Significado de Stolarsky

En matemáticas , la media de Stolarsky es una generalización de la media logarítmica . Fue introducida por Kenneth B. Stolarsky en 1975. ^[1]

Definición

Para dos números reales positivos x ,  y la media de Stolarsky se define como:

${\displaystyle {\begin{aligned}S_{p}(x,y)&=\lim _{(\xi ,\eta )\to (x,y)}\left({\frac {\xi ^{p}-\eta ^{p}}{p(\xi -\eta )}}\right)^{1/(p-1)}\\[10pt]&={\begin{cases}x&{\text{if }}x=y\\\left({\frac {x^{p}-y^{p}}{p(x-y)}}\right)^{1/(p-1)}&{\text{else}}\end{cases}}\end{aligned}}}$

Derivación

Se deriva del teorema del valor medio , que establece que una línea secante , que corta la gráfica de una función diferenciable en y , tiene la misma pendiente que una línea tangente a la gráfica en algún punto del intervalo . ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle (x,f(x))}$ ${\displaystyle (y,f(y))}$ ${\displaystyle \xi }$ ${\displaystyle [x,y]}$

${\displaystyle \exists \xi \in [x,y]\ f'(\xi )={\frac {f(x)-f(y)}{x-y}}}$

La media de Stolarsky se obtiene mediante

${\displaystyle \xi =\left[f'\right]^{-1}\left({\frac {f(x)-f(y)}{x-y}}\right)}$

Al elegir . ${\displaystyle f(x)=x^{p}}$

Casos especiales

• ${\displaystyle \lim _{p\to -\infty }S_{p}(x,y)}$es el minimo .
• ${\displaystyle S_{-1}(x,y)}$es la media geométrica .
• ${\displaystyle \lim _{p\to 0}S_{p}(x,y)}$es la media logarítmica . Se puede obtener a partir del teorema del valor medio eligiendo . ${\displaystyle f(x)=\ln x}$
• ${\displaystyle S_{\frac {1}{2}}(x,y)}$es la media de la potencia con exponente . ${\displaystyle {\frac {1}{2}}}$
• ${\displaystyle \lim _{p\to 1}S_{p}(x,y)}$es la media idéntrica . Se puede obtener a partir del teorema del valor medio eligiendo . ${\displaystyle f(x)=x\cdot \ln x}$
• ${\displaystyle S_{2}(x,y)}$es la media aritmética .
• ${\displaystyle S_{3}(x,y)=QM(x,y,GM(x,y))}$es una conexión con la media cuadrática y la media geométrica .
• ${\displaystyle \lim _{p\to \infty }S_{p}(x,y)}$es el máximo .

Generalizaciones

Se puede generalizar la media a n  + 1 variables considerando el teorema del valor medio para diferencias divididas para la derivada n . Se obtiene

${\displaystyle S_{p}(x_{0},\dots ,x_{n})={f^{(n)}}^{-1}(n!\cdot f[x_{0},\dots ,x_{n}])}$para . ${\displaystyle f(x)=x^{p}}$

Véase también

• Significar

Referencias

1. Stolarsky, Kenneth B. (1975). "Generalizaciones de la media logarítmica". Revista de Matemáticas . 48 (2): 87–92. doi :10.2307/2689825. ISSN  0025-570X. JSTOR  2689825. Zbl  0302.26003.