forma diferencial

Expresión que puede integrarse en una región.

En matemáticas , las formas diferenciales proporcionan un enfoque unificado para definir integrandos sobre curvas, superficies, sólidos y variedades de dimensiones superiores . La noción moderna de formas diferenciales fue iniciada por Élie Cartan . Tiene muchas aplicaciones, especialmente en geometría, topología y física.

Por ejemplo, la expresión f ( x ) dx es un ejemplo de forma 1 y se puede integrar en un intervalo [ a , b ] contenido en el dominio de f :

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx.}$

De manera similar, la expresión f ( x , y , z ) dx ∧ dy + g ( x , y , z ) dz ∧ dx + h ( x , y , z ) dy ∧ dz es una forma 2 que se puede integrar en una superficie S :

${\displaystyle \int _{S}(f(x,y,z)\,dx\wedge dy+g(x,y,z)\,dz\wedge dx+h(x,y,z)\,dy\wedge dz).}$

El símbolo ∧ denota el producto exterior , a veces llamado producto cuña , de dos formas diferenciales. Asimismo, una forma tridimensional f ( x , y , z ) dx ∧ dy ∧ dz representa un elemento de volumen que se puede integrar en una región del espacio. En general, una forma k es un objeto que puede integrarse en una variedad k -dimensional y es homogénea de grado k en los diferenciales de coordenadas. En una variedad n -dimensional, la forma de dimensión superior ( n -forma) se llama una forma de volumen . ${\displaystyle dx,dy,\ldots .}$

Las formas diferenciales forman un álgebra alterna . Esto implica que y Esta propiedad alternante refleja la orientación del dominio de integración. ${\displaystyle dy\wedge dx=-dx\wedge dy}$ ${\displaystyle dx\wedge dx=0.}$

La derivada exterior es una operación sobre formas diferenciales que, dada una forma k , produce una forma ( k +1) . Esta operación extiende el diferencial de una función (una función puede considerarse como una forma 0 y su diferencial es ). Esto permite expresar el teorema fundamental del cálculo , el teorema de la divergencia , el teorema de Green y el teorema de Stokes como casos especiales de un único resultado general, el teorema de Stokes generalizado . ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle d\varphi .}$ ${\displaystyle df(x)=f'(x)dx}$

Las formas 1 diferenciales son naturalmente duales a los campos vectoriales en una variedad diferenciable , y el emparejamiento entre campos vectoriales y formas 1 se extiende a formas diferenciales arbitrarias mediante el producto interior . El álgebra de formas diferenciales junto con la derivada exterior definida en ella se conserva mediante el retroceso bajo funciones suaves entre dos variedades. Esta característica permite mover información geométricamente invariante de un espacio a otro mediante el retroceso, siempre que la información se exprese en términos de formas diferenciales. Como ejemplo, la fórmula de cambio de variables para la integración se convierte en una simple declaración de que una integral se conserva bajo retroceso.

Historia

Las formas diferenciales son parte del campo de la geometría diferencial, influenciada por el álgebra lineal. Aunque la noción de diferencial es bastante antigua, el intento inicial de una organización algebraica de formas diferenciales suele atribuirse a Élie Cartan con referencia a su artículo de 1899. ^[1] Algunos aspectos del álgebra exterior de formas diferenciales aparecen en la obra de Hermann Grassmann de 1844, Die Lineale Ausdehnungslehre, ein neuer Zweig der Mathematik (La teoría de la extensión lineal, una nueva rama de las matemáticas) .

Concepto

Las formas diferenciales proporcionan una aproximación al cálculo multivariable que es independiente de las coordenadas .

Integración y orientación.

Se puede integrar una forma k diferencial sobre una variedad orientada de dimensión k . Se puede considerar que una forma diferencial 1 mide una longitud orientada infinitesimal o una densidad orientada unidimensional. Se puede considerar que una forma diferencial 2 mide un área orientada infinitesimal o una densidad orientada a 2 dimensiones. Etcétera.

La integración de formas diferenciales está bien definida sólo en variedades orientadas . Un ejemplo de una variedad unidimensional es un intervalo [ a , b ] , y a los intervalos se les puede dar una orientación: están orientados positivamente si a < b y, en caso contrario, están orientados negativamente. Si a < b entonces la integral de la forma diferencial 1 f ( x ) dx en el intervalo [ a , b ] (con su orientación positiva natural) es

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx}$

que es el negativo de la integral de la misma forma diferencial en el mismo intervalo, cuando está equipado con la orientación opuesta. Eso es:

${\displaystyle \int _{b}^{a}f(x)\,dx=-\int _{a}^{b}f(x)\,dx.}$

Esto da un contexto geométrico a las convenciones para integrales unidimensionales, que el signo cambia cuando se invierte la orientación del intervalo. Una explicación estándar de esto en la teoría de la integración de una variable es que, cuando los límites de integración están en el orden opuesto ( b < a ), el incremento dx es negativo en la dirección de la integración.

De manera más general, una forma m es una densidad orientada que se puede integrar en una variedad orientada de dimensiones m . (Por ejemplo, una forma 1 se puede integrar sobre una curva orientada, una forma 2 se puede integrar sobre una superficie orientada, etc.) Si M es una variedad m -dimensional orientada y M ′ es la misma variedad con valores opuestos orientación y ω es una forma m , entonces se tiene:

${\displaystyle \int _{M}\omega =-\int _{M'}\omega \,.}$

Estas convenciones corresponden a interpretar el integrando como una forma diferencial, integrada sobre una cadena . En la teoría de la medida , por el contrario, se interpreta el integrando como una función f con respecto a una medida μ y se integra sobre un subconjunto A , sin ninguna noción de orientación; se escribe para indicar integración sobre un subconjunto A . Esta es una distinción menor en una dimensión, pero se vuelve más sutil en variedades de dimensiones superiores; consulte a continuación para obtener más detalles. ${\textstyle \int _{A}f\,d\mu =\int _{[a,b]}f\,d\mu }$

Hacer precisa la noción de densidad orientada y, por tanto, de forma diferencial, implica el álgebra exterior . Los diferenciales de un conjunto de coordenadas, dx ¹ , ..., dx ⁿ se pueden utilizar como base para todas las formas 1 . Cada uno de estos representa un covector en cada punto de la variedad que se puede considerar como una medida de un pequeño desplazamiento en la dirección de coordenadas correspondiente. Una forma 1 general es una combinación lineal de estos diferenciales en cada punto de la variedad:

${\displaystyle f_{1}\,dx^{1}+\cdots +f_{n}\,dx^{n},}$

donde f _k = f _k ( x ¹ , ... , x ⁿ ) son funciones de todas las coordenadas. Una forma diferencial 1 se integra a lo largo de una curva orientada como una integral de línea.

Las expresiones dx ⁱ ∧ dx ^j , donde i < j se pueden usar como base en cada punto de la variedad para las 2 formas. Esto puede considerarse como un cuadrado orientado infinitesimal paralelo al plano x ⁱ – x ^j . Una forma 2 general es una combinación lineal de estos en cada punto de la variedad: y está integrada como una integral de superficie. ${\textstyle \sum _{1\leq i<j\leq n}f_{i,j}\,dx^{i}\wedge dx^{j}}$

Una operación fundamental definida sobre formas diferenciales es el producto exterior (el símbolo es la cuña ∧ ). Esto es similar al producto cruzado del cálculo vectorial, en el sentido de que es un producto alterno. Por ejemplo,

${\displaystyle dx^{1}\wedge dx^{2}=-dx^{2}\wedge dx^{1}}$

porque se debe considerar que el cuadrado cuyo primer lado es dx ¹ y el segundo lado es dx ^{2 tiene la orientación opuesta a la del cuadrado cuyo primer lado es} dx ² y cuyo segundo lado es dx ¹ . Es por eso que solo necesitamos sumar las expresiones dx ⁱ ∧ dx ^j , con i < j ; por ejemplo: a ( dx ⁱ ∧ dx ^j ) + b ( dx ^j ∧ dx ⁱ ) = ( a − b ) dx ⁱ ∧ dx ^j . El producto exterior permite construir formas diferenciales de mayor grado a partir de formas diferenciales de menor grado, de la misma manera que el producto cruzado en el cálculo vectorial permite calcular el vector de área de un paralelogramo a partir de vectores que apuntan hacia los dos lados. Alternar también implica que dx ⁱ ∧ dx ⁱ = 0 , de la misma manera que el producto cruzado de vectores paralelos, cuya magnitud es el área del paralelogramo abarcado por esos vectores, es cero. En dimensiones superiores, dx ^{i ₁} ∧ ⋅⋅⋅ ∧ dx ^{i _m} = 0 si dos índices cualesquiera i ₁ , ..., i _m son iguales, del mismo modo que el "volumen" encerrado por un paralelotopo cuyo borde los vectores son linealmente dependientes es cero.

Notación multiíndice

Una notación común para el producto de cuña de k -formas elementales se llama notación de índices múltiples : en un contexto n -dimensional, para , definimos . ^[2] Otra notación útil se obtiene definiendo el conjunto de todos los multiíndices estrictamente crecientes de longitud k , en un espacio de dimensión n , denotado . Luego , localmente (dondequiera que se apliquen las coordenadas), abarca el espacio de k diferenciales en una variedad M de dimensión n , cuando se ve como un módulo sobre el anillo C ^∞ ( M ) de funciones suaves en M. Al calcular el tamaño de combinatoriamente, el módulo de k -formas en una variedad de n dimensiones y, en general, el espacio de k -covectores en un espacio vectorial de n dimensiones, es n  elija  k : . Esto también demuestra que no existen formas diferenciales distintas de cero de grado mayor que la dimensión de la variedad subyacente. ${\displaystyle I=(i_{1},i_{2},\ldots ,i_{k}),1\leq i_{1}<i_{2}<\cdots <i_{k}\leq n}$ ${\textstyle dx^{I}:=dx^{i_{1}}\wedge \cdots \wedge dx^{i_{k}}=\bigwedge _{i\in I}dx^{i}}$ ${\displaystyle {\mathcal {J}}_{k,n}:=\{I=(i_{1},\ldots ,i_{k}):1\leq i_{1}<i_{2}<\cdots <i_{k}\leq n\}}$ ${\displaystyle \{dx^{I}\}_{I\in {\mathcal {J}}_{k,n}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {J}}_{k,n}}$ ${\textstyle |{\mathcal {J}}_{k,n}|={\binom {n}{k}}}$

La derivada exterior

Además del producto exterior, también existe el operador derivado exterior d . La derivada exterior de una forma diferencial es una generalización de la diferencial de una función , en el sentido de que la derivada exterior de f ∈ C ^∞ ( M ) = Ω ⁰ ( M ) es exactamente la diferencial de f . Cuando se generaliza a formas superiores, si ω = f dx ^I es una forma k simple , entonces su derivada exterior dω es una forma ( k + 1) definida tomando el diferencial de las funciones de coeficientes:

${\displaystyle d\omega =\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial f}{\partial x^{i}}}\,dx^{i}\wedge dx^{I}.}$

con extensión a las k -formas generales mediante linealidad: si , entonces su derivada exterior es ${\textstyle \tau =\sum _{I\in {\mathcal {J}}_{k,n}}a_{I}\,dx^{I}\in \Omega ^{k}(M)}$

${\displaystyle d\tau =\sum _{I\in {\mathcal {J}}_{k,n}}\left(\sum _{j=1}^{n}{\frac {\partial a_{I}}{\partial x^{j}}}\,dx^{j}\right)\wedge dx^{I}\in \Omega ^{k+1}(M)}$

En R ³ , con el operador estrella de Hodge , la derivada exterior corresponde a gradiente , curvatura y divergencia , aunque esta correspondencia, como el producto cruzado, no se generaliza a dimensiones superiores y debe tratarse con cierta precaución.

La derivada exterior en sí se aplica en un número finito arbitrario de dimensiones y es una herramienta flexible y poderosa con amplia aplicación en geometría diferencial , topología diferencial y muchas áreas de la física. Es de destacar que, aunque la definición anterior de la derivada exterior se definió con respecto a las coordenadas locales, se puede definir de una manera totalmente libre de coordenadas, como una antiderivada de grado 1 en el álgebra exterior de formas diferenciales. El beneficio de este enfoque más general es que permite un enfoque natural sin coordenadas para integrarse en variedades . También permite una generalización natural del teorema fundamental del cálculo , llamado teorema de Stokes (generalizado) , que es un resultado central en la teoría de la integración en variedades.

Calculo diferencial

Sea U un conjunto abierto en R ⁿ . Una forma diferencial 0 ("forma cero") se define como una función suave f en U , cuyo conjunto se denota C ^∞ ( U ) . Si v es cualquier vector en R ⁿ , entonces f tiene una derivada direccional ∂ _v f , que es otra función en U cuyo valor en un punto p ∈ U es la tasa de cambio (en p ) de f en la dirección v :

${\displaystyle (\partial _{\mathbf {v} }f)(p)=\left.{\frac {d}{dt}}f(p+t\mathbf {v} )\right|_{t=0}.}$

(Esta noción puede extenderse puntualmente al caso de que v sea un campo vectorial en U evaluando v en el punto p de la definición).

En particular, si v = e _j es el jésimo vector de coordenadas entonces ∂ v _f es la derivada parcial de f con respecto al jésimo vector de coordenadas, es decir, ∂ f / ∂ x ^j , donde x ¹ , x ² , . .., x ⁿ son los vectores de coordenadas en U . Por su propia definición, las derivadas parciales dependen de la elección de las coordenadas: si se introducen nuevas coordenadas y ¹ , y ² , ..., y ^{n , entonces}

${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial x^{j}}}=\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial y^{i}}{\partial x^{j}}}{\frac {\partial f}{\partial y^{i}}}.}$

La primera idea que conduce a las formas diferenciales es la observación de que ∂ _v f ( p ) es una función lineal de v :

${\displaystyle {\begin{aligned}(\partial _{\mathbf {v} +\mathbf {w} }f)(p)&=(\partial _{\mathbf {v} }f)(p)+(\partial _{\mathbf {w} }f)(p)\\(\partial _{c\mathbf {v} }f)(p)&=c(\partial _{\mathbf {v} }f)(p)\end{aligned}}}$

para cualquier vector v , w y cualquier número real c . En cada punto p , esta aplicación lineal de R ⁿ a R se denota df _p y se llama derivada o diferencial de f en p . Así, df _p ( v ) = ∂ _v f ( p ) . Extendido a todo el conjunto, el objeto df puede verse como una función que toma un campo vectorial en U y devuelve una función de valor real cuyo valor en cada punto es la derivada a lo largo del campo vectorial de la función f . Tenga en cuenta que en cada p , el diferencial gl _p no es un número real, sino un funcional lineal en vectores tangentes, y un ejemplo prototípico de una forma diferencial 1 .

Dado que cualquier vector v es una combinación lineal Σ v ^j e _j de sus componentes , df está determinada únicamente por df _p ( e _j ) para cada j y cada p ∈ U , que son solo las derivadas parciales de f en U. Por tanto, df proporciona una forma de codificar las derivadas parciales de f . Se puede decodificar observando que las coordenadas x ¹ , x ² , ..., x ⁿ son en sí mismas funciones en U , y por lo tanto definen las formas diferenciales 1 dx ¹ , dx ² , ..., dx ⁿ . Sea f = x ⁱ . Dado que ∂ x ⁱ / ∂ x ^j = δ _ij , la función delta de Kronecker , se deduce que

El significado de esta expresión se obtiene evaluando ambos lados en un punto arbitrario p : en el lado derecho, la suma se define " puntualmente ", de modo que

${\displaystyle df_{p}=\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial f}{\partial x^{i}}}(p)(dx^{i})_{p}.}$

Aplicando ambos lados a e _j , el resultado en cada lado es la j- ésima derivada parcial de f en p . Dado que p y j eran arbitrarios, esto prueba la fórmula (*) .

De manera más general, para cualquier función suave g _i y h _i en U , definimos la forma diferencial 1 α = Σ _i g _i dh _i puntualmente por

${\displaystyle \alpha _{p}=\sum _{i}g_{i}(p)(dh_{i})_{p}}$

para cada p ∈ U . Cualquier forma diferencial 1 surge de esta manera, y al usar (*) se deduce que cualquier forma diferencial 1 α en U puede expresarse en coordenadas como

${\displaystyle \alpha =\sum _{i=1}^{n}f_{i}\,dx^{i}}$

para algunas funciones suaves f _i en U .

La segunda idea que conduce a formas diferenciales surge de la siguiente pregunta: dada una forma diferencial 1 α en U , ¿cuándo existe una función f en U tal que α = df ? La expansión anterior reduce esta pregunta a la búsqueda de una función f cuyas derivadas parciales ∂ f / ∂ x ⁱ sean iguales a n funciones dadas f _i . Para n > 1 , tal función no siempre existe: cualquier función suave f satisface

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{i}\,\partial x^{j}}}={\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{j}\,\partial x^{i}}},}$

por lo que será imposible encontrar tal f a menos que

${\displaystyle {\frac {\partial f_{j}}{\partial x^{i}}}-{\frac {\partial f_{i}}{\partial x^{j}}}=0}$

para todo i y j .

La simetría sesgada del lado izquierdo en i y j sugiere introducir un producto antisimétrico ∧ en las formas diferenciales 1 , el producto exterior , de modo que estas ecuaciones puedan combinarse en una sola condición.

${\displaystyle \sum _{i,j=1}^{n}{\frac {\partial f_{j}}{\partial x^{i}}}\,dx^{i}\wedge dx^{j}=0,}$

donde ∧ se define de modo que:

${\displaystyle dx^{i}\wedge dx^{j}=-dx^{j}\wedge dx^{i}.}$

Este es un ejemplo de una forma diferencial 2 . Esta forma 2 se llama derivada exterior dα de α = Σⁿ
_{j = 1} f _j dx ^j . esta dado por

${\displaystyle d\alpha =\sum _{j=1}^{n}df_{j}\wedge dx^{j}=\sum _{i,j=1}^{n}{\frac {\partial f_{j}}{\partial x^{i}}}\,dx^{i}\wedge dx^{j}.}$

En resumen: dα = 0 es una condición necesaria para la existencia de una función f con α = df .

Las formas diferenciales 0 , las formas 1 y las formas 2 son casos especiales de formas diferenciales. Para cada k , hay un espacio de k diferenciales , que se pueden expresar en términos de coordenadas como

${\displaystyle \sum _{i_{1},i_{2}\ldots i_{k}=1}^{n}f_{i_{1}i_{2}\ldots i_{k}}\,dx^{i_{1}}\wedge dx^{i_{2}}\wedge \cdots \wedge dx^{i_{k}}}$

para una colección de funciones f _{i 1 i 2 ⋅⋅⋅ i k} . La antisimetría, que ya estaba presente para las 2 formas, permite restringir la suma a aquellos conjuntos de índices para los cuales i ₁ < i ₂ < ... < i _{k −1} < i _k .

Las formas diferenciales se pueden multiplicar usando el producto exterior, y para cualquier forma diferencial k α , existe una forma diferencial ( k + 1) dα llamada derivada exterior de α .

Las formas diferenciales, el producto exterior y la derivada exterior son independientes de la elección de coordenadas. En consecuencia , pueden definirse en cualquier variedad lisa M. Una forma de hacer esto es cubrir M con gráficos de coordenadas y definir una forma k diferencial en M para que sea una familia de formas k diferenciales en cada gráfico que coincidan en las superposiciones. Sin embargo, existen definiciones más intrínsecas que ponen de manifiesto la independencia de las coordenadas.

Definiciones intrínsecas

Sea M una variedad suave . Una forma diferencial suave de grado k es una sección suave de la k -ésima potencia exterior del paquete cotangente de M. El conjunto de todas las k -formas diferenciales en una variedad M es un espacio vectorial , a menudo denominado Ω ^k ( M ) .

La definición de forma diferencial puede reformularse de la siguiente manera. En cualquier punto p ∈ M , una forma k β define un elemento

${\displaystyle \beta _{p}\in {\textstyle \bigwedge }^{k}T_{p}^{*}M,}$

donde T _p M es el espacio tangente a M en p y T _p ^* M es su espacio dual . Este espacio es naturalmente isomorfo ^{[3] [ se necesita aclaración ]} a la fibra en p del haz dual de la k- ésima potencia exterior del haz tangente de M. Es decir, β también es un funcional lineal , es decir, el dual de la k -ésima potencia exterior es isomorfo a la k -ésima potencia exterior del dual: ${\textstyle \beta _{p}\colon {\textstyle \bigwedge }^{k}T_{p}M\to \mathbf {R} }$

${\displaystyle {\textstyle \bigwedge }^{k}T_{p}^{*}M\cong {\Big (}{\textstyle \bigwedge }^{k}T_{p}M{\Big )}^{*}}$

Por la propiedad universal de las potencias exteriores, esto es equivalente a un mapa multilineal alterno :

${\displaystyle \beta _{p}\colon \bigoplus _{n=1}^{k}T_{p}M\to \mathbf {R} .}$

En consecuencia, se puede evaluar una forma k diferencial frente a cualquier k -tupla de vectores tangentes al mismo punto p de M . Por ejemplo, una forma diferencial 1 α asigna a cada punto p ∈ M un funcional lineal α _p en T _p M . En presencia de un producto interno en T _p M (inducido por una métrica de Riemann en M ), α _p puede representarse como el producto interno con un vector tangente X _p . Las formas diferenciales 1 a veces se denominan campos vectoriales covariantes , campos covectoriales o "campos vectoriales duales", particularmente en física.

El álgebra exterior puede integrarse en el álgebra tensorial mediante el mapa de alternancia. El mapa de alternancia se define como un mapeo

${\displaystyle \operatorname {Alt} \colon {\bigotimes }^{k}T^{*}M\to {\bigotimes }^{k}T^{*}M.}$

Para un tensor en un punto p , ${\displaystyle \tau }$

${\displaystyle \operatorname {Alt} (\tau _{p})(x_{1},\dots ,x_{k})={\frac {1}{k!}}\sum _{\sigma \in S_{k}}\operatorname {sgn}(\sigma )\tau _{p}(x_{\sigma (1)},\dots ,x_{\sigma (k)}),}$

donde S _k es el grupo simétrico de k elementos. El mapa de alternancia es constante en las clases laterales del ideal en el álgebra tensorial generada por las 2 formas simétricas y, por lo tanto, desciende a una incrustación

${\displaystyle \operatorname {Alt} \colon {\textstyle \bigwedge }^{k}T^{*}M\to {\bigotimes }^{k}T^{*}M.}$

Este mapa muestra β como un campo tensor covariante totalmente antisimétrico de rango k . Las formas diferenciales en M están en correspondencia uno a uno con dichos campos tensoriales.

Operaciones

Además de las operaciones de suma y multiplicación por escalares que surgen de la estructura del espacio vectorial, existen otras operaciones estándar definidas en formas diferenciales. Las operaciones más importantes son el producto exterior de dos formas diferenciales, la derivada exterior de una forma diferencial única, el producto interior de una forma diferencial y un campo vectorial, la derivada de Lie de una forma diferencial con respecto a un campo vectorial y la covariante. derivada de una forma diferencial con respecto a un campo vectorial en una variedad con una conexión definida.

Producto exterior

El producto exterior de una forma k α y una forma ℓ β , denotada α ∧ β , es una forma ( k + ℓ ). En cada punto p de la variedad M , las formas α y β son elementos de una potencia exterior del espacio cotangente en p . Cuando el álgebra exterior se ve como un cociente del álgebra tensorial, el producto exterior corresponde al producto tensorial (módulo la relación de equivalencia que define el álgebra exterior).

La antisimetría inherente al álgebra exterior significa que cuando α ∧ β se considera un funcional multilineal, es alternante. Sin embargo, cuando el álgebra exterior se integra como un subespacio del álgebra tensorial mediante el mapa de alternancia, el producto tensorial α ⊗ β no es alternante. Existe una fórmula explícita que describe el producto exterior en esta situación. El producto exterior es

${\displaystyle \alpha \wedge \beta =\operatorname {Alt} (\alpha \otimes \beta ).}$

Si la incorporación de dentro se realiza a través del mapa en lugar de , el producto exterior se ${\displaystyle {\textstyle \bigwedge }^{n}T^{*}M}$ ${\displaystyle {\bigotimes }^{n}T^{*}M}$ ${\displaystyle n!\operatorname {Alt} }$ ${\displaystyle \operatorname {Alt} }$

${\displaystyle \alpha \wedge \beta ={\frac {(k+\ell )!}{k!\ell !}}\operatorname {Alt} (\alpha \otimes \beta ).}$

Esta descripción es útil para cálculos explícitos. Por ejemplo, si k = ℓ = 1 , entonces α ∧ β es la forma 2 cuyo valor en un punto p es la forma bilineal alterna definida por

${\displaystyle (\alpha \wedge \beta )_{p}(v,w)=\alpha _{p}(v)\beta _{p}(w)-\alpha _{p}(w)\beta _{p}(v)}$

para v , w ∈ T _p M .

El producto exterior es bilineal: si α , β y γ son formas diferenciales, y si f es cualquier función suave, entonces

${\displaystyle \alpha \wedge (\beta +\gamma )=\alpha \wedge \beta +\alpha \wedge \gamma ,}$

${\displaystyle \alpha \wedge (f\cdot \beta )=f\cdot (\alpha \wedge \beta ).}$

Es conmutativo sesgado (también conocido como conmutativo graduado ), lo que significa que satisface una variante de anticonmutatividad que depende de los grados de las formas: si α es una forma k y β es una forma ℓ , entonces

${\displaystyle \alpha \wedge \beta =(-1)^{k\ell }\beta \wedge \alpha .}$

También se tiene la regla graduada de Leibniz :

${\displaystyle d(\alpha \wedge \beta )=d\alpha \wedge \beta +(-1)^{k}\alpha \wedge d\beta .}$

variedad de riemann

En una variedad de Riemann , o más generalmente en una variedad pseudo-riemanniana , la métrica define un isomorfismo de fibra de los haces tangente y cotangente. Esto hace posible convertir campos vectoriales en campos covectoriales y viceversa. También permite la definición de operaciones adicionales como el operador estrella de Hodge y el codiferencial , que tiene grado −1 y es contiguo al diferencial exterior d . ${\displaystyle \star \colon \Omega ^{k}(M)\ {\stackrel {\sim }{\to }}\ \Omega ^{n-k}(M)}$ ${\displaystyle \delta \colon \Omega ^{k}(M)\rightarrow \Omega ^{k-1}(M)}$

Estructuras de campos vectoriales

En una variedad pseudo-riemanniana, las formas 1 se pueden identificar con campos vectoriales; Los campos vectoriales tienen estructuras algebraicas distintas adicionales, que se enumeran aquí para contextualizar y evitar confusiones.

En primer lugar, cada espacio (co)tangente genera un álgebra de Clifford , donde el producto de un (co)vector consigo mismo está dado por el valor de una forma cuadrática, en este caso, la natural inducida por la métrica . Esta álgebra es distinta del álgebra exterior de formas diferenciales, que puede verse como un álgebra de Clifford donde la forma cuadrática desaparece (ya que el producto exterior de cualquier vector consigo mismo es cero). Las álgebras de Clifford son, por tanto, deformaciones no anticonmutativas ("cuánticas") del álgebra exterior. Se estudian en álgebra geométrica .

Otra alternativa es considerar campos vectoriales como derivaciones. El álgebra (no conmutativa) de operadores diferenciales que generan es el álgebra de Weyl y es una deformación no conmutativa ("cuántica") del álgebra simétrica en los campos vectoriales.

Complejo diferencial exterior

Una propiedad importante de la derivada exterior es que d ² = 0 . Esto significa que la derivada exterior define un complejo de cocadena :

${\displaystyle 0\ \to \ \Omega ^{0}(M)\ {\stackrel {d}{\to }}\ \Omega ^{1}(M)\ {\stackrel {d}{\to }}\ \Omega ^{2}(M)\ {\stackrel {d}{\to }}\ \Omega ^{3}(M)\ \to \ \cdots \ \to \ \Omega ^{n}(M)\ \to \ 0.}$

Este complejo se llama complejo de Rham y su cohomología es, por definición, la cohomología de De Rham de M. Según el lema de Poincaré , el complejo de Rham es localmente exacto excepto en Ω ⁰ ( M ) . El núcleo en Ω ⁰ ( M ) es el espacio de funciones localmente constantes en M . Por lo tanto, el complejo es una resolución de la gavilla constante R , lo que a su vez implica una forma del teorema de De Rham: la cohomología de De Rham calcula la cohomología de la gavilla de R.

Echar para atrás

Supongamos que f  : M → N es suave. El diferencial de f es un mapa suave df  : TM → TN entre los paquetes tangentes de M y N . Este mapa también se denota por f _∗ y se llama pushforward . Para cualquier punto p ∈ M y cualquier vector tangente v ∈ T _p M , existe un vector pushforward bien definido f _∗ ( v ) en T _{f ( p )} N . Sin embargo, no ocurre lo mismo con un campo vectorial. Si f no es inyectiva, digamos porque q ∈ N tiene dos o más preimágenes, entonces el campo vectorial puede determinar dos o más vectores distintos en T _q N. Si f no es sobreyectiva, entonces habrá un punto q ∈ N en el cual f _∗ no determina ningún vector tangente. Dado que un campo vectorial en N determina, por definición, un vector tangente único en cada punto de N , el avance de un campo vectorial no siempre existe.

Por el contrario, siempre es posible retirar una forma diferencial. Una forma diferencial en N puede verse como una funcional lineal en cada espacio tangente. Precomponiendo este funcional con el diferencial gl  : TM → TN define un funcional lineal en cada espacio tangente de M y por tanto una forma diferencial en M. La existencia de retrocesos es una de las características clave de la teoría de las formas diferenciales. Conduce a la existencia de mapas de retroceso en otras situaciones, como los homomorfismos de retroceso en la cohomología de De Rham.

Formalmente, sea f  : M → N suave y sea ω una forma k suave en N . Luego hay una forma diferencial f ^∗ ω en M , llamada retroceso de ω , que captura el comportamiento de ω visto en relación con f . Para definir el retroceso, fije un punto p de M y vectores tangentes v ₁ , ..., v _k a M en p . El retroceso de ω está definido por la fórmula

${\displaystyle (f^{*}\omega )_{p}(v_{1},\ldots ,v_{k})=\omega _{f(p)}(f_{*}v_{1},\ldots ,f_{*}v_{k}).}$

Hay varias formas más abstractas de ver esta definición. Si ω es una forma 1 en N , entonces puede verse como una sección del paquete cotangente T ^∗ N de N. Usando ^∗ para denotar un mapa dual, el dual al diferencial de f es ( df ) ^∗  : T ^∗ N → T ^∗ M . El retroceso de ω puede definirse como el compuesto

${\displaystyle M\ {\stackrel {f}{\to }}\ N\ {\stackrel {\omega }{\to }}\ T^{*}N\ {\stackrel {(df)^{*}}{\longrightarrow }}\ T^{*}M.}$

Esta es una sección del paquete cotangente de M y, por tanto , una forma diferencial 1 en M. En general, denotemos la k- ésima potencia exterior del mapa dual al diferencial. Entonces el retroceso de una k -forma ω es el compuesto ${\textstyle \bigwedge ^{k}(df)^{*}}$

${\displaystyle M\ {\stackrel {f}{\to }}\ N\ {\stackrel {\omega }{\to }}\ {\textstyle \bigwedge }^{k}T^{*}N\ {\stackrel {{\bigwedge }^{k}(df)^{*}}{\longrightarrow }}\ {\textstyle \bigwedge }^{k}T^{*}M.}$

Otra forma abstracta de ver el retroceso proviene de ver una forma k ω como una funcional lineal en espacios tangentes. Desde este punto de vista, ω es un morfismo de haces de vectores

${\displaystyle {\textstyle \bigwedge }^{k}TN\ {\stackrel {\omega }{\to }}\ N\times \mathbf {R} ,}$

donde N × R es el paquete trivial de rango uno en N. El mapa compuesto

${\displaystyle {\textstyle \bigwedge }^{k}TM\ {\stackrel {{\bigwedge }^{k}df}{\longrightarrow }}\ {\textstyle \bigwedge }^{k}TN\ {\stackrel {\omega }{\to }}\ N\times \mathbf {R} }$

define un funcional lineal en cada espacio tangente de M y, por lo tanto , factoriza el paquete trivial M × R. El morfismo de paquete de vectores definido de esta manera es f ^∗ ω . ${\textstyle {\textstyle \bigwedge }^{k}TM\to M\times \mathbf {R} }$

Pullback respeta todas las operaciones básicas en formularios. Si ω y η son formas y c es un número real, entonces

${\displaystyle {\begin{aligned}f^{*}(c\omega )&=c(f^{*}\omega ),\\f^{*}(\omega +\eta )&=f^{*}\omega +f^{*}\eta ,\\f^{*}(\omega \wedge \eta )&=f^{*}\omega \wedge f^{*}\eta ,\\f^{*}(d\omega )&=d(f^{*}\omega ).\end{aligned}}}$

El retroceso de un formulario también se puede escribir en coordenadas. Supongamos que x ¹ , ..., x ^m son coordenadas en M , que y ¹ , ..., y ⁿ son coordenadas en N , y que estos sistemas de coordenadas están relacionados por las fórmulas y ⁱ = f _i ( x ¹ , ..., x ^m ) para todo i . Localmente en N , ω se puede escribir como

${\displaystyle \omega =\sum _{i_{1}<\cdots <i_{k}}\omega _{i_{1}\cdots i_{k}}\,dy^{i_{1}}\wedge \cdots \wedge dy^{i_{k}},}$

donde, para cada elección de i ₁ , ..., i _k , ω _{i 1 ⋅⋅⋅ i k} es una función de valor real de y ¹ , ..., y ⁿ . Usando la linealidad del retroceso y su compatibilidad con el producto exterior, el retroceso de ω tiene la fórmula

${\displaystyle f^{*}\omega =\sum _{i_{1}<\cdots <i_{k}}(\omega _{i_{1}\cdots i_{k}}\circ f)\,df_{i_{1}}\wedge \cdots \wedge df_{i_{k}}.}$

Cada derivada exterior df _i se puede expandir en términos de dx ¹ , ..., dx ^m . La forma k resultante se puede escribir usando matrices jacobianas :

${\displaystyle f^{*}\omega =\sum _{i_{1}<\cdots <i_{k}}\sum _{j_{1}<\cdots <j_{k}}(\omega _{i_{1}\cdots i_{k}}\circ f){\frac {\partial (f_{i_{1}},\ldots ,f_{i_{k}})}{\partial (x^{j_{1}},\ldots ,x^{j_{k}})}}\,dx^{j_{1}}\wedge \cdots \wedge dx^{j_{k}}.}$

Aquí, denota el determinante de la matriz cuyas entradas son ,. ${\textstyle {\frac {\partial (f_{i_{1}},\ldots ,f_{i_{k}})}{\partial (x^{j_{1}},\ldots ,x^{j_{k}})}}}$ ${\textstyle {\frac {\partial f_{i_{m}}}{\partial x^{j_{n}}}}}$ ${\displaystyle 1\leq m,n\leq k}$

Integración

Se puede integrar una forma k diferencial sobre una variedad k -dimensional orientada. Cuando la forma k se define en una variedad n -dimensional con n > k , entonces la forma k se puede integrar sobre subvariedades k -dimensionales orientadas. Si k = 0 , la integración sobre subvariedades orientadas de dimensión 0 es solo la suma del integrando evaluado en puntos, de acuerdo con la orientación de esos puntos. Otros valores de k = 1, 2, 3, ... corresponden a integrales de línea, integrales de superficie, integrales de volumen, etc. Hay varias formas equivalentes de definir formalmente la integral de una forma diferencial, todas las cuales dependen de la reducción al caso del espacio euclidiano.

Integración en el espacio euclidiano

Sea U un subconjunto abierto de R ⁿ . Dé a R ⁿ su orientación estándar y a U la restricción de esa orientación. Cada n -forma suave ω en U tiene la forma

${\displaystyle \omega =f(x)\,dx^{1}\wedge \cdots \wedge dx^{n}}$

para alguna función suave f  : R ⁿ → R . Tal función tiene una integral en el sentido habitual de Riemann o Lebesgue. Esto nos permite definir la integral de ω como la integral de f :

${\displaystyle \int _{U}\omega \ {\stackrel {\text{def}}{=}}\int _{U}f(x)\,dx^{1}\cdots dx^{n}.}$

Es necesario fijar una orientación para que ésta quede bien definida. La simetría sesgada de las formas diferenciales significa que la integral de, digamos, dx ¹ ∧ dx ² debe ser el negativo de la integral de dx ² ∧ dx ¹ . Las integrales de Riemann y Lebesgue no pueden ver esta dependencia del orden de las coordenadas, por lo que dejan indeterminado el signo de la integral. La orientación resuelve esta ambigüedad.

Integración sobre cadenas

Sea M una n -variedad y ω una n -forma en M . Primero, supongamos que existe una parametrización de M por un subconjunto abierto del espacio euclidiano. Es decir, supongamos que existe un difeomorfismo.

${\displaystyle \varphi \colon D\to M}$

donde D ⊆ R ^norte . Dale a M la orientación inducida por φ . Entonces (Rudin 1976) define la integral de ω sobre M como la integral de φ ^∗ ω sobre D . En coordenadas, esto tiene la siguiente expresión. Arreglar una incrustación de M en R ^I con coordenadas x ¹ , ..., x ^I . Entonces

${\displaystyle \omega =\sum _{i_{1}<\cdots <i_{n}}a_{i_{1},\ldots ,i_{n}}({\mathbf {x} })\,dx^{i_{1}}\wedge \cdots \wedge dx^{i_{n}}.}$

Supongamos que φ está definido por

${\displaystyle \varphi ({\mathbf {u} })=(x^{1}({\mathbf {u} }),\ldots ,x^{I}({\mathbf {u} })).}$

Entonces la integral se puede escribir en coordenadas como

${\displaystyle \int _{M}\omega =\int _{D}\sum _{i_{1}<\cdots <i_{n}}a_{i_{1},\ldots ,i_{n}}(\varphi ({\mathbf {u} })){\frac {\partial (x^{i_{1}},\ldots ,x^{i_{n}})}{\partial (u^{1},\dots ,u^{n})}}\,du^{1}\cdots du^{n},}$

dónde

${\displaystyle {\frac {\partial (x^{i_{1}},\ldots ,x^{i_{n}})}{\partial (u^{1},\ldots ,u^{n})}}}$

es el determinante del jacobiano . El jacobiano existe porque φ es diferenciable.

En general, una n -colectora no puede parametrizarse mediante un subconjunto abierto de R ⁿ . Pero tal parametrización siempre es posible localmente, por lo que es posible definir integrales sobre variedades arbitrarias definiéndolas como sumas de integrales sobre colecciones de parametrizaciones locales. Además, también es posible definir parametrizaciones de k -subconjuntos dimensionales para k < n , y esto hace posible definir integrales de k -formas. Para precisar esto, es conveniente fijar un dominio estándar D en R ^k , generalmente un cubo o un simplex. Una k - cadena es una suma formal de incrustaciones suaves D → M . Es decir, es una colección de incrustaciones suaves, a cada una de las cuales se le asigna una multiplicidad entera. Cada incrustación suave determina una subvariedad k -dimensional de M . Si la cadena es

${\displaystyle c=\sum _{i=1}^{r}m_{i}\varphi _{i},}$

entonces la integral de una forma k ω sobre c se define como la suma de las integrales sobre los términos de c :

${\displaystyle \int _{c}\omega =\sum _{i=1}^{r}m_{i}\int _{D}\varphi _{i}^{*}\omega .}$

Este enfoque para definir la integración no asigna un significado directo a la integración sobre toda la variedad M. Sin embargo, todavía es posible asignar tal significado indirectamente porque cada variedad suave puede triangularse suavemente de una manera esencialmente única, y la integral sobre M puede definirse como la integral sobre la cadena determinada por una triangulación.

Integración mediante particiones de unidad.

Hay otro enfoque, expuesto en (Dieudonné 1972), que asigna directamente un significado a la integración sobre M , pero este enfoque requiere fijar una orientación de M. La integral de una n -forma ω en una variedad n -dimensional se define trabajando en gráficos. Supongamos primero que ω está soportado en un único gráfico orientado positivamente. En este gráfico, se puede retroceder a una forma n en un subconjunto abierto de R ⁿ . Aquí, la forma tiene una integral de Riemann o Lebesgue bien definida como antes. La fórmula de cambio de variables y el supuesto de que el gráfico está orientado positivamente garantizan que la integral de ω sea independiente del gráfico elegido. En el caso general, use una partición de la unidad para escribir ω como una suma de n -formas, cada una de las cuales está respaldada en un único gráfico orientado positivamente, y defina la integral de ω como la suma de las integrales de cada término en la partición de la unidad.

También es posible integrar k -formas en subvariedades k -dimensionales orientadas utilizando este enfoque más intrínseco. El formulario regresa a la subvariedad, donde la integral se define usando gráficos como antes. Por ejemplo, dada una ruta γ ( t ): [0, 1] → R ² , integrar una forma 1 en la ruta es simplemente retroceder la forma a una forma f ( t ) dt  en [0, 1] , y esta integral es la integral de la función f ( t ) en el intervalo.

Integración a lo largo de fibras.

El teorema de Fubini establece que la integral de un conjunto que es un producto puede calcularse como una integral iterada de los dos factores del producto. Esto sugiere que la integral de una forma diferencial sobre un producto también debería ser computable como una integral iterada. La flexibilidad geométrica de las formas diferenciales garantiza que esto sea posible no sólo para productos, sino también en situaciones más generales. Según algunas hipótesis, es posible integrar a lo largo de las fibras de una aplicación uniforme, y el análogo del teorema de Fubini es el caso en el que esta aplicación es la proyección de un producto a uno de sus factores.

Debido a que la integración de una forma diferencial sobre una subvariedad requiere fijar una orientación, un requisito previo para la integración a lo largo de fibras es la existencia de una orientación bien definida en esas fibras. Sean M y N dos variedades orientables de dimensiones puras m y n , respectivamente. Supongamos que f  : M → N es una inmersión sobreyectiva. Esto implica que cada fibra f ⁻¹ ( y ) es ( m − n ) -dimensional y que, alrededor de cada punto de M , hay un gráfico en el que f parece la proyección de un producto sobre uno de sus factores. Fije x ∈ M y establezca y = f ( x ) . Suponer que

${\displaystyle {\begin{aligned}\omega _{x}&\in {\textstyle \bigwedge }^{m}T_{x}^{*}M,\\\eta _{y}&\in {\textstyle \bigwedge }^{n}T_{y}^{*}N,\end{aligned}}}$

y que η _y no desaparece. Siguiendo (Dieudonné 1972), hay una única

${\displaystyle \sigma _{x}\in {\textstyle \bigwedge }^{m-n}T_{x}^{*}(f^{-1}(y))}$

que puede considerarse como la parte fibral de ω _x con respecto a η _y . Más precisamente, defina j  : f ⁻¹ ( y ) → M como la inclusión. Entonces σ _x está definida por la propiedad de que

${\displaystyle \omega _{x}=(f^{*}\eta _{y})_{x}\wedge \sigma '_{x}\in {\textstyle \bigwedge }^{m}T_{x}^{*}M,}$

dónde

${\displaystyle \sigma '_{x}\in {\textstyle \bigwedge }^{m-n}T_{x}^{*}M}$

es cualquier ( m − n ) -covector para el cual

${\displaystyle \sigma _{x}=j^{*}\sigma '_{x}.}$

La forma σ _x también se puede anotar como ω _x / η _y .

Además, para y fijo , σ _x varía suavemente con respecto a x . Es decir, supongamos que

${\displaystyle \omega \colon f^{-1}(y)\to T^{*}M}$

es una sección suave del mapa de proyección; decimos que ω es una forma m diferencial suave en M a lo largo de f ⁻¹ ( y ) . Entonces hay una forma diferencial suave ( m − n ) σ en f ⁻¹ ( y ) tal que, en cada x ∈ f ⁻¹ ( y ) ,

${\displaystyle \sigma _{x}=\omega _{x}/\eta _{y}.}$

Esta forma se denota ω / η _y . La misma construcción funciona si ω es una forma m en una vecindad de la fibra y se utiliza la misma notación. Una consecuencia es que cada fibra f ⁻¹ ( y ) es orientable. En particular, una elección de formas de orientación en M y N define una orientación de cada fibra de f .

El análogo del teorema de Fubini es el siguiente. Como antes, M y N son dos variedades orientables de dimensiones puras m y n , y f  : M → N es una inmersión sobreyectiva. Fije las orientaciones de M y N y dé a cada fibra de f la orientación inducida. Sea ω una forma m en M y sea η una forma n en N que es casi en todas partes positiva con respecto a la orientación de N. Entonces, para casi cada y ∈ N , la forma ω / η _y es una forma integrable m − n bien definida en f ⁻¹ ( y ) . Además, existe una forma n integrable en N definida por

${\displaystyle y\mapsto {\bigg (}\int _{f^{-1}(y)}\omega /\eta _{y}{\bigg )}\,\eta _{y}.}$

Denota esta forma por

${\displaystyle {\bigg (}\int _{f^{-1}(y)}\omega /\eta {\bigg )}\,\eta .}$

Luego (Dieudonné 1972) prueba la fórmula generalizada de Fubini

${\displaystyle \int _{M}\omega =\int _{N}{\bigg (}\int _{f^{-1}(y)}\omega /\eta {\bigg )}\,\eta .}$

También es posible integrar formas de otros grados a lo largo de las fibras de una inmersión. Supongamos las mismas hipótesis que antes, y sea α una forma ( m − n + k ) apoyada compactamente en M . Entonces hay una forma k γ en N que es el resultado de integrar α a lo largo de las fibras de f . La forma α se define especificando, en cada y ∈ N , cómo γ se empareja con cada k -vector v en y , y el valor de ese emparejamiento es una integral sobre f ⁻¹ ( y ) que depende sólo de α , v , y las orientaciones de M y N . Más precisamente, en cada y ∈ N , hay un isomorfismo

${\displaystyle {\textstyle \bigwedge }^{k}T_{y}N\to {\textstyle \bigwedge }^{n-k}T_{y}^{*}N}$

definido por el producto interior

${\displaystyle \mathbf {v} \mapsto \mathbf {v} \,\lrcorner \,\zeta _{y},}$

para cualquier elección de volumen, forme ζ en la orientación de N. Si x ∈ f ⁻¹ ( y ) , entonces un k -vector v en y determina un ( n − k ) -covector en x mediante retroceso:

${\displaystyle f^{*}(\mathbf {v} \,\lrcorner \,\zeta _{y})\in {\textstyle \bigwedge }^{n-k}T_{x}^{*}M.}$

Cada uno de estos covectores tiene un producto exterior contra α , por lo que hay una forma ( m − n ) β _v en M a lo largo de f ⁻¹ ( y ) definida por

${\displaystyle (\beta _{\mathbf {v} })_{x}=\left(\alpha _{x}\wedge f^{*}(\mathbf {v} \,\lrcorner \,\zeta _{y})\right){\big /}\zeta _{y}\in {\textstyle \bigwedge }^{m-n}T_{x}^{*}M.}$

Esta forma depende de la orientación de N pero no de la elección de ζ . Entonces la k -forma γ está definida únicamente por la propiedad

${\displaystyle \langle \gamma _{y},\mathbf {v} \rangle =\int _{f^{-1}(y)}\beta _{\mathbf {v} },}$

y γ es suave (Dieudonné 1972). Esta forma también denota α ^♭ y se llama integral de α a lo largo de las fibras de f . La integración a lo largo de fibras es importante para la construcción de mapas de Gysin en cohomología de De Rham.

La integración a lo largo de las fibras satisface la fórmula de proyección (Dieudonné 1972). Si λ es cualquier forma ℓ en N , entonces

${\displaystyle \alpha ^{\flat }\wedge \lambda =(\alpha \wedge f^{*}\lambda )^{\flat }.}$

teorema de stokes

La relación fundamental entre la derivada exterior y la integración viene dada por el teorema de Stokes : Si ω es una forma ( n − 1 ) con soporte compacto en M y ∂M denota el límite de M con su orientación inducida , entonces

${\displaystyle \int _{M}d\omega =\int _{\partial M}\omega .}$

Una consecuencia clave de esto es que "la integral de una forma cerrada sobre cadenas homólogas es igual": si ω es una forma k cerrada y M y N son k -cadenas que son homólogas (de modo que M − N es el límite de una ( k + 1) -cadena W ), entonces , ya que la diferencia es la integral . ${\displaystyle \textstyle {\int _{M}\omega =\int _{N}\omega }}$ ${\displaystyle \textstyle \int _{W}d\omega =\int _{W}0=0}$

Por ejemplo, si ω = df es la derivada de una función potencial en el plano o R ⁿ , entonces la integral de ω sobre un camino de a a b no depende de la elección del camino (la integral es f ( b ) − f ( a ) ), ya que diferentes caminos con puntos finales dados son homotópicos , por lo tanto homólogos (una condición más débil). Este caso se llama teorema del gradiente y generaliza el teorema fundamental del cálculo . Esta independencia de trayectoria es muy útil en la integración de contornos .

Este teorema también subyace a la dualidad entre la cohomología de De Rham y la homología de cadenas.

Relación con medidas

En una variedad general diferenciable (sin estructura adicional), las formas diferenciales no se pueden integrar en subconjuntos de la variedad; esta distinción es clave para la distinción entre formas diferenciales, que se integran en cadenas o subvariedades orientadas, y medidas, que se integran en subconjuntos. El ejemplo más simple es intentar integrar la forma 1 dx en el intervalo [0, 1] . Suponiendo la distancia habitual (y por lo tanto medida) en la línea real, esta integral es 1 o −1 , dependiendo de la orientación:, mientras que . Por el contrario, la integral de la medida | dx | en el intervalo es inequívocamente 1 (es decir, la integral de la función constante 1 con respecto a esta medida es 1 ). De manera similar, bajo un cambio de coordenadas, una forma diferencial n cambia según el determinante jacobiano J , mientras que una medida cambia según el valor absoluto del determinante jacobiano, | j | , lo que refleja aún más la cuestión de la orientación. Por ejemplo, bajo el mapa x ↦ − x en la recta, la forma diferencial dx retrocede a − dx ; la orientación se ha invertido; mientras que la medida de Lebesgue , que aquí denotamos | dx | , retrocede a | dx | ; no cambia. ${\displaystyle \textstyle {\int _{0}^{1}dx=1}}$ ${\displaystyle \textstyle {\int _{1}^{0}dx=-\int _{0}^{1}dx=-1}}$

En presencia de datos adicionales de una orientación , es posible integrar n -formas (formas de dimensiones superiores) en toda la variedad o en subconjuntos compactos; la integración sobre toda la variedad corresponde a la integración de la forma sobre la clase fundamental de la variedad, [ M ] . Formalmente, en presencia de una orientación, se pueden identificar n -formas con densidades en una variedad ; las densidades, a su vez, definen una medida y, por tanto, pueden integrarse (Folland 1999, sección 11.4, págs. 361-362).

En una variedad orientable pero no orientada, hay dos opciones de orientación; cualquiera de las opciones permite integrar n -formas en subconjuntos compactos, y las dos opciones difieren por un signo. En variedades no orientables, n -formas y densidades no se pueden identificar; en particular, cualquier forma de dimensión superior debe desaparecer en algún lugar (no hay formas de volumen en variedades no orientables), pero no hay densidades que desaparezcan en ninguna parte, por lo tanto, si bien se puede integrar densidades sobre subconjuntos compactos, no se pueden integrar n -formas. En cambio, se pueden identificar densidades con pseudoformas de dimensiones superiores .

Incluso en presencia de una orientación, en general no existe una forma significativa de integrar k -formas sobre subconjuntos para k < n porque no existe una forma consistente de utilizar la orientación ambiental para orientar k -subconjuntos dimensionales. Geométricamente, un subconjunto k -dimensional se puede invertir en su lugar, produciendo el mismo subconjunto con la orientación opuesta; por ejemplo, el eje horizontal de un plano se puede girar 180 grados. Compare el determinante de Gram de un conjunto de k vectores en un espacio de n dimensiones, que, a diferencia del determinante de n vectores, siempre es positivo y corresponde a un número al cuadrado. Por lo tanto, la orientación de una k -subvariedad es información adicional que no se puede derivar de la variedad ambiental.

En una variedad de Riemann, se puede definir una k -medida de Hausdorff dimensional para cualquier k (entero o real), que puede integrarse en k -subconjuntos dimensionales de la variedad. Una función multiplicada por esta medida de Hausdorff se puede integrar en k -subconjuntos dimensionales, proporcionando un análogo teórico de la medida a la integración de k -formas. La medida de Hausdorff n -dimensional produce una densidad, como arriba.

Corrientes

La forma diferencial análoga de una distribución o función generalizada se llama corriente . El espacio de k -corrientes en M es el espacio dual de un espacio apropiado de k -formas diferenciales. Las corrientes desempeñan el papel de dominios generalizados de integración, similares a las cadenas, pero incluso más flexibles.

Aplicaciones en física

Las formas diferenciales surgen en algunos contextos físicos importantes. Por ejemplo, en la teoría del electromagnetismo de Maxwell , la forma 2 de Faraday , o intensidad del campo electromagnético , es

${\displaystyle {\textbf {F}}={\frac {1}{2}}f_{ab}\,dx^{a}\wedge dx^{b}\,,}$

donde los f _ab se forman a partir de los campos electromagnéticos y ; por ejemplo, f ₁₂ = E _z / c , f ₂₃ = − B _z , o definiciones equivalentes. ${\displaystyle {\vec {E}}}$ ${\displaystyle {\vec {B}}}$

Esta forma es un caso especial de la forma de curvatura en el haz principal U(1) en el que se pueden describir tanto el electromagnetismo como las teorías generales de calibre . La forma de conexión para el haz principal es el potencial vectorial, normalmente denotado por A , cuando se representa en algún calibre. Uno entonces tiene

${\displaystyle {\textbf {F}}=d{\textbf {A}}.}$

La forma 3 actual es

${\displaystyle {\textbf {J}}={\frac {1}{6}}j^{a}\,\varepsilon _{abcd}\,dx^{b}\wedge dx^{c}\wedge dx^{d}\,,}$

donde j ^a son los cuatro componentes de la densidad de corriente. (Aquí es una cuestión de convención escribir Fa _ab en lugar de fa _ab , es decir, usar letras mayúsculas, y escribir Ja en lugar de j ^{a . Sin embargo, los componentes vectoriales} o tensoriales y las formas antes mencionadas tienen diferentes características físicas. dimensiones. Además, por decisión de una comisión internacional de la Unión Internacional de Física Pura y Aplicada , el vector de polarización magnética ha sido llamado desde hace varias décadas, y por algunos editores J ; es decir, el mismo nombre se utiliza para diferentes cantidades.) ${\displaystyle {\vec {J}}}$

Usando las definiciones mencionadas anteriormente, las ecuaciones de Maxwell se pueden escribir de manera muy compacta en unidades geometrizadas como

${\displaystyle {\begin{aligned}d{\textbf {F}}&={\textbf {0}}\\d{\star {\textbf {F}}}&={\textbf {J}},\end{aligned}}}$

donde denota el operador estrella de Hodge . Consideraciones similares describen la geometría de las teorías de calibre en general. ${\displaystyle \star }$

La forma 2 , que es dual a la forma de Faraday, también se llama forma 2 de Maxwell . ${\displaystyle {\star }\mathbf {F} }$

El electromagnetismo es un ejemplo de teoría de calibre U(1) . Aquí el grupo de Lie es U(1) , el grupo unitario unidimensional , que es en particular abeliano . Existen teorías de calibre, como la teoría de Yang-Mills , en las que el grupo de Lie no es abeliano. En ese caso, se obtienen relaciones similares a las descritas aquí. El análogo del campo F en tales teorías es la forma de curvatura de la conexión, que está representada en un calibre mediante una forma A univaluada en álgebra de Lie . El campo F de Yang-Mills se define entonces por

${\displaystyle \mathbf {F} =d\mathbf {A} +\mathbf {A} \wedge \mathbf {A} .}$

En el caso abeliano, como el electromagnetismo, A ∧ A = 0 , pero esto no se cumple en general. Asimismo, las ecuaciones de campo se modifican con términos adicionales que involucran productos exteriores de A y F , debido a las ecuaciones de estructura del grupo de calibre.

Aplicaciones en la teoría de la medida geométrica.

Numerosos resultados de minimalidad para variedades analíticas complejas se basan en la desigualdad de Wirtinger para 2 formas . Se puede encontrar una prueba sucinta en el texto clásico de Herbert Federer, Teoría de la medida geométrica . La desigualdad de Wirtinger también es un ingrediente clave en la desigualdad de Gromov para el espacio proyectivo complejo en geometría sistólica .

Ver también

• Formas diferenciales cerradas y exactas.
• Forma diferencial compleja
• Forma diferencial valorada por vectores
• Forma diferencial equivalente
• Cálculo de colectores
• Forma multilineal
• Forma diferencial polinomial

Notas

1. Cartan, Élie (1899), "Sur surees expresiones différentielles et le problème de Pfaff", Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure , 16 : 239–332, doi : 10.24033/asens.467
2. Tu, Loring W. (2011). Una introducción a las variedades (2ª ed.). Nueva York: Springer. ISBN 9781441974006. OCLC  682907530.
3. "Álgebra lineal - emparejamientos" naturales "entre potencias exteriores de un espacio vectorial y su dual".

Referencias

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• Dieudonné, Jean (1972), Tratado de análisis , vol. 3, Nueva York-Londres: Academic Press, Inc., MR  0350769
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• Folland, Gerald B. (1999), Análisis real: técnicas modernas y sus aplicaciones (Segunda ed.), ISBN 978-0-471-31716-6,proporciona una breve discusión de la integración en variedades desde el punto de vista de la teoría de la medida en la última sección.
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enlaces externos

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