Pulverizar (matemáticas)

Campo vectorial sobre fibrado tangente

En geometría diferencial , un spray es un campo vectorial H en el fibrado tangente TM que codifica un sistema cuasilineal de segundo orden de ecuaciones diferenciales ordinarias en la variedad base M. Por lo general, se requiere que un spray sea homogéneo en el sentido de que sus curvas integrales t →Φ _H ^t (ξ)∈ TM obedezcan la regla Φ _H ^t (λξ)=Φ _H ^λt (ξ) en re-parametrizaciones positivas. Si se omite este requisito, H se denomina semi-spray .

Los aerosoles surgen naturalmente en la geometría de Riemann y Finsler como los aerosoles geodésicos cuyas curvas integrales son precisamente las curvas tangentes de las curvas de minimización de longitud local. Los semisprays surgen naturalmente como las curvas extremas de las integrales de acción en la mecánica de Lagrangian . Generalizando todos estos ejemplos, cualquier conexión (posiblemente no lineal) en M induce un semispray H , y a la inversa, cualquier semispray H induce una conexión no lineal libre de torsión en M . Si la conexión original es libre de torsión coincide con la conexión inducida por H , y las conexiones homogéneas libres de torsión están en correspondencia uno a uno con los aerosoles completos. ^[1]

Definiciones formales

Sea M una variedad diferenciable y ( TM ,π _TM , M ) su fibrado tangente. Entonces un campo vectorial H sobre TM (es decir, una sección del fibrado doble tangente TTM ) es un semispray sobre M , si se cumple alguna de las tres condiciones equivalentes siguientes:

• (πTM ₎ * _Hξ = _ξ .
• JH = V , donde J es la estructura tangente en TM y V es el campo vectorial canónico en TM \0.
• j ∘ H = H , donde j : TTM → TTM es la inversión canónica y H se considera una función TM → TTM .

Un semispray H sobre M es un spray (completo) si se cumple alguna de las siguientes condiciones equivalentes:

• H _λξ = λ _* (λ H _ξ ), donde λ _* : TTM → TTM es el avance de la multiplicación λ: TM → TM por un escalar positivo λ>0.
• La derivada de Lie de H a lo largo del campo vectorial canónico V satisface [ V , H ]= H .
• Las curvas integrales t →Φ _H ^t (ξ)∈ TM \0 de H satisfacen Φ _H ^t (λξ)=λΦ _H ^λt (ξ) para cualquier λ>0.

Sean las coordenadas locales en asociadas con las coordenadas locales ) en utilizando la base de coordenadas en cada espacio tangente. Entonces es un semi-spray en si tiene una representación local de la forma ${\displaystyle (x^{i},\xi ^{i})}$ ${\displaystyle TM}$ ${\displaystyle (x^{i}}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle M}$

${\displaystyle H_{\xi }=\xi ^{i}{\frac {\partial }{\partial x^{i}}}{\Big |}_{(x,\xi )}-2G^{i}(x,\xi ){\frac {\partial }{\partial \xi ^{i}}}{\Big |}_{(x,\xi )}.}$

en cada sistema de coordenadas asociado en TM . El semispray H es un spray (completo), si y solo si los coeficientes de spray G ⁱ satisfacen

${\displaystyle G^{i}(x,\lambda \xi )=\lambda ^{2}G^{i}(x,\xi ),\quad \lambda >0.\,}$

Semi-sprays en mecánica lagrangiana

Un sistema físico se modela en mecánica lagrangiana mediante una función lagrangiana L : TM → R sobre el fibrado tangente de algún espacio de configuración M . La ley dinámica se obtiene a partir del principio hamiltoniano, que establece que la evolución temporal γ:[ a , b ]→ M del estado del sistema es estacionaria para la integral de acción.

${\displaystyle {\mathcal {S}}(\gamma ):=\int _{a}^{b}L(\gamma (t),{\dot {\gamma }}(t))dt}$.

En las coordenadas asociadas en TM la primera variación de la integral de acción se lee como

${\displaystyle {\frac {d}{ds}}{\Big |}_{s=0}{\mathcal {S}}(\gamma _{s})={\Big |}_{a}^{b}{\frac {\partial L}{\partial \xi ^{i}}}X^{i}-\int _{a}^{b}{\Big (}{\frac {\partial ^{2}L}{\partial \xi ^{j}\partial \xi ^{i}}}{\ddot {\gamma }}^{j}+{\frac {\partial ^{2}L}{\partial x^{j}\partial \xi ^{i}}}{\dot {\gamma }}^{j}-{\frac {\partial L}{\partial x^{i}}}{\Big )}X^{i}dt,}$

donde X :[ a , b ]→ R es el campo de vectores de variación asociado con la variación γ _s :[ a , b ]→ M alrededor de γ( t ) = γ ₀ ( t ). Esta primera fórmula de variación puede reformularse de una forma más informativa introduciendo los siguientes conceptos:

• El covector con es el momento conjugado de . ${\displaystyle \alpha _{\xi }=\alpha _{i}(x,\xi )dx^{i}|_{x}\in T_{x}^{*}M}$ ${\displaystyle \alpha _{i}(x,\xi )={\tfrac {\partial L}{\partial \xi ^{i}}}(x,\xi )}$ ${\displaystyle \xi \in T_{x}M}$
• La forma correspondiente es la forma de Hilbert asociada con el Lagrangiano. ${\displaystyle \alpha \in \Omega ^{1}(TM)}$ ${\displaystyle \alpha _{\xi }=\alpha _{i}(x,\xi )dx^{i}|_{(x,\xi )}\in T_{\xi }^{*}TM}$
• La forma bilineal con es el tensor fundamental del Lagrangiano en . ${\displaystyle g_{\xi }=g_{ij}(x,\xi )(dx^{i}\otimes dx^{j})|_{x}}$ ${\displaystyle g_{ij}(x,\xi )={\tfrac {\partial ^{2}L}{\partial \xi ^{i}\partial \xi ^{j}}}(x,\xi )}$ ${\displaystyle \xi \in T_{x}M}$
• El lagrangiano satisface la condición de Legendre si el tensor fundamental no es degenerado en cada . Entonces la matriz inversa de se denota por . ${\displaystyle \displaystyle g_{\xi }}$ ${\displaystyle \xi \in T_{x}M}$ ${\displaystyle \displaystyle g_{ij}(x,\xi )}$ ${\displaystyle \displaystyle g^{ij}(x,\xi )}$
• La energía asociada con el Lagrangiano es . ${\displaystyle \displaystyle E(\xi )=\alpha _{\xi }(\xi )-L(\xi )}$

Si se cumple la condición de Legendre, entonces d α∈Ω ² ( TM ) es una forma simpléctica , y existe un campo vectorial hamiltoniano único H en TM correspondiente a la función hamiltoniana E tal que

${\displaystyle \displaystyle dE=-\iota _{H}d\alpha }$.

Sean ( X ⁱ , Y ⁱ ) los componentes del campo vectorial hamiltoniano H en las coordenadas asociadas en TM . Entonces

${\displaystyle \iota _{H}d\alpha =Y^{i}{\frac {\partial ^{2}L}{\partial \xi ^{i}\partial x^{j}}}dx^{j}-X^{i}{\frac {\partial ^{2}L}{\partial \xi ^{i}\partial x^{j}}}d\xi ^{j}}$

y

${\displaystyle dE={\Big (}{\frac {\partial ^{2}L}{\partial x^{i}\partial \xi ^{j}}}\xi ^{j}-{\frac {\partial L}{\partial x^{i}}}{\Big )}dx^{i}+\xi ^{j}{\frac {\partial ^{2}L}{\partial \xi ^{i}\partial x^{j}}}d\xi ^{i}}$

Así vemos que el campo vectorial hamiltoniano H es un semi-spray en el espacio de configuración M con los coeficientes de spray

${\displaystyle G^{k}(x,\xi )={\frac {g^{ki}}{2}}{\Big (}{\frac {\partial ^{2}L}{\partial \xi ^{i}\partial x^{j}}}\xi ^{j}-{\frac {\partial L}{\partial x^{i}}}{\Big )}.}$

Ahora la primera fórmula variacional se puede reescribir como

${\displaystyle {\frac {d}{ds}}{\Big |}_{s=0}{\mathcal {S}}(\gamma _{s})={\Big |}_{a}^{b}\alpha _{i}X^{i}-\int _{a}^{b}g_{ik}({\ddot {\gamma }}^{k}+2G^{k})X^{i}dt,}$

y vemos que γ[ a , b ]→ M es estacionario para la integral de acción con puntos finales fijos si y solo si su curva tangente γ':[ a , b ]→ TM es una curva integral para el campo vectorial hamiltoniano H . Por lo tanto, la dinámica de los sistemas mecánicos se describe mediante semisprays que surgen de las integrales de acción.

Pulverización geodésica

Las curvas de minimización de longitud local de las variedades de Riemann y Finsler se denominan geodésicas . Utilizando el marco de la mecánica de Lagrange, se pueden describir estas curvas con estructuras de rociado. Defina una función de Lagrange en TM mediante

${\displaystyle L(x,\xi )={\tfrac {1}{2}}F^{2}(x,\xi ),}$

donde F : TM → R es la función de Finsler . En el caso de Riemann se utiliza F ² ( x , ξ) = g _ij ( x )ξ ⁱ ξ ^j . Ahora introduzcamos los conceptos de la sección anterior. En el caso de Riemann resulta que el tensor fundamental g _ij ( x , ξ) es simplemente la métrica de Riemann g _ij ( x ). En el caso general la condición de homogeneidad

${\displaystyle F(x,\lambda \xi )=\lambda F(x,\xi ),\quad \lambda >0}$

de la función de Finsler implica las siguientes fórmulas:

${\displaystyle \alpha _{i}=g_{ij}\xi ^{i},\quad F^{2}=g_{ij}\xi ^{i}\xi ^{j},\quad E=\alpha _{i}\xi ^{i}-L={\tfrac {1}{2}}F^{2}.}$

En términos de mecánica clásica, la última ecuación establece que toda la energía del sistema ( M , L ) está en forma cinética. Además, se obtienen las propiedades de homogeneidad

${\displaystyle g_{ij}(\lambda \xi )=g_{ij}(\xi ),\quad \alpha _{i}(x,\lambda \xi )=\lambda \alpha _{i}(x,\xi ),\quad G^{i}(x,\lambda \xi )=\lambda ^{2}G^{i}(x,\xi ),}$

De las cuales la última dice que el campo vectorial hamiltoniano H para este sistema mecánico es un spray completo. Las geodésicas de velocidad constante de la variedad de Finsler (o de Riemann) subyacente se describen mediante este spray por las siguientes razones:

• Dado que g _ξ es definida positiva para los espacios de Finsler, toda curva estacionaria suficientemente corta para la función de longitud minimiza la longitud.
• Toda curva estacionaria de la integral de acción es de velocidad constante , ya que la energía es automáticamente una constante de movimiento. ${\displaystyle F(\gamma (t),{\dot {\gamma }}(t))=\lambda }$
• Para cualquier curva de velocidad constante la integral de acción y la función de longitud están relacionadas por ${\displaystyle \gamma :[a,b]\to M}$

${\displaystyle {\mathcal {S}}(\gamma )={\frac {(b-a)\lambda ^{2}}{2}}={\frac {\ell (\gamma )^{2}}{2(b-a)}}.}$

Por lo tanto, una curva es estacionaria con respecto a la integral de acción si y solo si es de velocidad constante y estacionaria con respecto a la funcional de longitud. El campo vectorial hamiltoniano H se denomina pulverización geodésica de la variedad de Finsler ( M , F ) y el flujo correspondiente Φ _H ^t (ξ) se denomina flujo geodésico . ${\displaystyle \gamma :[a,b]\to M}$

Correspondencia con conexiones no lineales

Una semipulverización sobre un colector liso define una conexión de Ehresmann en el haz tangente de la rendija a través de sus proyecciones horizontales y verticales. ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle T(TM\setminus 0)=H(TM\setminus 0)\oplus V(TM\setminus 0)}$

${\displaystyle h:T(TM\setminus 0)\to T(TM\setminus 0)\quad ;\quad h={\tfrac {1}{2}}{\big (}I-{\mathcal {L}}_{H}J{\big )},}$

${\displaystyle v:T(TM\setminus 0)\to T(TM\setminus 0)\quad ;\quad v={\tfrac {1}{2}}{\big (}I+{\mathcal {L}}_{H}J{\big )}.}$

Esta conexión en TM \0 siempre tiene un tensor de torsión que se desvanece, que se define como el corchete de Frölicher-Nijenhuis T = [ J , v ]. En términos más elementales, la torsión se puede definir como

${\displaystyle \displaystyle T(X,Y)=J[hX,hY]-v[JX,hY]-v[hX,JY].}$

Introduciendo el campo vectorial canónico V en TM \0 y la estructura adjunta Θ de la conexión inducida, la parte horizontal del semispray se puede escribir como hH = Θ V . La parte vertical ε= vH del semispray se conoce como el primer invariante del spray , y el semispray H en sí mismo se descompone en

${\displaystyle \displaystyle H=\Theta V+\epsilon .}$

El primer invariante de pulverización está relacionado con la tensión.

${\displaystyle \tau ={\mathcal {L}}_{V}v={\tfrac {1}{2}}{\mathcal {L}}_{[V,H]-H}J}$

de la conexión no lineal inducida a través de la ecuación diferencial ordinaria

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{V}\epsilon +\epsilon =\tau \Theta V.}$

Por lo tanto, el primer invariante de pulverización ε (y, por lo tanto, todo el semi-spray H ) se puede recuperar de la conexión no lineal mediante

${\displaystyle \epsilon |_{\xi }=\int \limits _{-\infty }^{0}e^{-s}(\Phi _{V}^{-s})_{*}(\tau \Theta V)|_{\Phi _{V}^{s}(\xi )}ds.}$

De esta relación se desprende también que la conexión inducida es homogénea si y sólo si H es una pulverización completa.

Campos de Jacobi de sprays y semi-sprays

Una buena fuente de información sobre los campos de Jacobi de semisprays es la Sección 4.4, Ecuaciones de Jacobi de un semispray del libro de acceso público Finsler-Lagrange Geometry de Bucătaru y Miron. Cabe destacar especialmente su concepto de derivada covariante dinámica . En otro artículo, Bucătaru, Constantinescu y Dahl relacionan este concepto con el del operador biderivado de Kosambi .

Para una buena introducción a los métodos de Kosambi , consulte el artículo ¿Qué es la teoría de Kosambi-Cartan-Chern ?

Referencias

1. I. Bucataru, R. Miron, Geometría de Finsler-Lagrange , Editura Academiei Române, 2007.

• Sternberg, Shlomo (1964), Lecciones sobre geometría diferencial , Prentice-Hall.
• Lang, Serge (1999), Fundamentos de geometría diferencial , Springer-Verlag.