecho, una cúspide ) en . ${\displaystyle [-1,1]}$ ${\displaystyle (-1,0)}$ ${\displaystyle (1,0)}$ ${\displaystyle t=0}$

El teorema del valor medio de Cauchy se puede utilizar para demostrar la regla de L'Hôpital . El teorema del valor medio es el caso especial del teorema del valor medio de Cauchy cuando . ${\displaystyle g(t)=t}$

Prueba

La prueba del teorema del valor medio de Cauchy se basa en la misma idea que la prueba del teorema del valor medio.

• Supongamos . Defina , donde se fija de tal manera que , es decir ${\displaystyle g(a)\neq g(b)}$ ${\displaystyle h(x)=f(x)-rg(x)}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle h(a)=h(b)}$

  ${\displaystyle {\begin{aligned}h(a)=h(b)&\iff f(a)-rg(a)=f(b)-rg(b)\\&\iff r(g(b)-g(a))=f(b)-f(a)\\&\iff r={\frac {f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}}.\end{aligned}}}$

  Como y son continuas en y diferenciables en , lo mismo es cierto para . En definitiva, satisface las condiciones del teorema de Rolle : en consecuencia, hay algún en para el cual . Ahora, utilizando la definición de tenemos: ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle [a,b]}$ ${\displaystyle (a,b)}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle (a,b)}$ ${\displaystyle h'(c)=0}$ ${\displaystyle h}$

  ${\displaystyle 0=h'(c)=f'(c)-rg'(c)=f'(c)-\left({\frac {f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}}\right)g'(c),}$

  y por lo tanto

  ${\displaystyle f'(c)={\frac {f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}}g'(c).}$

• Si , entonces, al aplicar el teorema de Rolle a , se deduce que existe en para el cual . Usando esta elección de , el teorema del valor medio de Cauchy (trivialmente) se cumple. ${\displaystyle g(a)=g(b)}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle (a,b)}$ ${\displaystyle g'(c)=0}$ ${\displaystyle c}$

Teorema del valor medio en varias variables

El teorema del valor medio se generaliza a funciones reales de múltiples variables. El truco consiste en utilizar la parametrización para crear una función real de una variable y luego aplicar el teorema de una variable.

Sea un subconjunto abierto de , y sea una función diferenciable. Fijemos puntos tales que el segmento de línea entre se encuentre en , y definamos . Como es una función diferenciable en una variable, el teorema del valor medio da: ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle f:G\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle x,y\in G}$ ${\displaystyle x,y}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle g(t)=f{\big (}(1-t)x+ty{\big )}}$ ${\displaystyle g}$

${\displaystyle g(1)-g(0)=g'(c)}$

para algunos entre 0 y 1. Pero como y , calculando explícitamente tenemos: ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle g(1)=f(y)}$ ${\displaystyle g(0)=f(x)}$ ${\displaystyle g'(c)}$

${\displaystyle f(y)-f(x)=\nabla f{\big (}(1-c)x+cy{\big )}\cdot (y-x)}$

donde denota un gradiente y un producto escalar . Este es un análogo exacto del teorema en una variable (en el caso de que este sea el teorema en una variable). Por la desigualdad de Cauchy-Schwarz , la ecuación da la estimación: ${\displaystyle \nabla }$ ${\displaystyle \cdot }$ ${\displaystyle n=1}$

${\displaystyle {\Bigl |}f(y)-f(x){\Bigr |}\leq {\Bigl |}\nabla f{\big (}(1-c)x+cy{\big )}{\Bigr |}\ {\Bigl |}y-x{\Bigr |}.}$

En particular, cuando las derivadas parciales de están acotadas, Lipschitz es continua (y por lo tanto uniformemente continua ). ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$

Como aplicación de lo anterior, demostramos que es constante si el subconjunto abierto es conexo y cada derivada parcial de es 0. Elijamos un punto y sea . Queremos demostrar para cada . Para eso, sea . Entonces E es cerrado y no vacío. También es abierto: para cada , ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x_{0}\in G}$ ${\displaystyle g(x)=f(x)-f(x_{0})}$ ${\displaystyle g(x)=0}$ ${\displaystyle x\in G}$ ${\displaystyle E=\{x\in G:g(x)=0\}}$ ${\displaystyle x\in E}$

${\displaystyle {\Big |}g(y){\Big |}={\Big |}g(y)-g(x){\Big |}\leq (0){\Big |}y-x{\Big |}=0}$

para cada en algún vecindario de . (Aquí, es crucial que y estén suficientemente cerca uno del otro). Como está conectado, concluimos que . ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle E=G}$

Los argumentos anteriores se presentan de manera libre de coordenadas; por lo tanto, se generalizan al caso cuando es un subconjunto de un espacio de Banach. ${\displaystyle G}$

Teorema del valor medio para funciones vectoriales

No existe un análogo exacto del teorema del valor medio para funciones con valores vectoriales (véase más adelante). Sin embargo, existe una desigualdad que se puede aplicar a muchas de las mismas situaciones a las que se aplica el teorema del valor medio en el caso unidimensional: ^[9]

Teorema  —  Para una función vectorial continua diferenciable en , existe un número tal que ${\displaystyle \mathbf {f} :[a,b]\to \mathbb {R} ^{k}}$ ${\displaystyle (a,b)}$ ${\displaystyle c\in (a,b)}$

${\displaystyle |\mathbf {f} (b)-\mathbf {f} (a)|\leq (b-a)\left|\mathbf {f} '(c)\right|}$.

Prueba

Tome . Entonces tiene un valor real y, por lo tanto, según el teorema del valor medio, ${\displaystyle \varphi (t)=({\textbf {f}}(b)-{\textbf {f}}(a))\cdot {\textbf {f}}(t)}$ ${\displaystyle \varphi }$

${\displaystyle \varphi (b)-\varphi (a)=\varphi '(c)(b-a)}$

para algunos . Ahora, y por lo tanto, utilizando la desigualdad de Cauchy-Schwarz , de la ecuación anterior, obtenemos: ${\displaystyle c\in (a,b)}$ $${\displaystyle \varphi (b)-\varphi (a)=|{\textbf {f}}(b)-{\textbf {f}}(a)|^{2}}$$ $${\displaystyle \varphi '(c)=({\textbf {f}}(b)-{\textbf {f}}(a))\cdot {\textbf {f}}'(c).}$$

${\displaystyle |{\textbf {f}}(b)-{\textbf {f}}(a)|^{2}\leq |{\textbf {f}}(b)-{\textbf {f}}(a)||{\textbf {f}}'(c)|(b-a).}$

Si , el teorema se cumple trivialmente. De lo contrario, al dividir ambos lados por se obtiene el teorema. ${\displaystyle {\textbf {f}}(b)={\textbf {f}}(a)}$ ${\displaystyle |{\textbf {f}}(b)-{\textbf {f}}(a)|}$

Desigualdad del valor medio

Jean Dieudonné, en su tratado clásico Fundamentos del análisis moderno, descarta el teorema del valor medio y lo reemplaza por la desigualdad media, ya que la prueba no es constructiva y no se puede encontrar el valor medio y, en las aplicaciones, solo se necesita la desigualdad media. Serge Lang, en Análisis I, utiliza el teorema del valor medio, en forma integral, como un reflejo instantáneo, pero este uso requiere la continuidad de la derivada. Si se utiliza la integral de Henstock-Kurzweil, se puede tener el teorema del valor medio en forma integral sin el supuesto adicional de que la derivada debe ser continua, ya que toda derivada es integrable mediante Henstock-Kurzweil.

La razón por la que no hay análogo de la igualdad de valores medios es la siguiente: si f  : U → R ^m es una función diferenciable (donde U ⊂ R ⁿ es abierta) y si x + th , x , h ∈ R ⁿ , t ∈ [0, 1] es el segmento de línea en cuestión (que se encuentra dentro de U ), entonces se puede aplicar el procedimiento de parametrización anterior a cada una de las funciones componentes f _i ( i = 1, …, m ) de f (en el conjunto de notación anterior y = x + h ). Al hacerlo, se encuentran los puntos x + t _i h en el segmento de línea que satisfacen

${\displaystyle f_{i}(x+h)-f_{i}(x)=\nabla f_{i}(x+t_{i}h)\cdot h.}$

Pero generalmente no habrá un solo punto x + t * h en el segmento de línea que satisfaga

${\displaystyle f_{i}(x+h)-f_{i}(x)=\nabla f_{i}(x+t^{*}h)\cdot h.}$

para todos los i simultáneamente . Por ejemplo, defina:

${\displaystyle {\begin{cases}f:[0,2\pi ]\to \mathbb {R} ^{2}\\f(x)=(\cos(x),\sin(x))\end{cases}}}$

Entonces , pero y nunca son simultáneamente cero como rangos sobre . ${\displaystyle f(2\pi )-f(0)=\mathbf {0} \in \mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle f_{1}'(x)=-\sin(x)}$ ${\displaystyle f_{2}'(x)=\cos(x)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \left[0,2\pi \right]}$

El teorema anterior implica lo siguiente:

Desigualdad del valor medio ^[10]  —  Para una función continua , si es diferenciable en , entonces ${\displaystyle {\textbf {f}}:[a,b]\to \mathbb {R} ^{k}}$ ${\displaystyle {\textbf {f}}}$ ${\displaystyle (a,b)}$

${\displaystyle |{\textbf {f}}(b)-{\textbf {f}}(a)|\leq (b-a)\sup _{(a,b)}|{\textbf {f}}'|}$.

De hecho, la afirmación anterior es suficiente para muchas aplicaciones y se puede demostrar directamente de la siguiente manera (lo escribiremos para facilitar la lectura) . ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle {\textbf {f}}}$

Prueba

Primero supongamos que es diferenciable en también. Si no está acotado en , no hay nada que demostrar. Por lo tanto, supongamos que . Sea un número real. Sea Queremos demostrar . Por continuidad de , el conjunto es cerrado. También es no vacío ya que está en él. Por lo tanto, el conjunto tiene el elemento más grande . Si , entonces y hemos terminado. Por lo tanto, supongamos lo contrario. Para , ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle f'}$ ${\displaystyle (a,b)}$ ${\displaystyle \sup _{(a,b)}|f'|<\infty }$ ${\displaystyle M>\sup _{(a,b)}|f'|}$ $${\displaystyle E=\{0\leq t\leq 1\mid |f(a+t(b-a))-f(a)|\leq Mt(b-a)\}.}$$ ${\displaystyle 1\in E}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle s=1}$ ${\displaystyle 1\in E}$ ${\displaystyle 1>t>s}$

${\displaystyle {\begin{aligned}&|f(a+t(b-a))-f(a)|\\&\leq |f(a+t(b-a))-f(a+s(b-a))-f'(a+s(b-a))(t-s)(b-a)|+|f'(a+s(b-a))|(t-s)(b-a)\\&+|f(a+s(b-a))-f(a)|.\end{aligned}}}$

Sea tal que . Por la diferenciabilidad de en (nota puede ser 0), si está suficientemente cerca de , el primer término es . El segundo término es . El tercer término es . Por lo tanto, sumando las estimaciones, obtenemos: , una contradicción con la maximalidad de . Por lo tanto, y eso significa: ${\displaystyle \epsilon >0}$ ${\displaystyle M-\epsilon >\sup _{(a,b)}|f'|}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle a+s(b-a)}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle \leq \epsilon (t-s)(b-a)}$ ${\displaystyle \leq (M-\epsilon )(t-s)(b-a)}$ ${\displaystyle \leq Ms(b-a)}$ ${\displaystyle |f(a+t(b-a))-f(a)|\leq tM|b-a|}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle 1=s\in M}$

${\displaystyle |f(b)-f(a)|\leq M(b-a).}$

Como es arbitrario, esto implica la afirmación. Finalmente, si no es diferenciable en , sea y apliquemos el primer caso a restringido en , lo que nos da: ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle a'\in (a,b)}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle [a',b]}$

${\displaystyle |f(b)-f(a')|\leq (b-a')\sup _{(a,b)}|f'|}$

ya que . Dejar terminar la prueba. ${\displaystyle (a',b)\subset (a,b)}$ ${\displaystyle a'\to a}$

Casos en los que no se puede aplicar el teorema

Ambas condiciones para el teorema del valor medio son necesarias:

1. ${\displaystyle {\boldsymbol {f(x)}}}$es diferenciable en ${\displaystyle {\boldsymbol {(a,b)}}}$
2. ${\displaystyle {\boldsymbol {f(x)}}}$es continuo en ${\displaystyle {\boldsymbol {[a,b]}}}$
3. ${\displaystyle {\boldsymbol {f(x)}}}$Tiene un valor real

Cuando no se cumple una de las condiciones anteriores, el teorema del valor medio no es válido en general y, por lo tanto, no puede aplicarse.

La necesidad de la primera condición se puede ver en el contraejemplo donde la función en [-1,1] no es diferenciable. ${\displaystyle f(x)=|x|}$

La necesidad de la segunda condición se puede ver en el contraejemplo donde la función satisface el criterio 1 ya que en pero no el criterio 2 ya que y para todos , por lo que no existe tal función. $${\displaystyle f(x)={\begin{cases}1,&{\text{at }}x=0\\0,&{\text{if }}x\in (0,1]\end{cases}}}$$ ${\displaystyle f'(x)=0}$ ${\displaystyle (0,1)}$ $${\displaystyle {\frac {f(1)-f(0)}{1-0}}=-1}$$ ${\displaystyle -1\neq 0=f'(x)}$ ${\displaystyle x\in (0,1)}$ ${\displaystyle c}$

El teorema es falso si una función diferenciable tiene valores complejos en lugar de valores reales. Por ejemplo, si para todos los valores reales , entonces mientras que para cualquier valor real . ${\displaystyle f(x)=e^{xi}}$ ${\displaystyle x}$ $${\displaystyle f(2\pi )-f(0)=0=0(2\pi -0)}$$ ${\displaystyle f'(x)\neq 0}$ ${\displaystyle x}$

Teoremas del valor medio para integrales definidas

Primer teorema del valor medio para integrales definidas

Geométricamente: interpretando f(c) como la altura de un rectángulo y b – a como el ancho, este rectángulo tiene la misma área que la región debajo de la curva de a a b ^[11]

Sea f  : [ a , b ] → R una función continua. Entonces existe c en ( a , b ) tal que

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx=f(c)(b-a).}$

Esto se desprende inmediatamente del teorema fundamental del cálculo , junto con el teorema del valor medio para derivadas. Puesto que el valor medio de f en [ a , b ] se define como

${\displaystyle {\frac {1}{b-a}}\int _{a}^{b}f(x)\,dx,}$

Podemos interpretar la conclusión como que f alcanza su valor medio en algún c en ( a , b ). ^[12]

En general, si f  : [ a , b ] → R es continua y g es una función integrable que no cambia de signo en [ a , b ], entonces existe c en ( a , b ) tal que

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)g(x)\,dx=f(c)\int _{a}^{b}g(x)\,dx.}$

Segundo teorema del valor medio para integrales definidas

Existen varios teoremas ligeramente diferentes, llamados el segundo teorema del valor medio para integrales definidas . Una versión común es la siguiente:

Si es una función positiva monótonamente decreciente y es una función integrable, entonces existe un número x en ( a , b ] tal que ${\displaystyle G:[a,b]\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \varphi :[a,b]\to \mathbb {R} }$

${\displaystyle \int _{a}^{b}G(t)\varphi (t)\,dt=G(a^{+})\int _{a}^{x}\varphi (t)\,dt.}$

Aquí representa , cuya existencia se desprende de las condiciones. Nótese que es esencial que el intervalo ( a , b ] contenga b . Una variante que no tiene este requisito es: ^[13] ${\displaystyle G(a^{+})}$ ${\textstyle {\lim _{x\to a^{+}}G(x)}}$

Si es una función monótona (no necesariamente decreciente y positiva) y es una función integrable, entonces existe un número x en ( a , b ) tal que ${\displaystyle G:[a,b]\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \varphi :[a,b]\to \mathbb {R} }$

${\displaystyle \int _{a}^{b}G(t)\varphi (t)\,dt=G(a^{+})\int _{a}^{x}\varphi (t)\,dt+G(b^{-})\int _{x}^{b}\varphi (t)\,dt.}$

Si la función devuelve un vector multidimensional, entonces el MVT para la integración no es verdadero, incluso si el dominio de también es multidimensional. ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$

Por ejemplo, considere la siguiente función bidimensional definida en un cubo dimensional: ${\displaystyle n}$

${\displaystyle {\begin{cases}G:[0,2\pi ]^{n}\to \mathbb {R} ^{2}\\G(x_{1},\dots ,x_{n})=\left(\sin(x_{1}+\cdots +x_{n}),\cos(x_{1}+\cdots +x_{n})\right)\end{cases}}}$

Entonces, por simetría es fácil ver que el valor medio de sobre su dominio es (0,0): ${\displaystyle G}$

${\displaystyle \int _{[0,2\pi ]^{n}}G(x_{1},\dots ,x_{n})dx_{1}\cdots dx_{n}=(0,0)}$

Sin embargo, no hay ningún punto en el que , porque en todas partes. ${\displaystyle G=(0,0)}$ ${\displaystyle |G|=1}$

Generalizaciones

Álgebra lineal

Supóngase que y son funciones diferenciables en que son continuas en . Definir ${\displaystyle f,g,}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle (a,b)}$ ${\displaystyle [a,b]}$

${\displaystyle D(x)={\begin{vmatrix}f(x)&g(x)&h(x)\\f(a)&g(a)&h(a)\\f(b)&g(b)&h(b)\end{vmatrix}}}$

Existe tal que . ${\displaystyle c\in (a,b)}$ ${\displaystyle D'(c)=0}$

Tenga en cuenta que

${\displaystyle D'(x)={\begin{vmatrix}f'(x)&g'(x)&h'(x)\\f(a)&g(a)&h(a)\\f(b)&g(b)&h(b)\end{vmatrix}}}$

y si colocamos , obtenemos el teorema del valor medio de Cauchy . Si colocamos y obtenemos el teorema del valor medio de Lagrange . ${\displaystyle h(x)=1}$ ${\displaystyle h(x)=1}$ ${\displaystyle g(x)=x}$

La prueba de la generalización es bastante simple: cada uno de y son determinantes con dos filas idénticas, por lo tanto . El teorema de Rolle implica que existe tal que . ${\displaystyle D(a)}$ ${\displaystyle D(b)}$ ${\displaystyle D(a)=D(b)=0}$ ${\displaystyle c\in (a,b)}$ ${\displaystyle D'(c)=0}$

Teoría de la probabilidad

Sean X e Y variables aleatorias no negativas tales que E[ X ] < E[ Y ] < ∞ y (es decir, X es menor que Y en el orden estocástico habitual ). Entonces existe una variable aleatoria no negativa absolutamente continua Z que tiene una función de densidad de probabilidad ${\displaystyle X\leq _{st}Y}$

${\displaystyle f_{Z}(x)={\Pr(Y>x)-\Pr(X>x) \over {\rm {E}}[Y]-{\rm {E}}[X]}\,,\qquad x\geqslant 0.}$

Sea g una función medible y diferenciable tal que E[ g ( X )], E[ g ( Y )] < ∞, y sea su derivada g′ medible e integrable según Riemann en el intervalo [ x , y ] para todo y ≥ x ≥ 0. Entonces, E[ g′ ( Z )] es finito y ^[14]

${\displaystyle {\rm {E}}[g(Y)]-{\rm {E}}[g(X)]={\rm {E}}[g'(Z)]\,[{\rm {E}}(Y)-{\rm {E}}(X)].}$

Análisis complejo

Como se señaló anteriormente, el teorema no se cumple para funciones complejas diferenciables. En cambio, se enuncia una generalización del teorema de la siguiente manera: ^[15]

Sea f  : Ω → C una función holomorfa en el conjunto abierto convexo Ω, y sean a y b puntos distintos en Ω. Entonces existen puntos u , v en el interior del segmento de recta de a a b tales que

${\displaystyle \operatorname {Re} (f'(u))=\operatorname {Re} \left({\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}\right),}$

${\displaystyle \operatorname {Im} (f'(v))=\operatorname {Im} \left({\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}\right).}$

Donde Re() es la parte real e Im() es la parte imaginaria de una función de valor complejo.

Véase también

• Método beta de Newmark
• Teorema del valor medio (diferencias divididas)
• Principio de la pista de carreras
• Significado de Stolarsky

Notas

1. JJ O'Connor y EF Robertson (2000). Paramesvara, archivo de Historia de las Matemáticas de MacTutor .
2. Ádám Besenyei. «Desarrollo histórico del teorema del valor medio» (PDF) .
3. Lozada-Cruz, German (2020-10-02). "Algunas variantes del teorema del valor medio de Cauchy". Revista Internacional de Educación Matemática en Ciencia y Tecnología . 51 (7): 1155–1163. Bibcode :2020IJMES..51.1155L. doi :10.1080/0020739X.2019.1703150. ISSN  0020-739X. S2CID  213335491.
4. Sahoo, Prasanna. (1998). Teoremas del valor medio y ecuaciones funcionales. Riedel, T. (Thomas), 1962-. Singapur: World Scientific. ISBN 981-02-3544-5.OCLC 40951137  .
5. Rudin 1976, pág. 108.
6. W., Weisstein, Eric. "Teorema del valor medio extendido". mathworld.wolfram.com . Consultado el 8 de octubre de 2018 .{{cite web}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
7. Rudin 1976, págs. 107-108.
8. "Teorema del valor medio de Cauchy". Math24 . Consultado el 8 de octubre de 2018 .
9. Rudin 1976, pág. 113.
10. Hörmander 2015, Teorema 1.1.1. y observación que sigue.
11. "Mathwords: Teorema del valor medio para integrales". www.mathwords.com .
12. Michael Comenetz (2002). Cálculo: los elementos . World Scientific. pág. 159. ISBN 978-981-02-4904-5.
13. Hobson, EW (1909). "Sobre el segundo teorema del valor medio del cálculo integral". Proc. London Math. Soc. S2–7 (1): 14–23. Bibcode :1909PLMS...27...14H. doi :10.1112/plms/s2-7.1.14. MR  1575669.
14. Di Crescenzo, A. (1999). "Un análogo probabilístico del teorema del valor medio y sus aplicaciones a la teoría de la fiabilidad". J. Appl. Probab. 36 (3): 706–719. doi :10.1239/jap/1032374628. JSTOR  3215435. S2CID  250351233.
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Referencias

• Rudin, Walter (1976). Principios del análisis matemático . Auckland: McGraw-Hill Publishing Company. ISBN 978-0-07-085613-4.
• Hörmander, Lars (2015), El análisis de operadores diferenciales parciales lineales I: teoría de distribución y análisis de Fourier , Classics in Mathematics (2.ª ed.), Springer, ISBN 9783642614972

Enlaces externos

• "Teorema de Cauchy", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• PlanetMath: Teorema del valor medio
• Weisstein, Eric W. "Teorema del valor medio". MathWorld .
• Weisstein, Eric W. "Teorema del valor medio de Cauchy". MathWorld .
• "Teorema del valor medio: la intuición detrás del teorema del valor medio" en Khan Academy